人教版数学七年级下教案：第9章 不等式与不等式组

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

鲜翱醐

1.了解不等式的概念；

2.会用不等式表示简单问题的数量关系；(重点)

3.理解不等式的解、解集及解不等式.(难点)

欲谈i

一、情境导入

有一群猴子，一天结伴去摘桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；

如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子，几个桃

子吗？

二、合作探究

探究点一：不等式的概念

1例d下列各式中：①一3<0；②4x+3y>0；③x=3：@x1+xy+y2i⑤xW5：⑥x+2

>y+3.不等式的个数有()

A.5个B.4个C.3个D.1个

解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，

共4个.故选B.

方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式.解

答此类题的关键是要识别常见不等号：>,V,W,》，W.如果式子中没有这些不等号，

就不是不等式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：列简单不等式

raa根据下列数量关系，列出不等式：

(l)x与2的和是负数；

(2>与1的相反数的和是非负数；

(3).与一2的差不大于它的3倍；

(4)a,b两数的平方和不小于它们的积的两倍.

解析：(1)负数即小于0:(2)非负数即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于；(4)不

小于就是大于或等于.

解：(l)x+2<0;

⑵机一120;

(3)a+2W3“；

(4)〃2+/>222成

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第6题

探究点三：不等式的解与解集

［类型一］对不等式解的理解

砸1下列不是不等式5x-3<6的一个解的是()

A.1B.2C.-1D.-2

解析：分别把四个选项中的值代人不等式，能使不等式成立的数分别为5X1—3=2<6,

5X(-1)-3=—8<6,5X(—2)—3=-13<6,而5X2—3=7>6不能使不等式成立，故选B.

方法总结：判断某个数值是否为不等式的解的方法：可直接将数值代入不等式的左右两

边看不等式是否成立.如果成立，则是不等式的解；反之，则不是.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题

［类型二］对不等式解集的理解

网11下列说法中，正确的是()

A.x=2是不等式x+3<4的解

B.x=3是不等式3x<7的解

C.不等式3x<7的解集是x=2

D.x=3是不等式3x>8的解

解析：A不正确，因为当x=2时，x+3<4不成立；B不正确，因为不等式3x<7的解

7

集是xq,当x=3时，不等式3x<7不成立；C不正确，因为不等式3x<7有无数多个解，

而x=2只是其中一个解，因此只能说x=2是3x<7的解，而不能说不等式3x<7的解集是尤

=2：D正确，因为当x=3时，不等式3x>8成立.故选D.

方法总结：不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.未知数取解集中任

何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

三、板书设计

1.不等式的概念

2.用不等式表示数量关系

3.不等式的解、解集

皱暮信思

本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系.要注意常用的关键词的含

义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键词中

如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“="，这也是学生容易出错的地方

9.1.1不等式及其解集

【教学目标】

1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决

简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数

轴上；

2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，

渗透数形结合思想；

3、通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数

学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并

能将它们应用到生活的各个领域。

【教学重点与难点】

1.难点：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴

上。

2.建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d”类型的一元一次方程

【教学过程】

—>提出问题

1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏.现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生

了倾斜，游戏无法继续进行下去了.这是什么原因呢？

2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50千米。要在12：00以前驶过A地，车

速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？

二、探究新知

(一)不等式、一元一次不等式的概念

1、在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“V”或“〉”表示大小关

系的式子叫做不等式；用“并”表示不等关系的式子也是不等式。

2、下列式子中哪些是不等式？

(1)a+b=b+a(2)-3>-5(3)xWl

(4)x+3>6(5)2m<n(6)2x-3

上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数.我们把那些类似于一元一次方程，

含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.

3、小组交流：说说生活中的不等关系.

分组活动.先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言，在此

基础上引出不等号和补充说明：用和“W”表示不等关系的式子也是

不等式.

