2021年全国中考数学压轴题好题难题提优题集锦

2021年全国中考数学压轴题好题难题提优题集锦

一.选择题（共3小题）

1.如图，已知OO的半径为1，钻是直径，分别以点A、B为圆心，以他的长为半径画

弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（）

B

A.--2>/3B.—C.—->/3D.--2^

3633

2.设。为坐标原点，点A、3为抛物线y=Y上的两个动点，且。4_LOB.连接点A、B,

过O作于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.-B.—C.—D.1

222

3.如图，用绳子围成周长为10〃?的矩形，记矩形的一边长为x/n,它的邻边长为ym,矩

形的面积为S:7.当X在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与

X满足的函数关系分别是（）

y

-x-

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

二.填空题（共5小题）

4

4.如图，在中，AD=5,AB=i2,sinA=-.过点。作垂足为E,

5

则sinNBCE=.

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D

EB

5.在AABC中，NAfiC=90。，AB=2.BC=3.点。为平面上一个动点，NADB=45。，

则线段CZ)长度的最小值为一.

6.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工。吨原材.料,

加工时间为(4〃+1)小时；在一天内，3生产线共加工人吨原材料，加工时间为(26+3)小

时..第一天，该企业将5吨原材料分配到A,8两条生产线，两条生产线都在一天内完成

了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到3生产线的吨数的比

为―.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线

分配了〃?吨原材料，给3生产线分配了〃吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各

自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则'的值为—.

n

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任

意长为半径作弧，分别交AC,他于点M,N；②分别以N为圆心，以大于'MN的

2

长为半径作弧，两弧在N84C内交于点O；③作射线40,交BC于点D.若点。到的

距离为1,则BC的长为.

8.如图，将口ABCD绕点、A逆时针旋转到aABCD的位置，使点B,落在BC上，8。与CD

交于点£.若AB=3,3c=4,BE=1,则CE的长为.

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3

9.如图，已知直线>=齿+3与x轴的正半轴交于点A,与y轴交于点3,sinZOAS=-.

(1)求k的值；

(2)D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点O以每秒1个单位长度的速度，沿

OfA-8的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿Of8TA的路线运动.当D,

E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为r秒.

①在。、E两点运动过程中，是否存在DE//OB?若存在，求出f的值，若不存在，请说

明理由；

②若设AOa的面积为S,求S关于，的函数关系式，并求出/为多少时，S的值最大？

10.在平面直角坐标系中，抛物线y=+fev+c与x轴交于A,5两点.与y轴交于点C.且

点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,5).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,

求点P的坐标；

(3)图(乙)中，若点用是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点用使

得以8,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

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11.如图，边长为1的正方形中，点£为4）的中点.连接8E,将AASE沿8E折

叠得到AFBE,8尸交AC于点G,求CG的长.

12.如图，在四边形A88中，ABUCD,ABKCD,NA8C=90。，点E、F分别在线段

BC、AD±.,且EF//C£>,AB=AF,CD=DF.

（1）求证：CF上FB；

（2）求证：以4）为直径的圆与3C相切；

（3）若EF=2,NDFE=120°,求AADE的面积.

BA

13.已知二次函数y=苏+6x+c的图象过点（-1,0）,且对任意实数x,都有

4x-12^ihx2+bx+c2x2-8x+6.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点M是（1）中

二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边

形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

14.在平面直角坐标系My中，点（1,㈤和点（3,〃）在抛物线），=加+6x（“>0）上.

（1）若加=3,77=15,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（一1,乂），（2,%），（4,%）在该抛物线上.若加〃<0,比较%，%,丫3的大小，

并说明理由.

