天津市河东区2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版）

河东区2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！2．本卷共11小题，每小题5分，共55分.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得的值，然后计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：A.2.对于任意实数a，b，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用指数函数性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由，得或，则或；由，得，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.若偶函数，则（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数定义求解即得。【详解】函数中，，解得或，由为偶函数，得，即，整理得，即，而不恒为0，所以.故选：B4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数和对数的运算性质将三个值化简，再利用指数函数的单调性判断即得.【详解】由，，，因是增函数，故.故选：C.5.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件，由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，则,而同时爱好两个项目的占，即，则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为．故选：A．6.为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由已知,，故选C.7.若，，则的值是（）A.3 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.详解】由，得，而，所以.故选：A8.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】A【解析】【分析】根据题意，由直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项可得答案．【详解】对于A，若，，则或，又，所以，故A正确；对于B，若，，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；对于C，若，，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误；对于D，若，，则或，又，则或，故D错误．故选：A．9.设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增，因此函数的单调递减区间是，而函数在区间0,1单调递减，则，即，解得，所以a的取值范围是.故选：D10.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；②有把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.A.个 B.个 C.个 D.个【答案】D【解析】【分析】根据，与临界值表对照判断.【详解】解：因为，且，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，故①②正确；分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.故③正确；故选：D11.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（）A.该圆锥的侧面积为 B.该圆锥的体积为C.的面积为 D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设是的中点，连接，则是二面角的平面角，求出判断D，再求出的面积判断C.【详解】依题意，，，所以，对于A，圆锥的侧面积为，故A错误；对于B，圆锥的体积为，故B错误；对于D，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，故D正确对于C，，所以，故C错误；故选：D第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.2．本卷共11小题，共95分.二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.12.计算（i为虚数单位）的值为______.【答案】【解析】【分析】利用复数的乘方运算计算即得.【详解】.故答案为：13.二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.14.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数是________．【答案】【解析】【分析】根据百分位数的定义求解．【详解】将个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，因为，所以这人成绩的上四分位数是．故答案为：．15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.【答案】0.6【解析】【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.【详解】由题意知，该群体10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．

由，得，

即，所以，

所以，

故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．16.已知正数x，实数y满足，则的最小值为______.【答案】##0.75【解析】【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得.【详解】由正数x，实数y满足，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：17.在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为__________；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为______．【答案】①.；②.##【解析】【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求出；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示列式，再利用增函数求出最小值.【详解】在中，由，得；由，得是矩形，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系，则，设，，于是，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；18.曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令，即，令则，令得，当x∈0,1时，，单调递减，当x∈1,+∞时，，单调递增，，因为曲线与在0,+∞上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：三、解答题：本大题共4小题，共60分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中．（1）若，且，求边长c；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.【小问1详解】依题意，，由正弦定理得，即，，由于，所以，则，由正弦定理得.【小问2详解】依题意，，由正弦定理得，由于，，所以，由于，所以为锐角，所以，则，，由正弦定理得，所以.20.如图，在四棱锥中，底面（1）若在侧棱上，且，证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）棱上取一点，使，证明四边形是平行四边形得到答案.（2）建立如图所示空间直角坐标系，则平面的法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）在棱上取一点，使，，，则四边形是平行四边形，则.平面，平面，平面.(2)建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为则，平面的一个法向量为，.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）若函数在存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）【解析】【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.【小问1详解】解：对于函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的对称轴的方程为.【小问2详解】解：因为函数在存在零点，即方程在上有解，当时，可得，可得，所以，解得，所以实数的取值范围.22.已知函数．（1）当时，求曲线y=fx在点（2）若函数在0,+∞单调递增，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时