二次函数的动点问题(含答案)

二次函数与四边形

一.二次函数与四边形的形状

例1.(浙江义乌市)如图，抛物线yx22x3与x轴交A、B两点(A点在B点

左侧)，直线I与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平

行线交抛物线于E点:，求线段PE长度的最大值；

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个

点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

7

练习1.(河南省实验区)23.如图，对称轴为直线X—的抛物线经过点

A(6,0)和B(0,4).入2

I

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；\:/

(2)设点后(*,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是B(0,4)；/

以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与X之间的函数关系\/

式，并写出自变量x的取值范围；—《二_-------------►

O/A(6,0)X

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱A1/

形V/

i

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形若存在，求出点E的坐标；若不存

在，请说明理由.

练习2.(四川省德阳市)25.如图，已知与X轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线h的顶点为

C(3,4),抛物线I2与h关于x轴对称，顶点为C.

(1)求抛物线|2的函数关系式；

(2)已知原点O,定点D(0,4),I2上的点P与卜上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到

何处时，以点D,0,P,P为顶点的四边形是平行四边形

(3)在I2上是否存在点M,使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形若存，求

出点M的坐标；若不存在，说明理由.

练习3.（山西卷）如图，已知抛物线Ci与坐标轴的交点依次是

A（40），B（2,0）,E（0,8）.

（1）求抛物线Cl关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线G的顶点为M,抛物线C2与X轴分别交于

C,D两点（点C在点D的左侧），顶点为N,四边形MDNA的

面积为S.若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分

别向右、向左运动；与此同时，点M,点N同时以每秒2个单位

的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为

止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写

出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出

此最大值;

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

二.二次函数与四边形的面积

例1.（资阳市）25.如图10,已知抛物线P：y=ax+bx+c（a¥0）与x轴交于A、B两点（点A在x

轴的正半轴上）,与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、

AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:

X-3-212

,55

y-40

22

(1)求A、&C三点的坐标;

口若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关

系，并指出m的取值范围；

6)当矩形DEF@勺面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=kQF,

若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

练习1.(辽宁省十二市第26题).如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为

(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).

(1)画出直角梯形OMN绕点。旋转180°的图形OABC并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对

应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C)；

(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式；

(3)截取CE=OF=AGm且E,F,G分别在线段COOAAB上，求四边膨_BEFG勺面积S与m之

间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值若存在，请求出这个最小值；

若不存在，请说明理由；

(4)在(3)的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，

并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.Av

练习3.(吉林课改卷)如图，正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一,钉子.动

M(-8»0)

点P,Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2cm的，

速度运动，到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到\

-4

点D停止.P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的

面积为ycm2.

(1)当0<xW1时，求y与x之间的函数关系式；

(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求X值；

(3)当1wX<2时，求y与X之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及

钉子到运动停止时ZPOQ的变化范围；

(4)当0WxW2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图

O12x

象.

练习4.(四川资阳卷)如图，已知抛物线I,：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线I

।上的动点(B不与A、C重合)，抛物线I?与I,关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCWJ

第四个顶点为D.

(1)求12的解析式;

(2)求证：点D一定在I2上;

(3)DABCDi自否为矩形如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若

只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积；如果不能为矩形，请说明理

由.注：计算结果不取近似值

三.二次函数与四边形的动态探究

例1.(荆门市)28.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知Q0,0),A(4,0),

Q0,3),点P是OA边上的动点(与点QA不重合).现将△PABfflPB翻折，得到△PDB再在OC边

上选取适当的点E,将aPOB仆PE翻折，得到△PFE并使直线PDPF重合.

0设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

H如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

6在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q,使^PEQ是以PE为直角边的直角三角形若不存

在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.

fyfy8

pAX

图1

第26邈困

例2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半

轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OBOQW长（O&OO是方程x2—10x+16=0的两个根，且抛

物线的对称轴是直线x=-2.

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接ACBC若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EWAC交

BC于点F,连接CE,设AE的长为m,Z\CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量

m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E

的坐标，判断此时^BCE的形状；若不存在，请说明理由.

例3..（湖南省郴州）如图，矩形ABCD3AB=3,BG=4,将矩形ABCD&对角线A平移，平移后

的矩形为EFGHA、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交

于点N.GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形

PCMIffl面积，S表示矩形NFQQ勺面积.

（1）S与S相等吗请说明理由.

（2）设AE=x,写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少

（3）如图11,连结BE,当AE为何值时，ABE是等腰三角形.