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15.在平面直角坐标系xOy中，OO的半径为1.对于点A和线段8C,给出如下定义：若

将线段3C绕点A旋转可以得到OO的弦SC(夕，C分别是8,C的对应点)，则称线段BC

是。。的以点A为中心的“关联线段

(1)如图，点A,q,B2,C2,B3,G的横、纵坐标都是整数.在线段BC，B2C2,

员G中，。。的以点A为中心的''关联线段”是—；

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点4(0"),其中fwO.若BC是O。的以点A为中

心的“关联线段”，求f的值；

(3)在AABC中，AB=\,AC=2.若BC是的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出。4的最小值和最大值，以及相应的8c长.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-/?)2+Z与x轴相交于O,A两点，

顶点尸的坐标为(2,-1).点5为抛物线上一动点，连接AP,AB,过点5的直线与抛物线

交于另一点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点5的横坐标与纵坐标相等，ZABC=ZOAP,且点C位于x轴上方，求点C的坐

标；

(3)若点5的横坐标为f,ZABC=90°,请用含/的代数式表示点。的横坐标，并求出当

，＜0时，点C的横坐标的取值范围.

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17.在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,8c=3,将A/WC绕点5顺时针旋转得到△A8C,

其中点A,C的对应点分别为点A,C.

(1)如图1,当点4落在AC的延长线上时，求河的长；

(2)如图2,当点C落在他的延长线上时，连接CC,交于点求8M的长；

(3)如图3,连接4V,CC',直线CC交A4,于点。，点E为AC的中点，连接DE.在

旋转过程中，上是否存在最小值？若存在，求出。E的最小值；若不存在，请说明理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=/+灰+。经过A(O,-1),8(4,1).直线AB交x

轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作垂足为O,PE//x

轴，交AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当APZ龙的周长取得最大值时，求点尸的坐标和APDE周长的最大值；

(3)把抛物线卜=丁+法+。平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点尸.〃是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点

的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

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备用图

19.在AA8C中，AB=AC,。是边8c上一动点，连接AD,将AO绕点A逆时针旋转至AE

的位置，使得NZME+Na4C=180。.

（1）如图1,当NB4C=90。时，连接BE,交AC于点尸.若BE平分NABC,BD=2,

求川的长；

（2）如图2,连接BE,取BE的中点G,连接AG.猜想AG与8存在的数量关系，并

证明你的猜想；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接。G,CE.若NR4C=120。，当ZAEC=150°

时，请直接写出处空的值.

CE

20.如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A,O,N三个点，且AO=2,

在QV上方有五个台阶7；~7；（各拐角均为90。），每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶7；

到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+U发出一个带光的点P.

（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；

（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高

度为11,求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶7；有交点；

（3）在x轴上从左到右有两点£>,E,且DE=1,从点E向上作EBLx轴，且5E=2.在

AfiQE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边33（包括端

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点）上，则点5横坐标的最大值比最小值大多少？

［注：（2）中不必写x的取值范围］

21.在一平面内，线段A8=20,线段8c=8=04=10,将这四条线段顺次首尾相接.把

4?固定，让位）绕点A从4?开始逆时针旋转角a（a>0。）到某一位置时，BC,8将会跟

随出现到相应的位置.

论证：如图1,当AD//3C时，设他与8交于点O,求证：40=10;

发现：当旋转角&=60。时，NAZ）C的度数可能是多少？

尝试：取线段8的中点当点M与点5距离最大时，求点M到45的距离；

拓展：①如图2,设点。与8的距离为d,若N3CD的平分线所在直线交回于点P,直接

写出BP的长（用含4的式子表示）；

②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值.

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D

图2

图1

B

备用图2

22.在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短?

（1）如图①，圆锥的母线长为12ca,8为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长

为4在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点3的最短路径，并

标出它的长（结果保留根号）.

①②

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的

底面圆周上，设圆锥的母线长为/,圆柱的高为人

①蚂蚁从点A爬行到点。的最短路径的长为—（用含/,〃的代数式表示）.

②设AD的长为a,点5在母线OC上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画

出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

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o

③④

23.已知二次函数>=62+加+。的图象经过（-2,1）,（2,-3）两点.

（1）求。的值；

（2）当c>-l时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是.

（3）设（见0）是该函数的图象与x轴的一个公共点.当-1<加<3时，结合函数的图象，直

接写出。的取值范围.

