2021版数学必修 第一册人教A版第四章指数函数与对数函数讲义2

Chapter4

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

4.1.1"次方根与分数指数塞

【学习目标】1.理解〃次方根、〃次根式的概念2能正确运用根式运算性质化简、求值3学会

根式与分数指数幕之间的相互转化.

知识梳理梳理教材夯实基础

----------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------

知识点一“次方根、”次根式

1.a的”次方根的定义

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中">1,且"WN”.

2.a的〃次方根的表示

n的奇偶性。的〃次方根的表示符号a的取值范围

“为奇数缶

〃为偶数10,+8)

3.根式

n

式子也叫做根式，这里W叫做根指数,。叫做被开方数.

知识点二根式的性质

1.赤=O(nWN*,且">1).

2.(%)"=£((a20,〃WN*,且〃>1).

n

3.亚=“(〃为大于1的奇数).

__[a,

4.y[a"=\a\=]~(n为大于1的偶数).

\—a,a<0

知识点三分数指数零的意义

巴n

正分数指数幕

规定：。〃=亚(。>0,m,〃£N*,且心1)

-坦11

分数指数幕规定：a"------m,,且心

负分数指数基m3H>0,1)

afl亚

0的分数指数基0的正分数指数事等于20的负分数指数基无意义

知识点四有理数指数幕的运算性质

整数指数基的运算性质，可以推广到有理数指数累，即：

(1)。'。'=屋+'(4>0,r,sGQ)；

(2)3丁=〃/4>0,r,sCQ)；

(3)3力「=屋勿伍>0,b>0,rGQ).

思考辨析判断正误

1.当"6N*时，(干3)"都有意义.(X)

63

2.(-2)4=(-2)2.(X)

3.x)

m

4.分数指数幕可以理解为［个a相乘.(X)

|题型探究------------------启迪思维探究重点

一、〃次方根的概念

例1(1)若81的平方根为“，一8的立方根为b,则a+b=.

答案7或一11

解析81的平方根为-9或9,

即〃=-9或9,

一8的立方根为一2,即〃=—2,

；.a+b=-11或7.

4

(2)若正工有意义，求实数x的取值范围.

4_____

解2有意义,

/.X—220,

・・・G2,

即尤的取值氾围是［2,+°°).

反思感悟(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一

个.

(2)符号：根式缶的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.

①当”为偶数，且a20时，赤为非负实数；

②当"为奇数时，、。的符号与a的符号一致.

跟踪训练1(1)已知丁=8,则x等于()

777

A.2^2B.V8C.-^8D.±78

答案B

7

解析因为7为奇数，8的7次方根只有一个通.

4

(2)若N2x+5有意义,则x的取值范围是；

5______

若道不有意义，则X的取值范围是.

答案

二、利用根式的性质化简或求值

例2化简:

(1)((3-兀)4；

QN(a-b¥(a>b)；

(3)(A/«—1)2+^/(1—a)2+^(l—a)3.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

4________

解(1)^(3—7l)4=|3—711=71—3.

(2)•:a>b,/.yj(a~b)2=\a—h\=a—b.

(3)由题意知a—120,即1.原式=〃-1+|1—a\+1—〃=〃一1~\~a—1+1—a=a—1.

反思感悟(1)"为奇数时(缶)"=亚=4,4为任意实数.

(2)〃为偶数时,心0,才有意义，且

而a为任意实数时后均有意义，且折=间.

跟踪训练2化简:

7

⑴4(—2)7；

4__________

⑵M(3〃-3)4(〃W1)；

34________

(3啦+、(1—”.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

解(lA/(-2)7--2.

4_______

⑵：.yl(3a-3y=\3a-3\=3\a-l|=3-3<a.

1,aWl,

(3')\[a^+yj(l—a')4=a+\\—a\='

2a~1,a>\.

三、根式与分数指数鬲的互化

例3(1)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()

A.—5=(-X)5(QO)

61

Bz\/p=y3(><0)

c.%4=^y^(x>0)

_13

D.x3=—ylx(x=^O)

答案C

解析-5=-/。>0)；

611

正=(及『)6=-丁3&<0);

⑵将下列根式化成分数指数基的形式（其中«>0,b>0）.