练习1.如图12,四边形OABCJ直角梯形，A（4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出

发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其

中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直X轴于点P,连结AC交NP

于Q连结MQ

(1)点（填M或N）能到达终点;

（2）求△AQM9面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自

变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大;

(3)是否存在点M使得△AQMa直角三角形若存在，求出点M的坐标，

若不存在，说明理由.

练习2..(江西省)25.实验与探究

(1)在图1,2,3中，给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示)，写出图1,

2,3中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2),

(2)在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示)，求出顶点C的

坐标(C点坐标用含a.b,c,d,e,f的代数式表示)；

归纳与发现

(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处

于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如图4)时，

则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为；纵坐标b,d,n,f之间的等量关

系为(不必证明)；

运用与推广

215clQ

(4)在同一直角坐标系中有抛物线yx(5c3)xc和三个点G—c,-c，S'G±C，

2222

H(2c,0)(其中c0).问当c为何值时，该抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四

边形是平行四边形并求出所有符合条件的P点坐标.

答案:

二次函数与四边形的形状

例1.解：(1)令y=0,解得X11或X23二A(-1,0)B(3,0)；

2

将C点的横坐标x=2代入yx2x3得y=-3,AC(2,-3)直线AC的函数解析式是y=-x-1

(2)设P点的横坐标为x(-1WxW2)则P、E的坐标分别为:P(X,-X-1),

222

E((x,x2x3)P点在E点的上方，PE=(x1)(x2x3)XX2

19

・••当x—时，PE的最大值=—

24

(3)存在4个这样的点F,分别是Fi(1,0),F2(3,0),F3(4V710),F4(4x/7.0)

I,可设解析式为,

练习1.解：(1)由抛物线的对称轴是x

27

yX

2

ya(xk.把A、B两点坐标代入上式,得

7

^2

a\z6/k

20,2B(0,4)

25

7解之，得a_卜

azo^2k,3

\2F

2725725

故抛物线解析式为y_(xL)2----顶点为(一，一).A(6,0)X

32626

(2)•.•点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

2

7225

y一(x~)—

326

・・・yv0,即一y>0,—y表示点E到OA的距离.丁OA是YOEAF的对角线，

•••S2S21OAy6y4(7)225.

VOAE-I-

因为抛物线与X轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以，自变量X的

取值范围是1<X<6.

7,

①根据题意，当S=24时，即4(X-)25

21

化简，得xA解之,得\叫4.

24

故所求的点E有两个，分别为E,(3,-4),E2(4,-4).

点Ei(3,-4)满足OE=AE,所以YOEAF是菱形；

点E?(4,-4)不满足OE=AE,所以YOEAF不是菱形.

②当OALEF,且OA=EF时，丫OEAF是正方形，此时点E的

坐标只能是(3,-3).

而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E,

使YOEAF为正方形.

2

练习2.解：(1)由题意知点C的坐标为(3,4).设|2的函数关系式为ya(x3)4.

2

又Q点A(1,0)在抛物线ya(x3)4上，(13『a40,解得a1.

抛物线I2的函数关系式为y(x3)24(或yx26x5).

(2)QP与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行.

设点P的横坐标为m,则其纵坐标为m26m5,QOD4,21m26m目4,即

m26m52.当m26m52时，解得m3G.当m26m52时，解得

m3后.当点P运动到(3芯,2)或(3芯,2)或(3金,2)或(3品,2)时，

PP^OD，以点D,0,P,P为顶点的四边形是平行四边形.

(3)满足条件的点M不存在.理由如下：若存在满足条件的点M在卜上，则

AMB90°-QBAM30°(或ABM30°)

BM-AB-42.

22

过点M作MEAB于点E,可得BMEBAM30°.

EB-BM—21,EMOE4.

22

的坐标为(4,6).

点M

3G

但是，当X4时，y4264516245

不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形.

练习3」解］(1)点A(4,0),点8(2,0),点E(0,8)关于原点的对称点分别为D(4,0),C(2,0),

F(0,8).设抛物线C2的解析式是

16a4bc0，a1

2

yaxbxc(a0),则4a2bc0,解得b6,

c8.c8

所以所求抛物线的解析式是yx26x8.

(2)由(1)可计算得点M(3,1)N(3,1).

过点N作NHAD,垂足为H.

当运动到时刻t时，AD2OD82t，NH12t.

根据中心对称的性质OAOD,OMON,所以四边形MDNA

是平行四边形.

所以S2SAADN所以，四边形MDNA的面积

2

S(82t)(12t)4t14t8.因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0Wt4.