24.在等边AABC中，AB=6,BDVAC,垂足为£>,点E为边上一点，点尸为直线比>

上一点，连接EF.

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接尸G.

①如图1,当点E与点3重合，且GF的延长线过点C时，连接QG,求线段OG的长；

②如图2,点E不与点A,8重合，GF的延长线交边于点H,连接£〃，求证：

BE+BH=6BF；

（2）如图3,当点E为AB中点时，点例为BE中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点

F从中点。沿射线QZ）运动，将线段砂绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,连接O,

当NP+—MP最小时，直接写出ADPN的面积

2

AAA

一—

A

⑸8CC

B上HBC

图1图2图3

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=62+for-4(aH0)与x轴交于点A(T,0),3(4,0),

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与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点P为直线AD下方抛物线

上一动点，连接F4,PD,求AMD面积的最大值.

（3）在（2）的条件下，将抛物线y=灰-4（。工0）沿射线45平移4立个单位，得到

新的抛物线y,,点E为点尸的对应点，点尸为3的对称轴上任意一点，在切上确定一点G,

使得以点。，E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标,

并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

备用图

26.如图，抛物线卜=-/+法+<?与x轴交于A（-3,0）、8（1,0）两点，与y轴交于点C,对

称轴/与x轴交于点/，直线///AC,点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作

EHA-m,垂足为H,交AC于点G,连接4E；、EC、CH、AH.

（1）抛物线的解析式为—；

（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接防，点尸是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使得

以F、E、P、Q为顶点，以切为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q

的坐标；若不存在，说明理由.

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27.已知抛物线yuf+fov+c与x轴交于点A（-5,0）和点8,与y轴交于点C（0,5）,它的对

称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式及点5的坐标；

（2）若点尸（加,2）在/上，点户与点尸过关于x轴对称.在该抛物线上，是否存在点£＞、E、

F,使四边形PZ）所与四边形产3%位似，且位似中心是产？若存在，求点£）、£、尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

28.如图，开口向上的抛物线与x轴交于①不，0）、B（X2,0）两点，与y轴交于点C,且

AC±BC,其中％,乙是方程d+3x-4=0的两个根.

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；

（2）垂直于线段8c的直线/交x轴于点。，交线段8C于点E,连接8,求△COE的面

积的最大值及此时点D的坐标；

（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使得AP3E是等腰三角形？若存

在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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29.如图1,直线y=-gx+〃与抛物线y=ar?交于A,8两点，与y轴于点C,其中点A的

坐标为(-4,8).

(1)求a,b的值；

(2)将点A绕点C逆时针旋转90。得到点。.

①试说明点力在抛物线上；

②如图2,将直线回向下平移，交抛物线于E,尸两点(点E在点尸的左侧)，点G在线

段OC上.若AGEFs^DBA(点G,E,尸分别与点。，B,A对应)，求点G的坐标.

30.如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)图象交坐标轴于点A,8(0,-2),点P为x轴上一

动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x—4)的表达式；

(2)过点P作轴分别交线段抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时，求

AACQ的面积；

(3)如图2,将线段P3绕点P逆时针旋转90。得到线段PD.当点。在抛物线上时，求点D

图1图2

31.如图，抛物线y=ar2+&v+c与x轴交于A(-2,0)、3(6,0)两点，与y轴交于点C.直

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线/与抛物线交于A、O两点，与y轴交于点E,点。的坐标为(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直线/的解析式；

(2)若点尸是抛物线上的点且在直线/上方，连接R4、PD,求当△以/)面积最大时点产

的坐标及该面积的最大值；

(3)若点。是y轴上的点，且44£>。=45。，求点。的坐标.

32.如图，直线/:y=2x+l与抛物线C:y=2*+法+c相交于点A(0,㈤，8(〃,7).

(I)填空：m=,n=,抛物线的解析式为—.

(2)将直线/向下移4(〃>0)个单位长度后，直线/与抛物线C仍有公共点，求a的取值范

围.

(3)。是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点尸？若存在，

请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

33.如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A,8(0,-2),点尸为x轴上

一动点.