3

③（狼）2.gP.

解①•如=〃./=#2；

!1!Z

②原式=层•4%•送=*；

1、21373

(苏-a2h2=a^h2.

反思感悟根式与分数指数寐的互化

(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

⑵在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数露的形式，然后利用有理数

指数幕的运算性质解题.

跟踪训练3把下列根式表示为分数指数幕的形式，把分数指数幕表示为根式的形式：

(1)(。—加23>6)；(2靛-1)5；

1-

(3)—;(4)(4-。)7.

y[cr

--1

解(l)(a-Z?)4=--------；

q(a-b)3

3________5

(2)A/(X-1)5=(X-1)3；

1二

(3)--a3；

(4)(a-b)7=7(a—b)3.

随堂演练息础巩.固学以致用

■---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\------------------------------

1.已知N(a—b)2=a—b,则()

A.a>bB.a》b

C.a<hD.aWb

答案B

2

解析y/(a—h)=\a-h\=a—h9

所以a—所以故选B.

4_____4_______54

2.在6/(—4)2"；(2h/(-4)2n+l,⑤沂，④而中，〃6N",qCR时各式子有意义的是()

A.①②B.①③

C.@@③④D.①②④

答案B

3.化简小工的结果为()

A.—y[aB.—\j—aC.yj~aD."\/a

考点根式与分数指数幕的互化

题点根式化为分数指数幕

答案A

解析显然

‘_4(_2)-3+(?。_9T=.

19

答案T

解析原式=2-4义

=2+91—；=%

23o

4____

答案yja-i

解析要使原式有意义，则

7(1-a)2.yj(^7)=11一处(a_1)4

3l_4____

=(a—1)-((2-1)"—(a-I)4—yja—l.

-课堂小结

1.知识清单：

(1)〃次方根的概念、表示及性质.

⑵根式的性质.

(3)根式与分数指数森的互化.

2.常见误区：

⑴根式中根指数要求且〃EN*.

n

（2）对于,，当”为偶数时,心0.

课时对点练--------注-重-双-基-强、-化-落-实-

X基础巩固

1.已知机i°=2,则相等于（）

101010

A.\[2B.一mC.F）D.士也

考点〃次方根及根式概念

题点”次方根及根式概念

答案D

解析；加°=2,是2的10次方根.

又；10是偶数，...2的10次方根有两个，且互为相反数.

10

二%=±啦.故选D.

_________4_________

2.若2<a<3,化简d（2—a）2+d（3—a），的结果是（）

A.5~2aB.2a~5C.1D.-1

考点根式的化简

题点条件根式的化简

答案C

解析*.*2<a<3,>'>a—2>0,a—3<0,

_________4_________

yf（2—a）2+yj（3—a）4=\2—a|+|3—a\

—a—2+3—a—1.

3.下列各式既符合分数指数基的定义，值又相等的是（）

12-

A.（一1日和（―1户B.0-2和（）2

C.2彳和44D.4株利⑥-3

答案C

12132

解析选项A中，（一邛和（一中均符合分数指数嘉的定义，但（―甲=g=-1,（-1）6

6

=4（—1>=1,故A不满足题意；

选项B中，0的负指数嘉没有意义，故B不满足题意；

选项D中，屋,和&J-虽符合分数指数嘉的定义，但值不相等，故D不满足题意；

1141

选项C中，23=6,44=乖=23=啦，满足题意.

故选C.

2

4.(1；)。—(1—0.5-2)+ej的值为(

)

A.B.TC.jD.1

答案D

47

解析原式=1一(1-22)+(|)2=---

9

3-

5.设30,将d一表示成分数指数基的形式,其结果是（）

\a-y[a^

£573

A.aaB./C.D.

答案C

_5?_57

=cra=a%

6.若xWO,则|x|~\/P+.J=______.

IR

答案1

解析Tx#。，.,.原式=|.v|—口+呼=1.