所以，所求关系式是S4t214t8,t的取值范围是OWt4.

78"!

(3)S4t一一，(0Wt4).

44

7

所以t一时，s有最大值一•

44

提示：也可用顶点坐标公式来求.

(4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形.

由(2)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD,MN,所以当ADMN时四边形MDNA

是矩形.

所以ODON.所以OD2ON2OH2NH2.

所以t24t220.解之得ti丘2,t2五2(舍).

所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t五2.

［点评］本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，

能力要求较高。

二.二次函数与四边形的面积

例1.解：(1)解法一：设yaxbxc(a0),

2

任取x,y的三组值代入，求出解析式y=lx2+x-4,

2

令y=0,求出Xi=-4,X2=2；令x=0,得y=-4,

・・・A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4)...............................

解法二：由抛物线P过点(1，-2),(-3,一:)可知，

22

抛物线P的对称轴方程为x=-1,

又,:抛物线P过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知，

点A、B、C的坐标分别为A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).

(2)由题意，”=巴，而AO=2OC=4AD=2-m故DG=4-2m...........................

AOOC

opEF

又__________EF=DG得BE=4-2mDE=3m,

BOOC

2

SDEFG=DGDE=(4-2m)3m=12m-6m(0<rr<2).

注：也可通过解Rt^BOC及Rt^AOC或依据△BO提等腰直角三角形建立关系求解.

(3),.-SDEFG=12m-6n<0<m<2),二m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6.

当矩形面积最大时，其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0),

oo22

设直线DF的解析式为y=kx+b,易知，k=f,b=-_,Ay=_x-

3333

又可求得抛物线P的解析式为：y=-x2+x-4,

2

人2212161

令_x-_=_x+x-4,可求出X—!~221.设射线DF与抛物线P相交于点N,

3323

则N的横坐标为上*1,过N作x轴的垂线交x轴于H,有

3

_2_-1->/67

FNHE3_5+

DF-DE=39

点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是

丘-5+叵且k>0

9

说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.

若选择另一问题:

(2)V_==，而AD=1,A0=2,0C=4,则DG=2,

AOOC

CP

又丁二=—,Tff]AB=6CP=2OC=4则FG=3

ABOC

S(JEFG=DGFG=6.

练习1.解•：利用中心对称性质，画出梯形0ABe..........................................................1分

•:A,B,C三点与M,N,H分别关于点。中心对称，

A(0,4),B(6,4),C(8,0).................................................................3分

(写错一个点的坐标扣1分)

(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为

•.•抛物线过点A(0,4),

则抛物线关系式为

...............................................4分

将B(6,4),C(8,0)两点坐标代入关系式，得

5AB,

垂足为G则sinZFEG=sinZCAB=分

解得...........................................................................................6

分

所求抛物线关系式为:7分

(3)V0A=4,0G8»/.AF^4—m0&8-m...............................8分

0A(AB-00

AFAG

OE-OF

CE-OA

(0<

<4)10分

当

时，S的取最小值.

又・・•ovm<4,・,・不存在m值，使S的取得最小值.............12分

(4)当时，GB=GF,当

时，B&BG14分

练习3.［解］(1)当0WxW1时，AP2x，AQx.y-AQgAPx2.

2

即yx2.

(2)当S1S时，橡皮筋刚好触及钉子，

四边形ABPQ2

正方形ABCD

1I4

BP2x2,AQx,-2x2x2-22,x

223

4

(3)当1WxW一时，AB2,

3

PB2x2,AQx,

AQ_BEx_Zx_-93x2

ygAABD乙JX乙

22

即y3x2.

作OE，AB,E为垂足.

4

当WxW2时，BP2x2,AQx,OE1,

3

ySS-~~——-1-_-13x,

梯形BEOP梯形OEAQ

222

即y3

X.

2

90°WNPOQW180。或180。WNPOQW270°3

(4)如图所示:

练习4」解］⑴设12的解析式为y=ax2+bx+c(a^O),

•••3与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),12与|】关于*轴对称,

二Iz过A卜2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4),

4a2bc0,

4a2bc0,

c4.

•**a=-1,b=0,C=4,即I2的解析式为y=-x+4.

(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)

22

0设点B(m,n)为I，：y=x-4上任意一点，则n=m-4(*).

四边形ABC比平行四边形，点A、C关于原点O对称，

二B,D关于原点O对称，

...点D的坐标为D(-m,-n).

由(*)式可知，-n=-(吊-4)=-(-9?+4,

即点D的坐标满足y=-x；4,

.•.点D在I2上.

9口ABC眦为矩形.