(-)不等式的解、不等式的解集

问题1.要使汽车在12：00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？

问题2.车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小

时74千米呢？

问题3.我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.刚才同学们所说的这些数，哪些

是不等式2*x>50的解？

3

2

问题4.数中哪些是不等式一X>50的解：

3

76,73,79,80,74.9,75.1,90,60

你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？

22

讨论后得出：当x>75时，不等式一尤>50成立；当x<75或x=75时，，不等式一x>

33

2

50不成立。这就是说，任何一个大于75的数都是不等式>50的解，这样的解有

3

2

无数个。因此,x>75表示了能使不等式>50成立的“x”的取值范围。我们把它

3

2

叫做不等式一X>50的解的集合，简称解集.这个解集还可以用数轴来表示(教师示

3

范表示方法).回到前面的问题，要使汽车在12：00以前驶过A地，车速必须大于每小

时75千米。

一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式

的解集的过程叫做解不等式.

三、巩固新知

1、下列哪些是不等式x+3〉6的解？哪些不是？

-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12

2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：

(1)x+3>6(2)2x<8(3)x-2>0

四、拓广探索

对于问题1还有不同的未知数的设法吗？

学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程

Y

—+x+2x=140

2

若设今年购买计算机X台，得方程

XX.“八

—+-+x=140

42

五、解决问题

某开山工程正在进行爆破作业.已知导火索燃烧的速度是每秒0.8厘米，人跑开的

速度是每秒4米.为了使放炮的工人在爆炸时能跑到100米以外的安全地带，导火索的长

度应超过多少厘米？

六、总结归纳

1、不等式与一元一次不等式的概念；

2、不等式的解与不等式的解集；

3、不等式的解集在数轴上的表示.

七、布置作业

1、用不等式表示下列数量关系：

(1)a比1大；

(2)x与一3的差是正数；

(3)x的4倍与5的和是负数

2、在一4,—2,—1,0,1,3中，找出使不等式成立的x值：

(1)x+5>3,(2)3x<5

3、在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x<2,(2)x>-3

4、不等式x<5有多少个解？有多少个正整数解？

9.1.2不等式的性质

第1课时不等式的性质

1.理解并掌握不等式的性质；(重点)

2.会利用不等式的性质解简单不等式.(重点、难点)

一、情境导入

小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了.”

小刚的说法对吗？为什么？

.我9岁：、

再过24年.

二、合作探究

探究点一：不等式的性质

［类型—］比较代数式的大小

硒1已知一xV—y,用或“>”填空：

(1)—2%-2y；

(2)2x2y；

(3)|x|y.

解析：(1)根据不等式的性质2,不等式两边同乘以2,不等号方向不变，故填<;(2)

根据不等式的性质3,不等式两边同乘以一2,不等号方向改变，故填>：(3)根据不等式的

2

性质3,不等式两边同乘以一可，不等号方向改变，故填>.

方法总结：利用不等式的性质2、3把不等式进行变形时，首先必须弄清两边同时乘(或

除以)的数的符号，如果这个数是正数，不等号的方向不变；如果是负数，不等号的方向改

变.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第1题

［类型二］判断变形是否正确

侬根据不等式的性质，下列变形正确的是()

A.由“泌得“<?>岳2

B.由cic2>b(r得a>b

C.由一呼>2得”<2

D.由2r+l>x得》<一1

解析：A中c=0时，a(?"=b<?',故A错误：B中不等式的两边都乘(或除以)同一

个正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，

不等号的方向改变，右边也应乘以一2,故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，

不等号的方向不变，故D错误.故选B.

方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不

等号的方向改变.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

［类型三］根据不等式的变形确定字母的取值范围

如果不等式（〃+l）x〈a+1可变形为x>1,那么a必须满足.

解析：根据不等式的性质可判断a+1为负数，即“+1V0,可得“〈一1.

方法总结：只有当不等式的两边都乘（或除以）一个负数时，不等号的方向才改变.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：利用不等式的性质解简单的不等式

硒1利用不等式的性质解下列不等式：

（l）2x—2<0；

（2）3L9<6X；

13

（3）2-*-2>2^~5.

解析：根据不等式的性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右

边，然后把系数化为1.

解：（1）根据不等式的性质1,两边都加上2得版<2.根据不等式的性质2,两边除以2

得K1;

（2）根据不等式的性质1,两边都加上9—6x得一3x<9.根据不等式的性质3,两边都除以

—3得x>一3；

3

（3）根据不等式的性质1,两边都加上2—本得一4—3.根据不等式的性质3,两边都除

以一1得x<3.