7.若山1+山2+6y+9=0,则(f0i9y=

答案T

解析因为"\/『+2x+1+4十+6y+9=0,

所以4。+1)2+4。+3)2=叮+1|+卜+3|=0,

所以x=-l,y=-3.

所以廿°19>=[(_1)2。19「3=(_1)-3=_1

一@1+70/25的值为.

8/

3

答

案-

2

5313

解析

原式

--十--

2-22-2

9.计算下列各式的值.

2

3

64平125

(1)1212；(2)—；(3)100004；(4)

<49J27

解(1)11(2,⑶丁品

10.计算:

4

(1)81X;(2)2^3XX

3

2居+、0.125「1；

(3)

343

⑷4(-8)3+、(小一2)7(2一小)3.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

4

217

2x-x-

解(1)原式=%34X332==36.

Ill

(2)原式=2X32X33X36=2X3236=6.

(3)原式=

岩号+2=3.

(4)原式=-8+S—2|一(2一小)

--8.

g综合运用

4

11.已知二次函数式工)=加+瓜+0.1的图象如图所示，则y(a—6)4的值为()

A.a+bB.—3+8)

C.a-bD.h-a

答案D

解析由题图知人-1)=〃一Z?+0.1<0,

•'•a—b<0.

12.若代数式42x—1十52—x有意义,则d4y_4x+]+2{(冗-2)4=

答案3

解析,/、2x—l+断一》有意义，

(2x~1^0,[x2],

・・.即＜2

Z。，U2,

.\y/4x2-4x+l+2yJ(x-2)4

4________

=y/(2x-l)2+2y/(x-2)4

=\2x-\\+2\x~2\=2x-]+2(2-x)=3.

3计算：#.附+3)+需爵=——.

答案4

1—I—9—4

解析原式=3,(3巾+3)+—j—

=(1一也)(1+也)+5=4.

14.若山—1+4/+、=0,则工=,f019+y2020=

答案12

X—1=0,

解析依题意有，,八得x=i,y=-1,

x+y=0,

.“。19+泮2。=2.

%拓广探究

15.设_%若0<〃Wl,则/(〃+!)=.

考点根式的化简

题点条件根式的化简

答案

解析于(a+/=#"+*4=/+*—2

因为0<〃Wl,所以

故/("+»

守的值.

16.已知〃，b是方程f—6x+4=0的两根，且a>6>0,

解因为〃，人是方程A2—6x+4=0的两根,

a+b=6,

所以

ab=4,

因为也,g-[-b-2yfab

a+b-]-2y[ab

6-2^42

-6+2^4-10-

所以，

y[ci+y[h

4.1.2无理数指数幕及其运算性质

【学习目标】1.掌握用有理数指数累的运算性质化简求值.2.了解无理数指数塞的意义.

知识梳理梳理教材夯实基础

--------------------------\-------

知识点一无理数指数幕

一般地，无理数指数哥〃(a>0,a为无理数)是一个确定的实数二有理数指数塞的运算性质同

样适用于无理数指数累.

知识点二实数指数号的运算性质

1.aras^ar+\a>Q,r,sGR).

2.(/)，=贮(a>0,r,sGR).

3.(abY^arbr(a>0,b>0,r£R).

预习小测自我检验

1.计算卜2=

答案也

2.下列等式一定成立的是.(填序号)

①a"-a2=a;②a?=0；

211

③(〃3)2=〃9；④/=板.

答案④

3.若10(T=25,则10"=.

答案5

解析；100，=25,；.(10')2=52,

10''=5,10-*=(10')一|=5-1=/

4.计算：砂+2-2x(2；j=

答案费

O

题型探究探究重点素养提升

一、运用指数幕运算公式化简求值

例1计算下列各式（式中字母都是正数）:

⑶迎f

2

解(1)(0.027)^+

=N0.027)2一"^\J^=0.09+1-1=0.09.

72

(XT

⑵原式=2叵•亦

班

（32/2AT3

=2亍=2?=2&.