过点B作BH1X轴于H,由点B在11：y=x-4上，可设点B的坐标为(Xo,Xo-4),

2

则OH|xo|,BH=|X0-4|.

易知，当且仅当BQAQ2时，OABC/j矩形.

2

在RtZXOBH中，由勾股定理得，|x°|+|x：4|

22

(Xo-4)(Xo-3)=0,Xo=i2(舍去)、Xo=±y§.

所以，当点B坐标为,-1)或B'(r/5,-1)时，C1ABCD为矩形，此时,

点D的坐标分别是1)、D'(、四，1).

因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCBH矩形ABCD.

设直线AB与y轴交于E,显然，△AO&5AAHB

.EO=BH.EO1

"AO-AH,"v

:.EQ4-2场.

由该图形的对称性知矩形ABC函矩形ABCD重合部分是菱形，其面积为

1

S=2SAC=2X1XACXEO=2X_X4X(4-2^3)=16-8p

三.二次函数与四边形的动态探究

例1.解：(1)由已知PB平分NAPDPE平分NOPF且PDPF重合，则NBP&900.AZOPB-

ZAPB900.又NAPBl-ZABB9O0,AZOPEZPBA

・・・RtAPOE-RtABPA

.POBAx314

————.即nn一一.y=-x(4x)-x2-x(0<x<4).

OEAPy4x333

且当x=2时，y有最大值

3

期由已知，△PAB、均为等腰三角形，可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).

1

a3

C1,2

•3

设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则abc0,••b

16a4bc3..

c1.

22

9由(2)知NEPB9(r,即点Q与点B重合时满足条件.

直线PB为y=x-1,与y轴交于点（0,-

1）.将PB向上平移2个单位则过

点E（o,1）,

...该直线为y=x+l.

yx1,x5

由y"1得y6.'95,6”

22

故该抛物线上存在两点Q（4,3）、（5,6）满足条件.

例2.解：（1）解方程x2—10x+16=0得x1=2,x2=81分

•.•点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且。氏0c

.♦.点B的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,8）

又：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2

,由抛物线的对称性可得点A的坐标为（一6,0）4分

（2）•点C（0,8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上

二C=8,将A（-6,0）、B（2,0）代入表达式，得

解得

，所求抛物线的表达式为y=x2

x+87分

(3)依题意，AE=m,则BE=8-m,

V0A=6,0G=8.AG=10

•；EF〃AC△BEF^ABAC

即

EF=

FG

=8

-m

/.S=SABCE-SABFE=(8-m)X8-

(8-m(8-nD

8m)(88+m)

8m)m

m2+4m10分

自变量m的取值范围是0<m<811分

(4)存在.

理由・・・Sm2+4m=—

(m—4)2+8且一

<0,

.••当m=4时，S有最大值，S最大值=812分

.•.点E的坐标为（一2,0）

BCE为等腰三角形.14分

（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）

例3解：（1）相等

理由是：因为四边形ABCDEFG展矩形，

所以SEGHSEGF，SECNSECp,SCQQSCGM

所以EQHCGMQ即：

SSecpSSegfSecnSCG,SS

(2)AB=3.BG=4,AG=5.设AE=x,则EC=5—X,pc2(5x),MC-x,

55

所以SPCgMC_X(5x)，即Sl£x2_x(0x5)

25255

配方得：s—(x-)23,所以当x2时，

2522

S有最大值3

(3)当AE=AB=3或AE=BE=§或AE=时，ABE是等腰三角形

2

练习1.解：(1)点M1分(2)经过t秒时，NBt,OM2t

则CN3t.AM42tBCA=MAQ=450/.QNCN3tPQ1t

2

•••SAAMQLAMgPQ1(42t)(1t)

t2t2ASt2t29

2224

Y0WtW2当t1时，S的值最大.

2

(3)存在.设经过t秒时，N&t,OM2t贝iJCN3t,AM42t，BCA=MAQ=45°

①若AQM90°,则PQ是等腰RtAMQA底边MA上的高

111

PQ是底边MA的中线PQAP-MA:.1t-(42t)At-

222

.••点M的坐标为（1,0）

②若QMA90°,此时与QP重合QMQPMA:.1t42tAt1

...点M的坐标为（2,0）

练习2.解：(1)(ec,d)，(cea,d).

（2）分别过点A,B,C,D作x轴的垂线，垂足分别为Ai,Bi,G,Di,

分别过A,D作AEBB1于E,DFCCi于点F.

y

在平行四边形ABCD中，CDBA,又Q