试论初等数学符号的改进-莫绍揆

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑试论初等数学符号的改进莫绍揆(南京大学数学系210093)大家都知道能够建立数学符号系统是一件很重要的事情.我国古代固然有很先进的十进记数法以表示数值,但是却没有表示各种运算的符号.在这方面却是大大的落后了.明代以后我国数学的中衰,这未尝不是缘故之一.经过世界各国千百年的不断发展演进,目前不但数学理论异常成熟,为各个科学部门的基础,甚至于我们所使用的数学符号,也是异常完备,为其他各个科学部门所公用,所仿效借鉴,但是郑重说来,目前的数学符号系统还很难说是完美的,甚至于可以说是依然犯有根本性的错误的.最主要的两点是,因变元与函数关系(运算)的混乱,以致求导数(尤其是求偏导数)的符号既异常不方便也异常不合理;以及约束变元与自由变元的混乱,以致各种积分变换的表示也不方便、不合理.我们学习数学分析和微分方程时,可以说到处都受到这种不完美的符号系统之累.我们普通认为,这只是高等数学方面的问题,至少在初等数学方面,这两个毛病是没有的,因此目前的初等数学符号系统还是很合用的,是不必更改的.本文作者认为,即使没有这两种根本性的缺点,目前的初等数学符号系统,依然有很多不方便处,值得改进.其所以不方便,主要有两点.首先,尤其是通行了机器语言以后,我们常常要求所使用的符号应该写成一横行,不应有上下并列,不应有上角下标,这已经是不容忽略的要求.现在的符号系统倘若违抗了这个原则的应该改进,例如,分数的分子、分母是上下并列的,乘方的指数写成肩码,有限求和、求积时的上下限是写在上下方的等等,都应改进.第二,括号应该只用以表示把运算的结果合成一项以及表示向量,不应表示某种特定的运算.因此,例如,用[]表示取整数部分的运算,用mn我们认为,今后引进新符号时,应该按照这些原则而发明新符号,否则很难说是合适的,至于原出改进,现在试按照这两点来看看目前的初等数学符号系统.首先,关于四则运算,加、减、乘、除的符号,目前我们使用+、−、×181920对后面两个除式,他们绝不会省掉有关剩余的回答,对第一除式之所以没有回答剩余,只不过因为剩余为0因而省略罢了.可见采取除法的结果应该得两个值,商与剩余.既然除法的结果有两个值,那么郑重说来,只用“商”来对应除法是不完备的.人们对于除法之所以只提“商”这个值,乃由于一个除法运算而有两个值,这与前三个运算只有一个值的情况不同.其实,商和剩余是两个不同的但却是同样异常重要的数值,是内容丰盛的数论的根本出发点.既然人们不肯意一个运算而得两个数值作为结果,我们应该把求商和求剩余看作两个不同的运算,给它们分离造专用的符号.目前人们却没有这样做,以致即使在高深的数论里,要表示剩余,根本没有正式的符号(有人表示为rs19,6,这只是暂时使用,很难说已经成了正式符号);要表示商我们只能写为19/6,它意指先求分数19/6,再取其整数部分,结果虽与商相同,但郑重说来,不是求商运算.可以说目前人们没有给商和剩余发明19从小学起便认识它们,以后在数论中继续使用,运算起来便将得心应手了.再说表示分数的符号.现在,求分数的运算用有的符号也可以按照这些原则而评定其优劣并作。一条横画表示，分子，公母各放在横画的上下方，例如56,读为“六分之五”.但是,上面说过,我们使用的符号应该写成一横行,不应有上下堆叠,不应有上角下标.因此我们建议,应该把目前已经使用的另一写法5/6作为分数的正式(标准)记号;并依其书写顺序读为:“五分以六”(用旧写法才读“六分之五”).又,现在把a的逆数记为1/a,凭空多写分子1,这是不够简便的;我们应该仿把a的反号数记为−a那样,把a的逆数记为/a.正如“a加负b”可记为a−b那样,“a乘b的逆数”也可记为a/b,这正是我们建议的分数记法.