方法总结：运用不等式的性质进行变形时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代

数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边，然后把未知数的系数化为

1.要注意的是：如果两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果两边都乘（或除

以）同一个负数，不等号的方向改变.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

不等式的性质1：如果那么a土c>任c.

不等式的性质2：如果c>0,那么ac>bc（或£>§）.

不等式的性质3：如果c<0,那么（或

欲裳康恩

在学习不等式的性质时，可与等式的性质进行类比学习.在课堂中，让学生大胆质疑，

同时通过易错例题加深学生对不等式的性质3的理解和认识.通过学习，还需要学生能独立

把不等式的三条性质用数学符号表示出来

第1课时不等式的性质

【教学目标】

1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；

2、初步体会不等式与等式的异同；

3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴

趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性.

【教学重点与难点】

3.难点：正确运用不等式的性质。

4.重点：理解并掌握不等式的性质。

【教学过程】

—■、提出问题

教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：

1、天平被调整到什么状态？

2、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的祛码，天平会有什么变化？

3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的磋码，天平会有什么变化？

4、如果对不平衡的天平两边祛码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相

同的倍数呢？

二、探究新知

1、用或填空.

(1)-1<3-1+2_3+2-1-3_3-3

(2)5>35+a_3+a5~a_3-a

(3)6>26X52X56X(-5)2X(-5)

(4)-2<3(-2)X6_3X6

(-2)X(-6)_3X(—6)

(5)-4>-6(-4)+2(-6)4-2

(-4)十(-2)(-6)(-2)

2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你

的发现告诉同学们并与他们交流.

3、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：

不等式性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

不等式性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

4、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？

5、下列哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？

-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12

6、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：

(1)x+3>6(2)2x<8(3)x-2>0

三、巩固新知

1、判断

(1)Va<ba-b<b-b

(2)：a.<b—<—

33

(3)Va<b-2a<一2b

(4)V-2a>0a>0

(5)V-a<0a<3

2、填空

(1),/2a>3a，a是数

(2)V-<-二a是数

32

(3)；ax<a且x>1a是数

3、根据下列已知条件，说出a与标不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。

(1)a—3>b—3(2)—<—

33

(3)-4a>-4b

四、总结归纳

1、等式性质与不等式性质的不同之处；

2、在运用“不等式性质3”时应注意的问题.

五、布置作业

第2课时含的不等式

暮窃圜痂

1.理解“w”的含义，并掌握它们与的区别；(重点)

2.掌握不等式的解集如何在数轴上表示.(重点)

一、情境导入

如图所示是一条公路上的交通标志图案，它们有着不同的意义，你知道图中的80所表

示的含义吗？试着用不等式表示出来.

二、合作探究

探究点一：认识含“W”或的不等式

硒1下列根据语句列出的不等式错误的是()

A.“x的3倍与1的和是正数”，表示为3x+l>0

B.“加的士与〃的抽差是非负数"，表示为'-；心0

C."x与y的和不大于“的；”，表示x+y当

D.“以〃两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为3a+b力ab

解析：根据题意，找出关键词语“正数”“非负数”“不大于”“不小于”列出不等式

即可.A.“x的3倍与1的和是正数”，表示为3x+l>0,正确；B.am的1与n的：的差是

非负数”，表示为，一;〃20,正确；C."x与y的和不大于〃的g",表示为x+yW%,正

确；D.“a、h两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为错误，应表示为3(“

十份》H.故选D.

方法总结：此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是抓住题目中的关键词，如大

于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)、至少、最多等等，正确选择不等号.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

崛小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那

么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为()

A.10+8x272B.2+10x272

C.10+8x^72D.2+10x<72

解析：设以后每天读x页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开

始2天每天只读5页，可列出不等式2X5+(10-2)x272,整理得出10+8x272.故选A.

方法总结：本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键设出每天读多少页，以

总页数作为等量关系列方程.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第2题

探究点二：在数轴上表示不等式的解集

MB根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(l)2x+525x—4；

(2)4—3xW4x—3

(3)-亨

解析：先根据不等式的性质1,可以对不等式进行变形，然后根据不等式的性质2或3,

可把不等式化为“x>/'“x<a”或“xWa”的形式.

解：(1)不等式两边同时减5x,得一3x+5》-4.不等式两边同时减5,得一3xN-9.不等

式两边同时除以一3,得xW3.

