高中数学人教A版选修2-1课件3.1.2空间向量的数乘运算

空间向量的数乘运算课标阐释思维脉络1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律.2.理解向量共线、向量共面的定义.3.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.空间向量的数乘运算【思考1】平面向量中,实数λ和向量a的乘积λa的意义是什么?向量的数乘运算满足哪些运算律?答案当λ>0时,λa和a方向相同;当λ<0时,λa和a方向相反;λa的长度是a的长度的|λ|倍.向量的数乘运算满足分配律及结合律:①分配律:λ(a+b)=λa+λb;②结合律:λ(μa)=(λμ)a.1.空间向量的数乘运算(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.(2)向量a与λa的关系(3)空间向量的数乘运算律若λ,μ是实数,a,b是空间向量,则有①分配律:λ(a+b)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa;②结合律:λ(μa)=(λμ)a.名师点拨对空间向量数乘运算的理解(1)λa是一个向量.(2)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这个平面内,因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量.答案A【思考2】参照平面向量中关于向量共线的知识,给出空间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.2.共线向量与共面向量

共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使a=λb若两个向量a,b不共线,则向量p与a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb名师点拨共线向量的特点及三点共线的充要条件(1)共线向量不具有传递性因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c.则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.(2)空间三点共线的充要条件【做一做2】

满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(

)答案C【做一做3】

下列结论中,正确的个数是

.

①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc;②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc;③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc;④若a=xb+yc,则a,b,c共面.解析对于①,当向量b,c共线时,则不成立,∴①错误;对于②,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得a,b,c不共面时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,∴②正确;对于③,由空间向量的共面定理可知③正确;对于④,根据空间向量的共面定理得,当a=xb+yc时,a,b,c共面,∴④正确.综上,正确的结论是②③④.答案3【做一做4】判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(

)(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×探究一探究二探究三当堂检测探究一空间向量的线性运算

思路分析根据数乘向量及三角形法则,平行四边形法则求解.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测空间共线向量定理及其应用

探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量共线定理可解决的主要问题1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:探究一探究二探究三当堂检测解∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,变式训练2如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断

是否共线.探究一探究二探究三当堂检测探究三空间共面向量定理及其应用

探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟证明共面问题的基本方法(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O,确定在下列条件下,点P是否与点A,B,M共面?探究一探究二探究三当堂检测思维辨析

一题多解——四点共面问题典例已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:试判断点P是否与点A,B,C共面.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测答案C探究一探究二探究三当堂检测2.若x是实数,则“a=xb”是“向量a,b共线”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析当a=xb时,向量a,b一定共线,但当b=0时