\7

32

（3）原式=---:—+1=1+1=2.

543

a6

反思感悟一般地，进行指数赛运算时，可将系数、同类字母归在一起,分别计算；化负指

数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简

的目的.

跟踪训练1计算下列各式的值（式中字母都是正数）：

⑴（Jx（一加8O25x/+（/x小）6；

Q)2R?+(4y[i函・3小\

_r_nt।<iVfiV

解(1)原式=8(l)x13jxl+(23)4x24+23X32

\7\7

3£

=2+2“二+22X33=112.

2/_L_1、3

(2)原式=2标e4a6b63Z?2

i2I1(3

i^-6,^6.3bi

2

二、分数指数幕运算的综合应用

例2(1)已知d"=4,a"=3,求/E的值;

(2)己知。鼻+。一5=3,求下列各式的值.

3_3

①a+G；②/+〃一2；③

1."I

解(1而不""2"尸=

⑵①：a2+a2=3,：.a2+a2=9,

V7

即。+2+〃-=9,1=7.

②・・・〃+/1=7,

.•.(a+dTy=49,即/+2+。-2=49.

.\a2+a'2=47.

33

③。2+。2

=/+Q5(q—1+小)

\7

=3X(7-1)=18.

延伸探究

在本例(2)的条件下,求〃2—晨2的值.

解设y=/一“-2,两边平方，

得产="+。-4-2=32+。-2)2-4=472—4=2205.

所以y=±21小，即a2-a2—±2l-\[5.

反思感悟条件求值问题的解法

(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),

寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法.

(2)利用整体代换法解决分数指数暴的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.

1I

户—点

跟踪训练2已知x+y=12,孙=9且x<y,求一j-彳的值.

卢+J

(21Y

1।--a

-—八

解~T

x2+y2x2+y2x2-y2

=(x+y)-2(孙>①

x—y

；x+y=12,孙=9,②

.•.(x-y)2=(x+y)2-4孙=122—4X9=108.

又.'.x-y——6^3.@

\_

X/ma->512-2x926

将②③代入①，得1~彳=------.

!!*上3

随堂演练基础巩固学以致用

--------------------N--------------------

______3

1.化筒[而分■了的结果为()

A.5B.小C.一小D.-5

答案B

3

____娘「2下1

解析rV(-5)24=(-5)3=52=75.

/_2\(5\

2.计算2a~3b§•(一3〃一培)：4。一4。§得()

\7\7

A.—B.*C.京D.g庐

答案A

解析原式=-6a"：

4a7小

4

3.若10。=10、,=折，则1。2厂)，=

答案I

(-'V4_12j

解析10标->'=(10')2+]伊=[38J^^=34+34=§.

4.设a,£是方程5*+10x+l=0的两个根，则2%2"=，(2«/=

1

答

案-

4

解析由根与系数的关系得a+4=-2,琬=々

1，

则2a.2夕=2。+£=2-2=不(2阱=2磔=25.

."------71

5.化简而•/n4(/n>0)=.

答案1

nn3nn3

——---7t—+-71

解析原式=m2.机4.根4-m244=机0=].

■课堂小结

1.知识清单：

(1)有理数指数幕的性质.

(2)无理数指数篇的性质.

2.方法归纳：根式的运算可先转化为霖的运算，最后再将结果转化为根式.

3.常见误区：在运用分数指数幕的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数,

也不能既含有分母又含有负指数.

课时对点练注重双基强化落实

----------------N---------------

g基础巩固

1.下列等式能够成立的是()

|7=n1m#0)

B.,^/(Z：3j5=(-3)3

C.yjx3+yi=(x+y)4(x，0,y20)

D.V7^=3^

答案D

解析因为%7=扁=""鼠7,所以A错；

12____121

因为4一3)4=迎=33w(-3)3,所以B错；

4_____1_3

因为^^+9二川+')4#(x+y)4,所以C错;

因为"\/诉=m=3*,所以D正确.