分数加减时还可如下记忆,更为方便:外积加减内积作为分子,分母相乘为分母;例如,5/6±3/4将是:外积4⋅5加减内积现在没有特定的记号表示乘方运算,只把底数写在一行中间,把乘方指数写成上标,这么重要的运算居然没有特定符号表示,这是异常不合理的;此外,如上所说,它使用上标,不写成线形行,不适用于机器语言,这是极不方便的,必须改正.我们建议,可模仿程序语言中的写法而略作变化,用↑作为乘方运算的记号,叫做乘方符,把“a的b次方”记为a↑b,a叫做乘方的底,b叫做乘方指数;并约定,它的管辖范最狭,甚至于比毗连(表示乘法)所管的还狭;例如,3a↑b指“a的b次方的三倍”而不是“3a的b次方”,后者须写为3a↑b.普通,倘若↑所管的不是最狭的范围,则必须用括号括出.至于两个乘方符之间,则和两个同等管辖能力的符号之间一样,约定使用左结合,亦即乘方的三大定理可写为:aaa给出这三条乘方定理后,可以顺便告诉读者:倘若容许乘方指数可为0及正负整数,它们应该有下列的意义,当a≠0因为a↑0⋅a↑n=a因为a↑−n⋅a↑n+1=a↑和没有制定乘方运算符号相反,现在却异常为开方运算(求根运算)制定异常记号:​,这是开平方,当开n次方时则在左上角记上n.按照目前的教学顺序,学了正整指数以后,即进入到开方,当读者认识开方运算后,再找机会推荐分数指数,其实,我们应该一开始便推荐分数指数.引入过程大体如下.当想开始研究开方运算时,再次指出,乘方指数还可以推广到分数,其意义如下.因为a↑m/n↑n=a↑m/n⋅n=a↑m,故a↑m/n应该是满意下列条件的x:x↑必须注重,当n为奇数时,a↑/n是唯一的而且a可正可负均有定义;当n为偶数时,只当a为正时a↑/n才有定义,而且这时可有两值,一正一负.因为我们容易证实,推广到正负分数指数以后,仍然满意指数的三大定律,其证实绝不难于证实有关开方运算的定理;而使用分数指数的乘方较之使用开方符号要方便得多.因此,可以根本取消有关开方运算​的理论,根本不必引入符号​.可以说,乘方与开方属于同一个运算↑,当主目为整数时便是乘方,当主目为分数时便是开方.使用这种符号系统后,例如,普通的二次方程可表示为:ax∧2+bx初等数学符号系统有一个极大的特征,那就是,郑重区别运算(函数关系)和因变量(函数).前者指一种动作,后者是一个项,一种数值.例如,提到运算时叫做加减乘除,提到数值时叫做和差积商,两者区别得清清晰楚,绝没有混乱的可能.到了乘方,开始有些混乱.当我们说,“对x乘方三次”,这时“乘方”是动词,是运算;当我们说“x的三次乘方”,这时“乘方”是名词,是项,是(因)变量.但是这只是同名(同叫做“乘方”)歧义,还能按照它用为动词还是用为名词而作区别,到了“乘方”以上,亦即超出代数运算的范围时,人们便只说“因变量”(函数)”不再说“运算(函数关系)”了.这时,我们只引入表示函数(因变量)的符号fx,不再单独地引入表示运算的符号f略谈对一个几何题的开辟夏敦煌(湖北省通山县寺下中学437600)已知AD与BC交于E求证:1AC图一这是一个常见的几何题,它有较为丰盛的潜能.若对它举行开辟,以用于初三复习或第二课堂教学.则在培养学生的探索能力方面将收到事半功倍的教学效果.下面本文在原条件不变及尽量不加新线段(若加,则要求所得的结论能以原题结论引出)的基础上大略地谈谈对本题的(初步)开发.(主要结论都在波浪线上).1.若AC=BD且AC⊥AB,由AC//FE//BD知△2.若AC=BD.由AC//FE//BD得1AC+1BD=1FE,而AC=BD.∴2AC=1FE,2BD=1FE,∴EF=13.由AC//FE//BD∴4.若∠1=∠2=60∘(图二)由AC//FE//BD知△AEC与图二5.若∠1=∠2≠60∘(图三)由AC//FE//BD易知∠C=∠5,知道“对数运算”log和“正弦运算”sin了,岂止不知道这两个运算,以前的读者甚至于还被千叮万嘱地告诉:log和sin是没存心义的,必须后面跟以数值或变元时才干使用.其实,这样的告诫是不够妥善的.因为,