在数轴上表示x的取值范围如图所示.

~~1,

03

(2)不等式两边同时加一4x—4,得一7xW—7.不等式两边同时除以一7,得x2l.在数轴

上表示x的取值范围如图所示.

0I

(3)运用不等式的性质2,两边同时乘6,得一4x+6Z3x-3.不等式两边同时加一3x-6,

得一7》》一9.两边同时除以一7,得xW*9

在数轴上表示x的取值范围如图所示.

09.

7

方法总结：用数轴表示不等式的解集的方法：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示

出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确

定“方向（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不

等式的解，则用空心圆圈；（2）确定"方向"：对边界点a而言，x>a或向右画，x<a

或xW。向左画.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

三、板书设计

1.含“W”的不等式

含等号用实心圆点

在数轴上表示

2不等式的解集不含等号用空心圆圈

小于向左，大于向右

利用数轴表示不等式的解集，能让学生直观形象地了解不等式的解集的特征：不等式的

解集中包括无限个解.由于数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以大于向

右画线，小于向左画线.教学时要特别注意解集的四种情况在数轴上表示的区别，这也是本

节课中学生容易出错的地方

第2课时含的不等式

【教学目标】

1、会根据“不等式性质1"解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；

2、学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；

3、在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实

事求是的态度以及独立思考的习惯.

【教学重点与难点】

5.难点：根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。

6.重点：根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。

【教学过程】

一、提出问题

小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始.小希家距学校有2千米，而他的

步行速度为每小时10千米.那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？

1、若设小希上午x点从家里出发才能不迟到，则x应满足怎样的关系式？

2、你会解这个不等式吗？请说说解的过程.

3、你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？

二、探究新知

1、分组探讨：对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考然后组内交流，作出记

录，最后各组派代表发主。

2、在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：

（1）x应满足的关系是：xH—W8

5

(2)根据“不等式性质1”，在不等式的两边减去!，得：x+---<8--,即x

5555

(3)这个不等式的解集在数轴上表示如下:

°4

我们在表示724的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数。

5

3、例题

解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)3x<2x+l(2)3-5x>4-6x

师生共同探讨后得出：上述求解过程相当于由3x<

2x+l,得3x-2x〈l；由3—5x24—6x,得一5x+6x24-3.这类似于解方程中的“移项可

见，解不等式也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号

的方向.

最后由教师完整地板书解题过程.

三、巩固新知

1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)x+5>-l(2)4x<3x-5(3)8x-2<7x+3

2、用不等式表示下列语句并写出解集：

(1)x与3的和不小于6；

(2)y与1的差不大于0.

四、解决问题

1、某容器呈长方体形状，长5cm,宽3cm,高10cm.容器内原有水的高度为3cm。现

准备继续向它注水.用Vcm,示新注入水的体积，写出V的取值范围。

2、三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？

五、总结归纳

1、通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法。

2、还明臼了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的。

六、布置作业

9.2元一次不等式

第1课时元一次不等式的解法

卷翱图嬴

1.理解一元一次不等式的概念；（重点）

2.掌握一元一次不等式的解法.（重点、难点）

一、情境导入

1.什么叫一元一次方程？

2.解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？

3.如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？

二、合作探究

探究点一：一元一次不等式的概念

［类型一］一元一次不等式的识别

硒|下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

A.5x-2>0B.—3V2+：

C.6x-3yW-2D./+1>2

解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两

个未知数，选项D中未知数的次数是2,故选项B,C,D都不是一元一次不等式.故选A.

方法总结:如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件:①含有一个未知数；

②未知数的最高次数为1;③不等式的两边都是关于未知数的整式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

［类型二］根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围

傍胸己知一手"-|+5>0是关于x的一元一次不等式，则a的值是.

解析：由一/2ar+5>0是关于x的一元一次不等式得2“一1=1,则。=1.故答案为1.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：解一元一次不等式

［类型一］解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集

砸1解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:

x+12x-l9x+2

Wl.

(l)2x—3<2*6

解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1,求出不等式的解集，然

后在数轴上表示出来即可.

解：⑴去分母，得3(解-3)Vx+l,

去括号，得6x—9(x+l,

移项，合并同类项，得5x<10,

系数化为1,得x<2.