(2/斗(》"+1

2.计算一直3一(〃GN*)的结果为()

4-o

C.2"j"+6D.0L7

答案D

2为共2.2-2〃-1?1/1\

解析原式=(22)〃.Q3)—2=22，厂6=2,2"=㈤2"7•

解析原式=(3・3户+(42/-(2-『-⑹广

=9+4>-4-(|y2=9+1-4-1

=9-6=3.

2.Q

4.若々>0,且优=3,ay=5,则a2等于()

A.9+^5B.yC.9^5D.6小

答案C

2，+上、1「l

解析a2=(a02-(av)2=32-52=9y[5.

5.设。-2—。--2=m，则a2+1等于()

A.nr—2B.2~nr

C.ZT?2+2D.m2

考点有理数指数幕的运算性质

题点附加条件的幕的求值

答案C

(i_1Y

解析将派一机两边平方，得a2-a2=nv,

即2+〃-1=m2,所以a+q-i=M+2,

.2_i_1

即a+~=nr+2,所以区1~=nr+2.

6.设a,£为方程2?+3x+l=0的两个根，则Q}+#=

答案8

3

解析由根与系数的关系得a+£=一宗

答案1

42

H上2^-222应2加

解析原式=——=-豆=诙=1

8H(23)T

8.设/=/二制^乂)，/;>0),且a+b=6,则m=

答案16

解析因为。2=力4=皿〃>0,Z?>0),

所以a=b2.

由a+b=6得h2-\~h—6=0,

解得b=2或。=一3(舍去).

所以m=24=16.

9.化简下列各式（式中字母都是正数）:

(_3\8

(1)m^n*；

\7

_22।\_

(2)(-3/户)(4a3护)式一2/凉)；

1££|

(3)(―+》)(x"-")(5+山).

/1_3V1_32

解(1)m^n=(m")8(几")8=*"-3=等

\/

!」+_!.一I，」

(2)原式=[_3x4+(_2)]qZ24/y333=6a%°=6.

i_i_

(3)原式=[(/)2—(/)2](5+J)

=(N_y2)g+W

=«_J)(正+6

=(5)2—(立)2

=x-y.

10.计算:

(1)7^3-3^/24-6郊；

(2)0.0081々-3X(J)0]1义81-o.25+(^3|yl-10X00273

考点根式与分数指数基的互化

题点根式与分数指数塞的四则混合运算

\_\__21I1二1

解⑴原式=7X3^—3X3§X2-6X3-5+(3X35)4=3§—6*3一§+3§

]__2

=2义V-2X3X33

1।

=2X33-2X33=0.

⑵原式=[偌)「_(3X1)rX13」+(|)115-10X(0.33)3

=岛)"义6+步—10X0.3=学—93=0.

力综合运用

11.若100"=5,10"=2,贝1」24+人等于()

A.50B.12C.20D.1

答案D

解析；100"=5,

.,.102fl+z>=102a-l0*=5X2=10,

：.2a+h=\,故选D.

12.若a>l,b>0,ab+a~b—2y[2,则a"一。一"等于(

A.乖B.2或一2

C.-2D.2

答案D

解析a>\,b>0,.,.ab>\,.*.a

.,.iz-fc€(0,l),.,.ah-a"h>0,

'：ab+a~b=2\[2,沙+/&=6,

(ah—ah)2—a2h+a~2b—2=4,

=2.故选D.

13.若2*=8日|,9v=3厂匕则x+y=.

答案27

解析,；2，=8Ml=(23))'+1=23>'+3,

；.x=3y+3,①

又...夕=3厂9=(32/=32>，，

：.x-9=2y,(2)

x=21,

由①②得，

尸6,

；.x+y=27.

