九年级数学北师大版（上册）回顾与思考

回顾与思考1北师版九年级上册复习回顾特殊四边形的关系平行四边形矩形菱形正方形有一个角是直角有一个角是直角且邻边相等邻边相等邻边相等有一个角是直角几种特殊四边形的性质：边角对角线对称性矩形菱形正方形平行且相等四个角都是直角互相平分且相等中心对称图形轴对称图形平行且四边相等平行且四边相等对角相等邻角互补四个角都是直角互相垂直平分互相垂直平分且相等中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形几种特殊四边形的常用判定方法：判定方法矩形菱形正方形1.定义：有一角是直角的平行四边形2.三个角是直角的四边形3.对角线相等的平行四边形1.定义：一组邻边相等的平行四边形2.四条边都相等的四边形

3.对角线互相垂直的平行四边形1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2.有一组邻边相等的矩形3.有一个角是直角的菱形一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和8cm，求它的边长.【选自教材P26复习题第1题】巩固练习，深化提高2.如图，若四边形ABCD

的对角线AC与BD

相交于点О，

且OA=OB=OC=OD=AB，则四边形ABCD是

正方形吗？【选自教材P26复习题第2题】是正方形3.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的

对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？【选自教材P26复习题第3题】不一定，因为筝形也符合条件．4.一个菱形的周长是200cm，一条对角线长60cm，求:（1）另一条对角线的长度；（2）菱形的面积.【选自教材P26复习题第4题】（1）80cm（2）2400cm25.证明：如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么

以它的四边中点为顶点可组成一个正方形.【选自教材P26复习题第5题】证明:如图，

四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别为

AB，BC，CD

，AD

中点，BD，AC

交于点O，则HE

BD

FG，HG

AC

EF．又∵∠COB

＝∠1＝90°＝∠HEF，∴四边形EFGH

为正方形．=∥=∥=∥=∥6.如图，四边形ABCD

是一个正方形，E是BC

延长线上

一点，且AC=EC，求∠DAE

的度数.【选自教材P26复习题第6题】解:由题意，可知AC＝EC，∠CAE＝∠AEC．又∵∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠CAE＝22.5°，∴∠DAE＝22.5.°7.（1）如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，

所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正

方形吗？为什么？解:（1）是正方形．因为绕对角线交点旋转90°，所得图形与原图形重合，说明菱形两条对角线相等，所以这个菱形是正方形.【选自教材P26复习题第7题】7.（2）如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，

所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正

方形吗？为什么？【选自教材P26复习题第7题】（2）是正方形．因为绕对角线交点旋转90°，所得图形与原图形重合，说明四个角相等，均为90°，且四条边相等，所以这个四边形是正方形．8.已知:如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别

作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.求证:四边形AEDF是菱形.【选自教材P27复习题第8题】证明:∵AD为∠BAC

的平分线，∴∠DAC＝∠DAB．又∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF

为平行四边形，∠DAC＝∠EDA

，∠FDA

＝∠EAD

，∴∠FDA

＝∠DAF＝∠EAD

＝∠EDA,即AF＝FD

，AE＝ED

．又∵四边形AEDF

为平行四边形,∴四边形AEDF

是菱形．9.已知:△ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的

中点.求证:ME=MF.【选自教材P27复习题第9题】证明:如图．∵△FBC

为直角三角形，△EBC

为直角三角形．M

点为BC

中点，∴MF＝BC＝EM

．10.已知正方形的对角线的长为l，求这个正方形的

周长和面积.【选自教材P27复习题第10题】这个正方形的周长为l；面积为.11.已知:如图，在矩形ABCD中，对角线AC

与BD相交

于点O，过点C

作BD

的平行线，过点D

作AC

的平

行线，两线相交于点P.求证:四边形CODP

是菱形.【选自教材P27复习题第11题】证明:∵DP∥AC，PC∥BD,∴四边形OCPD为平行四边形，OC＝PD

，PC＝OD

．又∵四边形ABCD

为矩形，∴AC＝BD

，则OC＝PD

＝AC＝BD

＝OD

＝PC．∴四边形CODP

是菱形．12.已知:如图，在矩形ABCD

中，对角线AC与BD

相交于

点O，点M，P，N，Q

分别在AO，BO，CO，DO

上，

且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ

是矩形.【选自教材P27复习题第12题】证明:在矩形ABCD

中，AM

＝BP＝CN＝DQ．∴OM

＝OQ＝ON＝OP

．易证△MOQ≌△PON

．∴MQ＝PN

，∠MQP

＝∠NPQ，∴MQ∥PN

，∴四边形MQNP

为矩形．13.已知:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是

△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为

E，F.求证:四边形CEDF是正方形.【选自教材P27复习题第13题】证明:由题意，知∠FCE＝90°＝∠CED＝∠CFD＝∠FDE．∴四边形CEDF

为矩形．又∵CD

是△ACB的角平分线，∴∠DCE＝∠FCD

＝45°＝∠EDC，即DE＝EC，∴四边形CEDF

是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm.动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts，则当t为何值时，四边形APQD是矩形？【选自教材P27复习题第14题】解:根据题意,四边形APQD

是矩形时，DQ

＝AP

，DQ

＝20－t，AP

＝4t，令DQ＝AP，即20－t＝4t，解得t＝4(s)．∴当t

为4s时，四边形APQD

是矩形．几何画板.GSP15.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分

是什么图形？试说明理由.【选自教材P28复习题第15题】解:重合部分是等腰三角形．由题意知，四边形ABCD

为矩形,∴∠ADB＝∠CBD

＝∠EBD,即FB

＝FD

．故重合部分是等腰三角形．几何画板.GSP16.如图，把两个全等的矩形ABCD

和矩形CEFG

拼成

如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC

的度数.【选自教材P28复习题第16题】解:由题意，可得∠FCE＝∠ACD

，∠GCF＝∠BCA

，∴∠ACF＝90°．又∵AC＝CF，∴∠AFC＝45°17.小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）.小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验，小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾.你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？【选自教材P28复习题第17题】小颖买的这块纱巾不一定是正方形.18.已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH是矩形.【选自教材P28复习题第18题】证明:延长AH，交CD

于点M

，延长BH

，交CD于点N

．由题意，知∠BAM

＝∠DAB

＝∠DMA

＝∠DCF，∴EH∥FG．同理，可证HG∥EF，即四边形EFGH

为平行四边形．又∵∠DAB＋∠ABC

＝180°，∴∠HAB＋∠ABH

＝×180°＝90°,即∠AHB＝90°，∴四边形EFGH

为矩形．MN19.你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接

在一起的？【选自教材P28复习题第19题】（1）平行四边形；（2）