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*

(1)求二次函数y=a(x+3)(x—4)的表达式；

(2)过点P作尸。，1轴分别交线段AB,抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时，求

AACQ的面积；

(3)如图2,将线段P3绕点P逆时针旋转90。得到线段PD.

①当点。在抛物线上时，求点。的坐标；

②点E(2,-|)在抛物线上，连接PE,当PE平分NBPD时,直接写出点P的坐标.

34.如图，在平面直角坐标系X。)，中，一次函数y=-gx+3的图象与x轴交于点A,与y轴

交于点3,点C的坐标为(-2,0),抛物线经过A,B,C三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线4)与y轴负半轴交于点。，且求证：OB=OD；

(3)在(2)的条件下，若直线4)与抛物线的对称轴/交于点£,连接在第一象限

内的抛物线上是否存在一点尸，使四边形BE4P的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及

四边形3E4P面积的最大值；若不存在，请说明理由.

35.小刚在用描点法画抛物线Gh=以2+法+c时，列出了下面的表格:

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y36763

(I)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：―；

(2)求抛物线的解析式；

(3)将抛物线G先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线G；

①若直线y=+A与两抛物线G，共有两个公共点，求人的取值范围；

②抛物线C2的顶点为A,与x轴交点为点3,C(点5在点C左侧)，点尸(不与点A重

合)在第二象限内，且为C,上任意一点，过点P作PDLx轴，垂足为。，直线AP交y轴

于点0，连接他，DQ.求证：AB//DQ.

A.)'八y

备用图1备用图2

36.抛物线y=a%2+bx+3过点A(-1,O),点8(3,0),顶点为C.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1,点尸在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点。，连接AC,若AZMC是以AC

为底的等腰三角形，求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点，连接PE,

作NPEF=NC4B,边防交x轴于点尸，设点尸的横坐标为，"，求加的取值范围.

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37.如图，二次函数y=-x2-2x+4-/的图象与一次函数丫:一2》的图象交于点a、B（点

8在右侧），与y轴交于点C,点A的横坐标恰好为动点。、。同时从原点O出发，沿

射线03分别以每秒石和2出个单位长度运动，经过r秒后，以PQ为对角线作矩形

PMQN,且矩形四边与坐标轴平行.

（1）求。的值及f=l秒时点P的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间r的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R,作关于原点（0,0）的对称点为R"当点M

恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点/?的坐标.

38.已知：抛物线y=ar+bx+c经过A(-l,0),3(3,0),C(0,3)三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图1,点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO,PO交直线于

点、E,设空=%,求当/取最大值时点尸的坐标，并求此时女的值.

OE

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(3)如图2,点。为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点。.

①求\BDQ的周长及tanZBDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan/3MQ=：(f为大于0的常数)，求点V的坐标.

t

39.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=-f+bx+c与x轴交于A、B两

点(点A在点6的左侧)，点8坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线

的顶点，连接PC.

(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

(2)直线与抛物线对称轴交于点。，点Q为直线BC上一动点.

①当AQAB的面积等于APCD面积的2倍时，求点。的坐标；

②在①的条件下，当点。在x轴上方时，过点。作直线/垂直于AQ,直线y2交直

33

40.如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其

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绕原点。旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y=相交于点A、B（点A在

点8的左侧）.

4

（1）如图1,若点A、3的横坐标分别为-3、—，求线段45中点P的坐标；

3

（2）如图2,若点5的横坐标为4,求线段转中点P的坐标；

（3）如图3,若线段A3中点尸的坐标为（x,y）,求y关于x的函数解析式；

（4）若线段43中点P的纵坐标为6,求线段他的长.

41.如图，抛物线丫=-3/+2*+6与x轴交于A,B两点、（点A在点5的左侧），与y轴

交于点C,直线y=x—2与y轴交于点£）,与x轴交于点E,与直线BC交于点

（1）点、F的坐标为；

（2）如图1,点P为第一象限抛物线上的一点，尸尸的延长线交08于点Q,PMLBC于

PM

点M,QNLBC^^N,若也=1UI,求点尸的坐标；

QN4

（3）如图2,点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出

发，沿射线DE方向以每秒4夜个单位长度的速度运动，当SE=SG,且tanNSEG=>!■时，

2

求点G的运动时间r.