不等式的解集在数轴上表示如下：

-4-3-2-101234

(2)去分母，得2(2v-l)-(9x+2)W6,

去括号，得4x—2—9犬—2《6,

移项，得4x-9xW6+2+2,

合并同类项，得一5xW10,

系数化为1,得x2一2.

不等式的解集在数轴上表示如下：

_4-3-2-101234

方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别

实心圆点与空心圆圈.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型二］根据不等式的解集求待定系数

砸I已知不等式X+8>4X+,〃(〃2是常数)的解集是x<3,求〃?的值.

解析：先解不等式x+8>4x+m,再列方程求解.

解：因为x+8>4x+/«,所以x—4x>w—8,所以一3x>，〃-8,所以8).

因为其解集为x<3,

所以一g(机-8)=3,解得机=-I.

方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯

一性列方程求字母的值.解题过程体现了方程思想.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

［类型三］求不等式的特殊解

丽y为何值时，代数式^的值不大于代数式(一导的值？并求出满足条件的最

大整数.

解析：根据题意列出不等式空於忘1一?，再求出解集，然后找出符合条件的最大整

0(53

数.

解：依题意，得安3^^一宁，

去分母，得4(5y+4)<21—8(1—y),

去括号，得20)，+16W21—8+8y,

移项，得20y—8yW21—8—16,

合并同类项，得12yW—3,

把y的系数化为1，得y<一/

yW一；在数轴上表示如下：

-4-3-2-l_101234

由图可知，满足条件的最大整数是一1.

方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解.在确定

特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

［类型四］一元一次不等式与二元一次方程组的综合

____［x—y=3,

硒已知关于x、y的方程组［i+y=6”的解满足不等式x+><3,求实数。的取值范

围.

解析：先解方程组，求得x、y的值，再根据x+yV3解不等式即可.

X=2Q+1»

解:解方程组得

y=2a—2.

9：x+y<3,・・・2。+1+2。-2V3,

・・.4aV4,

方法总结：已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母

系数的取值范围.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

三、板书设计

1.一元一次不等式的概念

2.解一元一次不等式的基本步骤：

去分母

去括号

移项

合并同类项

系数化为1

煞暮信恩

本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元

一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同.如果这个

系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变.这也是这节课

学生容易出错的地方.教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生

注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错

第1课时一元一次不等式的解法

【教学目标】

1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元

一次不等式解决实际问题的经验,渗透分类讨论思想,感知方程与不等式的内在联系；

3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事

求是的态度和独立思考的习惯。

【教学重点与难点】

1、难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。

2、重点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。

一、提出问题

某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为

6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余

每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你该怎么考虑，

如何选择？

二、探究新知

1、分组活动.先独立思考，理解题意.再组内交流，发表自己的观点.最后小组汇报，

派代表论述理由.

2、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案：

(D什么情况下，到甲商场购买更优惠？

(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？

(3)什么情况下，两个商场收费相同？

3、我们先来考虑方案：

设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠.

问题1：如何列不等式？

问题2：如何解这个不等式？

在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如下：解：设购买x台电脑，如果到甲商场

购买更优惠，则6000+6000(1-25%)(x-1)<6000(1-20%)x

去括号，得：6000+4500x-45004<4800x

移项且合并，得：-300x<1500

不等式两边同除以一300,得：x<5

答：购买5台以上电脑时，甲商场更优惠.

4、让学生自己完成方案(2)与方案(3),并汇报完成情况.

三、结决问题

甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施.甲

商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90%收费；乙商场

则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95%收费.顾客选择哪个商店购物

能获得更多的优惠？

问题1：这个问题比较复杂.你该从何入手考虑它呢？

问题2：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物

50元，起点数额不同，因此必须分别考虑.你认为应分哪几种情况考虑？

分组活动.先独立思考，再组内交流，然后各组汇报讨论结果.

最后教师总结分析：

1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；

2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小。

3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：

(1)什么情况下，在甲商场购物花费小？

(2)什么情况下，在乙商场购物花费小？

(3)什么情况下，在两家商场购物花费相同？

上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。

四、总结归纳

通过体验买电脑、选商场购物，感受实际生活中存在的不等关系，用不等式来表示这

样的关系可为解决问题带来方便.由实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转

化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案.