2

14.化简心区二口①4

（a>0,比>0）的值为.

a5,亚

考点根式与分数指数基的互化

题点根式与分数指数基的乘除运算

15

答案a亦

2

2|i、~3

解析原式=百匕a一户

a屋加Ibd)

212

京.京_犷L_一l_i、3

ira

户而7

2

2+1133Y5

=a32A23.a2bl

7

7J

=心桢份

Z-1i-1

a6b6

15

土拓广探究

43

15.设〃=6，b=y/l2fc=#,则小b,c的大小关系是（）

A.a>h>cB.h>c>a

C.b>a>cD.a<b<c

答案D

4\_3

aA/24(23X3)42^x3^

解析

b31?1

V12(22X3)525X35

又a>0,b>0,:

3111

b逅(22X3)323X33

=r='^r

(2X3)222x32

又/?>0,c>0,:・b<c,

综上有4<*C,故选D.

求1工+1=+荔2+^的值.

16.已知a=3,

14

解

-T+1IY+a

11-a^1+。5

=______2______上4

(1y口于1T+a

1+/1-/1+标

、当+击

1—〃1+晨

4.2指数函数

4.2.1指数函数的概念

【学习目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性2了解指数增长型和指

数衰减型在实际问题中的应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

--------------------------1-------

知识点一指数函数的定义

一般地，函数y="(a>0,且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考为什么底数应满足。>0且。¥1?

答案①当“W0时，/可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当。=1时，〃=1

(xGR),无研究价值.因此规定y=o"，中。>0,且“#1.

知识点二两类指数模型

1.y=h”k>0),当年L时为指数增长型函数模型.

2.y=kaXk>0),当0<。<1时为指数衰减型函数模型.

■思考辨析判断正误

1.y=『(x>0)是指数函数.(X)

2.y=〃+2(a>o且是指数函数.(x)

3.y=G>是指数衰减型函数模型.(V)

4.若兀0=〃为指数函数，则a>l.(X)

题型探究探究重点素养提升

--------------------------\--------

一、指数函数的概念

例1(1)下列函数中是指数函数的是.(填序号)

①y=2.(何；②y=2Li；③尸⑨；④尸3:；⑤尸声.

(2)若函数y=(42—34+3)"是指数函数，则实数a—.

答案⑴③(2)2

解析(1)①中指数式(小尸的系数不为1,故不是指数函数；②中y=2「i,指数位置不是x,

故不是指数函数；④中指数不是x,故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定

的值，故不是指数函数，故填③.

(a2—3a+3=1,

(2)由丫=(层—3。+3>炉是指数函数，可得八=,解得a=2.

出>0且a#I,

反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数的值是否符合要求：

(2)〃'前的系数是否为1;

(3)指数是否符合要求.

跟踪训练1(1)若函数y=〃(2—。尸是指数函数，则()

A.a=1或-1B.a=1

C.〃=-1D.a>0且

答案C

解析因为函数>=层(2—。尸是指数函数，

产=1,

所以｛2—a>0,解得〃=—1.

[2—a#l,

(2)若函数y=(2。一3尸是指数函数，则实数«的取值范围是

答案(|,2)U(2,+8)

3

2a—3>0,-

解析由题意知2

2a—3#1,

二、求指数函数的解析式、函数值

例2⑴已知函数,是指数函数，且/(一号=奈则<3)=.

答案125

解析设/(x)=〃(a>0,且aWl),

由/(T)=雪得

所以。=5,即/)=5、所以13)=53=125.

(2)已知函数y=«r),x£R,且10)=3,42=:，…，〃《N*,求函数y

八uj乙.八1)乙八九U乙

=兀0的一个解析式.

解当X增加1时函数值都以3的衰减率衰减，

函数K0为指数衰减型，

分-0)，

又式0)=3,；.A=3,

.•孙)=3&

反思感悟解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系

数法设出函数解析式，再代入已知条件求解.

跟踪训练2已知函数兀0=〃+仪a>0,且经过点(-1,5),(0,4),则五一2)的值为

答案7

1

a~]+b=5,

解析由已知得，解得J2

a0+b=4,

、b=3,

所以述x)=C)"+3，

所以2)=©-2+3=4+3=7.

三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用

例3甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城

市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：

(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

⑵计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；

⑶对两城市人口增长情况作出分析.

参考数据：(1+1.2%严入1.127,(1+1.2%严心1.269,(1+1.2%)30Al.430.