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42.在平面直角坐标系中,抛物线丁=-(x-iy+4与X轴交于A,8两点(A在8的右侧),

与y轴交于点C.

(1)求直线CA的解析式;

(2)如图，直线与抛物线在第一象限交于点3,交C4于点E,交x轴于点尸，

DGLC4于点G,若E为G4的中点，求m的值.

(3)直线y=nr+〃与抛物线交于，yj,N(x2,%)两点，其中玉<々.x2-x1>3

且必-X>0,结合函数图象，探究”的取值范围.

备用图

43.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=+for+c与x轴分别交于点4-1,0)和点3,

与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点。与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若ZBPD=90。,求点P的坐

标；

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当为等边

三角形时，请直接写出点M的横坐标.

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图1备用图

44.将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(-6,0),点8(0,2)

点C(-4,8),二次函数"/+法+以亦。)的图象经过点A,B,该抛物线的对称轴经过

点、C,顶点为£).

(1)求该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)点M在边AC上(异于点A,C),将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上,

且点M落在边8C上，点M的对应点记为点N,折痕所在直线/交抛物线的对称轴于点尸，

然后将纸片展开.

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线/；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹)

②连接MP,NP,在下列选项中：A.折痕与A3垂直，B.折痕与的交点可以落在

抛物线的对称轴上，G—=D幽=近，所有正确选项的序号是

MP2MP

③点。在二次函数)，=0^+版+以。。0)的图象上，当APOQ〜APMN时，求点。的坐标.

;

45.如图I,在平面直角坐标系中，直线y=；x+l分别与x轴、y轴交于点A,C,经过

点C的抛物线y=—V+fer+c与直线y=-x+\的另一个交点为点D,点D的横坐标为6.

44

(1)求抛物线的表达式.

(2)M为抛物线上的动点.

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①N为x轴上一点，当四边形CZWN为平行四边形时，求点”的坐标；

②如图2,点M在直线CD下方，直线OM(OM//C£)的情况除外)交直线CD于点3,作

直线关于直线OM对称的直线5。，当直线8。与坐标轴平行时，直接写出点〃的横

坐标.

图1图2

46.如图，直线y=x+2与抛物线y=以2+fcv+6(ax0)相交于点4(1，？)和点3(4,/H).抛

22

物线与x轴的交点分别为“、K(点”在点K的左侧).点F在线段A3上运动(不与点A、

3重合)，过点F作直线FCLx轴于点P,交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,连接AC,是否存在点尸，使M4C是直角三角形？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，说明理由;

(3)如图2,过点。作于点E,当ACE尸的周长最大时，过点尸作任意直线/,

把ACEF沿直线/翻折180。，翻折后点C的对应点记为点。，求出当△CEF的周长最大时,

点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值.

47.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yulf+bx+c的图象与x轴交于点A(-3,0)和

4

点3(5,0),顶点为点。，动点M、。在x轴上(点〃在点Q的左侧)，在x轴下方作矩形

MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNP。沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速

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运动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0),当点A/与点8重合时停止运动，设运动的时间

为f秒。＞0).

(1)b—,c=.

(2)连接皮＞,求直线9的函数表达式.

(3)在矩形运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所在

直线与直线8。交于点H,是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是

面积小于10的平行四边形？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

(4)连接PD,过点P作PD的垂线交y轴于点A,直接写出在矩形MNPQ整个运动过程

中点R运动的路径长.

抛物线上的动点，点P的横坐标为加(喷物3),AE〃包)交直线/:y=gx+2于点E,AP

交DE于点F,交y轴于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设APb'的面积为加，AAEF的面积为S?,当时，求点P的坐标；

(3)连接BQ,点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且NBMQ=45。，在点P从

点8运动到点C的过程中，点〃也随之运动，直接写出点M的纵坐标r的取值范围.

