九年级数学人教版（上册）第2课时 配方法

21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第2课时配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点新课导入完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2回顾旧知讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课配方的方法问题.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2-x+

=(x-

)2你发现了什么规律？222323424二次项系数为1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+(

)2=(x+

)2配方的方法用配方法解方程合作探究怎样解方程:x2+6x+4=0(1)问题

方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移项

x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.要点归纳

像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．例1：解下列方程：解：（1）移项，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?练一练：用配方法解下列方程.

（1）x2+10x+9=0；

解：移项,x2+10x=-9

配方,x2+10x+25=16(x+5)2=16

x+5=±4方程的两个根为

x1=-1，x2=-9配方，得

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得即思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x+n)2=p.①当p>0时,则,方程的两个根为②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为

x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.规律总结例2：试用配方法说明：不论k取何实数，多项式

k2－6k＋12

的值必定大于零.解：k2－6k＋12=k2－6k＋9＋3=（k－3）2＋3因为（k－3）2≥0，所以（k－2）2＋3≥3.所以k2－6k＋12的值必定大于零.配方法的应用例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且

试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.

练一练：当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值.解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17

∵(a+1)2≥0,

∴当a=-1时，原式有最小值为17.归纳总结配方法的应用

类别

解题策略1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.例4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？

解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时

加上4的是(

)A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝52.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(

)A．(x＋4)2＝－9B．(x＋4)2＝－7C．(x＋4)2＝25D．(x＋4)2＝7AD3.解下列方程：（1）4x2-6x-3=0；（2）3x2+6x-9=0.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.5.读诗词解题：

（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5

x2=10(x-3)+x∴这个两位数为36或25，∴周瑜去世的年龄为36岁.∵周瑜30岁还攻打过东吴，6.已知a,b,c为△ABC的三边长，且

试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为等边三角形.