解(1)1年后甲城市人口总数为

100+100X1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口总数为

y早=1OOX(1+1.2%)+1OOX(1+1.2%)X1.2%=1OOX(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口总数为

yf=100*(1+1.2%)3；

x年后甲城市人口总数为y单=100X(1+1.2%)，.

x年后乙城市人口总数为yz=100+1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

（3）甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人

口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.

反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施

（1）解决这类问题的关键是理解增长（衰减）率的意义：增长（衰减）率是所研究的对象在“单位时

间”内比它在“前单位时间”内的增长（衰减）率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.

（2）具体分析问题时，应严格计算并写出前3〜4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规

律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.

（3）在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型

表示，通常可以表示为），=N（l+p兴其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式.

跟踪训练3中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康

社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建

成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的

基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水

平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高.

设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年

城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：

①（l+p%）X10=2；

②（1+p%严=2；

③]0。+。％）=2；

④l+10Xp%=2.

其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.@

答案B

解析已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.

则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：（l+p%）i°=2；

正确的关系式为②.

随堂演练----------基-础-巩-固学、-以-致-用-

1.下列函数：

①y=2・3"；②③y=3"；④y=/.

其中，指数函数的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，3,的系数是2,故①不是指数函数；

②中，y=3#i的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数；

③中，），=3。3*的系数是1,指数是自变量x,且只有3,一项，故③是指数函数;

④中，y=V中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.

所以只有③是指数函数.故选B.

2.若函数y=（川一〃?一1>”是指数函数，则m等于（）

A.一1或2B.-1

C.2D.1

答案C

解得，”=2（舍机=-1）,故选C.

3.如表给出函数值了随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（）

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.累函数模型

答案C

解析观察数据可得y=4+

4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂

x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是（）

A.y=2xB.y=2A'-1

C.y=2'D.y=2"i

答案D

解析分裂一次后由2个变成2X2=2?（个），分裂两次后变成4X2=23（个），…，分裂x次后

变成y=2-i（个）.

5.贝x）为指数函数，若兀v）过点（-2,4）,则用（-1））=.

答案|

解析设式幻=出（〃>0且〃W1）,

所以八-2）=4,2=4,解得。=；,

-课堂小结

1.知识清单：

（1）指数函数的定义.

（2）指数增长型和指数衰减型函数模型.

2.方法归纳：待定系数法.

3.常见误区：易忽视底数。的限制条件：。＞0且“#1.

课时对点练注重双基强化落实

----------------------N--------------------

基础巩固

i.下列函数中，指数函数的个数为（）

①尸似一|；

②y=a，（a＞0,且。灯）；

③y=1r；

A.0B.1C.3D.4

答案B

解析由指数函数的定义可判定，只有②正确.

2.若函数人劝=（｝“一3）/是指数函数，则的值为（）

A.2B.-2C.-2^2D.2吸

答案D

解析因为函数人x）是指数函数，

所以5—3=1,所以a=8,

所以_/U）=8。fQ）=82=2吸.

3.下列函数关系中，可以看作是指数型函数丫=依"6&。＞0且aWl）的模型的是（）

A.竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系（不

计空气阻力）

B.我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系

C.如果某人rs内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度。与时间r的函数关系

D.信件的邮资与其重量间的函数关系

答案B

解析A中的函数模型是二次函数；

B中的函数模型是指数型函数；

C中的函数模型是反比例函数；

D中的函数模型是一次函数.故选B.

4.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按

此规律,设2019年的湖水量为从2019年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为()

X

A.尸0.9石

X

B.>=(1-0.何而

X

C.y=O.95Ow

D.>'=(l-0.150v)m

答案C

解析方法一设每年的衰减率为q%,

则(q%严=0.9,

1

所以4%=0.9石，

X

所以x年后的湖水量y=0.9而m.

方法二设每年的衰减率为q%,

1

则(1-4%严=。9,所以g%=l—0.9而,

1X

所以—(1-0.9而)r=0.9而m.

5.下列函数图象中，有可能表示指数函数的是()

ABCD