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49.如图，已知：抛物线>=丁+&+。与直线/交于点4_1,0),C(2,-3),与x轴另一交点

为B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点尸，使AACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

(3)M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N,连接3M.在(2)的条件

下，是否存在点M，使NMBN=NAPC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明

50.直线y=-*+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=依'+2x+c经过点A,

B,与x轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。E//y轴交43于点E,

。尸，他于点尸，FG_Lx轴于点G.当£>E=FG时，求点。的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，直线CD与他相交于点M,点〃在抛物线上，过〃作“K//y

轴，交直线CD于点K.尸是平面内一点，当以点用，H,K,P为顶点的四边形是正方

形时，请直接写出点P的坐标.

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yi

图i图2图3

51.将抛物线丫=公2（。。0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线

H:y=a（x-h）2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A（-3,0）,点、P

是抛物线〃上的一个动点.

（1）求抛物线”的表达式；

（2）如图1,点P在线段AC上方的抛物线〃上运动（不与A,C重合），过点尸作「DLAB,

垂足为。，交AC于点E.作尸/_LAC,垂足为F,求AP£F的面积的最大值；

（3）如图2,点。是抛物线H的对称轴/上的一个动点，在抛物线〃上，是否存在点P,

使得以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P

的坐标；若不存在，说明理由.

直线＞=2》一2交抛物线于点C.

3

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线8c下方抛物线上的一个动点（P不与点8,C重合），求AP8c面积的

最大值；

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(3)若点M在抛物线上，将线段绕点O旋转90。，得到线段ON,是否存在点“，使

点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点"的坐标；若不存在，请说明理由.

53.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值

点例如，点(1,1)是函数y=+；的图象的"等值点

(1)分别判断函数y=x+2,y=的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出”等

值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

a

(2)设函数y=±(x>0),y=—x+b的图象的“等值点”分别为点A,8,过点3作

X

轴，垂足为C.当AA8C的面积为3时，求6的值；

(3)若函数y=x2—2(x..〃?)的图象记为叱，将其沿直线丫=机翻折后的图象记为明.当叫，

也两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出机的取值范围.

54.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+fec+c经过点A(-l,0),8(0,3),顶点为C.平

移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点。(3,-1)为原抛物线上点A的对应点,

新抛物线顶点为E,它与y轴交于点G,连接CG,EG,CE.

(1)求原抛物线对应的函数表达式；

(2)在原抛物线或新抛物线上找一点F,使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行

四边形，并求出点F的坐标；

(3)若点K是y轴上的一个动点，且在点8的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条

抛物线于点拉，N,且点V,N分别在y轴的两侧，当=时，请直接写出点K的

坐标.

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55.如图，已知点A(-8,0),点3(-5,Y),直线y=2x+机过点3交y轴于点C,交x轴于

(2)判断AA8C的形状，并说明理由；

(3)E为直线AC上方的抛物线上一点，且tanN£C4=L,求点E的坐标；

2

(4)N为线段AC上的动点，动点P从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运

动到点N,再以每秒右个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度

的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小

值及此时点N的坐标.

56.如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点4-1,5)和点3(-5即),与x轴的正半轴交于点

C.

(1)求4,机的值和点C的坐标;

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(2)若点P是x轴上的点，连接P3,PA,当当=2时，求点p的坐标；

PA5

(3)在抛物线上是否存在点〃，使A,8两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足

条件的点例的横坐标；若不存在，请说明理由.

57.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-gx2+—5+与X轴交于A(_i,o),

3(m,0)两点，与)，轴交于点C,连接8c.

(1)若OC=2Q4,求抛物线对应的函数表达式;

(2)在(1)的条件下，点尸位于直线8C上方的抛物线上，当APBC面积最大时，求点P

的坐标；

(3)设直线y=；x+b与抛物线交于8,G两点，问是否存在点£(在抛物线上)，点尸(在

抛物线的对称轴上)，使得以B,G,E,F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E,

F的坐标；若不存在，说明理由.

58.已知函数y