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文档简介
山东聊城市2025届高三下学期期末数学试题理试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.2.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.3.已知无穷等比数列的公比为2,且,则()A. B. C. D.4.函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则的值为()A.0 B.2 C.4 D.15.函数的值域为()A. B. C. D.6.一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为()A. B. C. D.7.双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.8.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.9.已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为()A. B. C. D.10.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图,则下列说法错误的是()A.甲得分的平均数比乙大 B.甲得分的极差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位数和乙相等11.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.12.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.400二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差________,通项公式________.14.某市高三理科学生有名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布,已知,若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析,则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.15.现有5人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有____种.(用数字作答)16.已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.18.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求实数的取值范围.19.(12分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系,已知曲线(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,的距离之积.20.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求在区间上的最小值;(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.21.(12分)已知抛物线的焦点为,点,点为抛物线上的动点.(1)若的最小值为,求实数的值;(2)设线段的中点为,其中为坐标原点,若,求的面积.22.(10分)椭圆:的左、右焦点分别是,,离心率为,左、右顶点分别为,.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、(不与点、重合),直线与直线相交于点,求证:、、三点共线.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2.D【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.3.A【解析】
依据无穷等比数列求和公式,先求出首项,再求出,利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【详解】因为无穷等比数列的公比为2,则无穷等比数列的公比为。由有,,解得,所以,,故选A。本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。4.C【解析】
根据函数的图象关于点对称可得为奇函数,结合可得是周期为4的周期函数,利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,所以为上的奇函数.由可得,故,故是周期为4的周期函数.因为,所以.因为,故,所以.故选:C.本题考查函数的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函数满足,那么是周期为的周期函数,本题属于中档题.5.A【解析】
由计算出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】,,,因此,函数的值域为.故选:A.本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解,解答的关键就是求出对象角的取值范围,考查计算能力,属于基础题.6.B【解析】
根据正四棱锥底边边长为,高为,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示:因为正四棱锥底边边长为,高为,所以,到的距离为,同理到的距离为1,所以为球的球心,所以球的半径为:1,所以球的表面积为.故选:B本题主要考查组合体的表面积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.7.A【解析】
将双曲线方程化为标准方程为,其渐近线方程为,化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线得,则其渐近线方程为,整理得.故选:A本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用.8.C【解析】
设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.9.D【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式,然后根据的单调性以及得到满足的不等关系,由此求解出的取值范围.【详解】由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.故选:D.本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性,可根据之间的大小关系分析问题.10.B【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念,可得所求结论.【详解】对于甲,;对于乙,,故正确;甲的极差为,乙的极差为,故错误;对于甲,方差.5,对于乙,方差,故正确;甲得分的中位数为,乙得分的中位数为,故正确.故选:.本题考查茎叶图的应用,考查平均数和方差等概念,培养计算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.11.D【解析】
由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.12.B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】,,解得,,故.故答案为:2;.本题考查了等差数列的基本计算,意在考查学生的计算能力.14.【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率,乘以可得.【详解】解:,所以应从分以上的试卷中抽取份.故答案为:.本题考查正态分布曲线,属于基础题.15.36【解析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法,在此条件下,计算甲不排在两端的排法,最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排,甲、乙两人不相邻,有种排法,其中甲排在两端,有种排法,则6人排成一排,甲、乙两人不相邻,且甲不排在两端,共有(种)排法.所以本题答案为36.排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全,这样才能做到不重不漏,正确解题.16.2.【解析】
由双曲线的一条渐近线为,解得.求出双曲线的右焦点,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线的一条渐近线为解得:双曲线的右焦点为焦点到这条渐近线的距离为:本题正确结果:本题考查了双曲线和的标准方程及其性质,涉及到点到直线距离公式的考查,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(为参数)直接消去参数,可得直线的普通方程,把两边同时乘以,结合,可得曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)把代入,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】解:(Ⅰ)由(为参数),消去参数,可得.∵,∴,即.∴曲线的直角坐标方程为;(Ⅱ)把代入,得.设,两点对应的参数分别为,则,.不妨设,,∴.本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键,是中档题.18.(1),ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是.19.(1)曲线:,直线的直角坐标方程;(2)1.【解析】试题分析:(1)先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程,再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)根据题意设直线参数方程,代入C方程,利用参数几何意义以及韦达定理得点到,的距离之积试题解析:(1)曲线化为普通方程为:,由,得,所以直线的直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),代入化简得:,设两点所对应的参数分别为,则,.20.(1)2;(2);(3)证明见解析【解析】
(1)先求出函数的定义域和导数,由已知函数在处取得极值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定义域为,分,和三种情况讨论,分别求得函数的最小值,即可得到结论;(3)由,得到,把,只需证,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由,定义域为,则,因为函数在处取得极值,所以,即,解得,经检验,满足题意,所以.(2)由(1)得,定义域为,当时,有,在区间上单调递增,最小值为,当时,由得,且,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在区间上单调递增,最小值为,当时,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,综上可得:当时,在区间上的最小值为1,当时,在区间上的最小值为.(3)由得,当时,,则,欲证,只需证,即证,即,设,则,当时,,在区间上单调递增,当时,,即,故,即当时,恒有成立.本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.21.(1)的值为或.(2)【解析】
(1)分类讨论,当时,线段与抛物线没有公共点,设点在抛物线准线上的射影为,当三点共线时,能取得最小值,利用抛物线的焦半径公式即可求解;当时,线段与抛物线有公共点,利用两点间的距离公式即可求解.(2)由题意可得
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