五、布置作业

1、某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司.经洽谈，

甲公司的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按7.5折收费；乙公司的优惠条件则

是全体师生都按8折收费.

(1)当学生人数超过多少时，甲公司的价格比乙公司优惠？

(2)经核算，甲公司的优惠价比乙公司要便宜金，问参加旅游的学生有多少人？

2、某单位要制作一批宣传资料•.甲公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3000

元；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费.

(1)什么情况下，选择甲公司比较合算？

(2)什么情况下，选择乙公司比较合算？

(3)什么情况下，两公司收费相同？

3、某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”月租费30元，每分钟通话费0.2元；“神

州行”没有月租费，每分钟通话费0.4元(两种通话均指市内通话).如果一个月内通话

x分钟，选择哪种通讯业务比较合算？

4、某商场画夹每个定价20元，水彩每盒定价5元.为了促销，商场制定了两种优惠

办法：一是买一个画夹送一盒水彩；一是画夹和水彩均按九折付款.章老师要买画夹4个，

水彩若干盒(不少于4盒).问：哪种方法更优惠？

第2课时一元一次不等式的应用

暮烹圜瀛

i.会在实际问题中寻找数量关系；

2.会列一元一次不等式解决实际问题.(重点、难点)

豌暮诵

一、情境导入

我店累计购买元商品

后，再购买的商品按原

价的90%收费."

我店累计购买5。元商品

后，再购买的商品按原

价的95%收费./X

如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？

二、合作探究

探究点：一元一次不等式的应用

［类型—］商品销售问题

硒1某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小.为了促销，商场决定打折

销售，为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品？

解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120X20%=24（元）.若打x折，

YX

该商品获得的利泗=该商品的标价X行一进价，即该商品获得的利润=180X行一120,列出

不等式，解得x的值即可.

解：设可以打x折出售此商品，由题意得

Y

180X^-1202120X20%,

解得x28.

答：最多可以打8折出售此商品.

方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价一进价=利润.读懂题意列出不等关系式

求解是解题关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

［类型二］竞赛积分问题

M0某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分.小明得分要

超过80分，他至少要答对多少道题？

解析：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为（25—0道，根据得分要超过80分，

列出不等关系式求解即可.

解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（25—x）道.根据他的得分要超过80

分，得

4x-2（25-x）>80,

2

解得x>21］.

因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.

答：小明至少要答对22道题.

方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分一扣分=最后得分.本题涉及不等式的整

数解，取整数解时要注意关键词：“至多”“至少”等.

【类型三】安全问题

砸1在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药,导火索的燃烧速度为0.5cm/s,

引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安全区

域？

解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不

等式为G标x2600,解出不等式即可.

解：设以福秒xm的速度能跑到600m以外（包括600m）的安全区域.0.5cm/s=0.005m/s,

依题意可得。（；（枕2600,

解得x23.

答：引爆员点着导火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安

全区域.

方法总结：题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

［类型四］分段计费问题

触I小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不

超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方

米收费2元.小明家每月用水量至少是多少？

解析：当每月用水5立方米时，花费5X1.8=9（元），则可知小明家每月用水超过5立

方米.设每月用水x立方米，则超出（X—5）立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，

列一元一次不等式求解即可.

解：设小明家每月用水x立方米.

V5X1.8=9<15,

二小明家每月用水超过5立方米.

则超出（x—5）立方米，按每立方米2元收费，

列出不等式为5X1.8+（x—5）X2215,

解得x28.

答：小明家每月用水量至少是8立方米.

方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费

用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型五】调配问题

例❺有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多

少人种甲种蔬菜？

解析：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10—x）人.则种甲种蔬菜3x亩，乙

种蔬菜2（10-x）亩.再列出不等式求解即可.

解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10—x）人.

根据题意得0.5X3x+0.8X2（10—x）215.6,

解得xW4.

答：最多只能安排4人种甲种蔬菜.

方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数.

［类型六］方案决策问题

画13为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备，

其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算，该企业购买设备的资金不高于

105万元.

A型8型

价格（万元/台）1210

处理污水量（吨/月）240200

年消耗费（万元/台）11

（1）该企业有几种购买方案？

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

解析：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10—x）台，列出不等式求解即可，x

的值取整数；（2）根据题表信息列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案.

解：（1）设购买污水处理设备A型