湖南省临澧县某中学高二年级下册人教A版数学培优资料：函数与导数 之 不等式的证明问题

2021年上学期高三数学培优资料

(考查内容：函数与导数之不等式的证明问题(2))

fR舞矍"等式要

a-ba*b

1、定义：两个正数。和力的对数平均值"4。)=In。—Inb'C/'o.

a,a=b

2、对数平均值不等式链为：4L(a,b)4里4茁事.

ab

3、对数平均值不等式链的指数形式为：

1、极值点偏移的含义

众所周知I,函数/(X)满足定义域内任意自变量x都有f(x)=f(2/n-x),则函数/(x)关于直线x=，〃对称;

可以理解为函数/(x)在对称轴两侧，函数值,变化快慢相同，且若/(x)为单峰函数，则x=〃i必为/(x)的极值

点.

若单峰函数/(幻的极值点为，〃，且函数f(x)满足定义域内x=机左侧的任意自变量X都有

/(x)>/(2〃?-x)或f(x)<f(2m-x),则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.

故单峰函数/(x)定义域内任意不同的实数不吃满足/(外=/(A)，则七五与极值点m必

有确定的大小关系：若机〈美玉，则称为极值点左偏；若〃”五詈，则称为极值点右偏.

左.快右慢左慢右快左快右慢左慢右快

(极值点左偏=7〃<'广)(极值点右偏="7>”:一)(极值点左偏一机<工；士-)(极值点右偏<=>m>%产)

2、极值点偏移问题的一般题设形式

(1)若函数/(X)存在两个零点不々且X。文2，求证：Xi+X2>2XO(%为函数/(X)的极值点);

（2）若/（X）中存在玉,%2且工尸工2满足fa）=/（%2），求证：x}+x2>2xi）（/为/（X）的极值点）;

（3）若函数/（X）存在两•个零点不％2且再工/，令1=X；/，求证：尸（%）>0；

（4）若函数/（X）中存在药,%且玉，又2满足/（X）=/（*2），令工0=y2,求证：/,（xo）>0.

。典例剖析©

【例1】已知函数/（%）=旄-"。£R）,如果且/（菁）=/（工2），证明：X|+X2>2.

（方法提示：对数均值不等式；差值消元；指对互化比值消元；对称构造极值点偏移）

【例2】已知函数,f(x)=e，-or有两个不同的零点不，x2,其极值点为与.

(1)求a的取值范围；(2)求证：xx+x2<2x0；(3)求证：玉+/>2；(4)求证：<1.

(方法提示：函数的构造与选择；对数均值不等式；差值消元；指对互化比值消元；对称构造)

【例3】设qwR,函数=有两个零点用、x2,且0<%<马.

2

（1）求实数。的取值范围；（2）证明：X,-x2>e.

（方法提示：对数均值不等式；加减、比值消元；除法、比值消元；对称构造极值点偏移（2种））

【例4】已知函数/(x)=a\nx-x2,

(1)若g(x)=/(x)+or在(0,3)上为单调递增函数，求。的取值范围；

(2)当。=2时，〃(x)=/(x)-"式的图象与x轴交于两点A®,。)，B(X2,0)

(0<Xj<x2),又“(x)是/i(x)的导函数.

若正常数a,/?满足条件a+〃=l,P>a.证明：U\a--x2)<0.

(方法提示：加减、比值消元分析法证明；

加减、比值消元放缩处理(对数均值不等式；对称构造极值点偏移)

【例5】已知函数/(x)=^-x+a\nx.

(1)讨论了(幻的单调性；

(2)若〃x)存在两个极值点玉，x2,证明：,⑻,⑸—2.

X\~X2

(方法提示：韦达定理消。(保留不或々；构造内，々齐次式比值消元)；韦达定理消玉,々保留㈤

【例6】己知函数f(x)=(a+l)lnx+ax2+[.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设。＜一1,如果对VX|，we(0,+°°),|f(X|)-/(X2)|N4ki-引，求a的取值范围.

(方法提示：同构转单调性处理；主元思想处理)

【例7】已知f（x）=or+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3.

（1）求实数。的值；

（2）若ZwZ,且人＜/4对任意x＞l恒成立，求左的最大值：

X-1

（3）当心/n"时,证明:（mnnr＞（nmm）n.

（方法提示：同构转单调性处理；主元思想处理）

【例81已知函数/(x)=(-x)加(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的零点，以及曲线y=/(x)在其零点处的切线方程；

(2)若方程/(%)=60工0)有两个实数根％,x2,求证：|大一工"＜。一1一’”.

e-1

【练习1]已知函数"x)=e”+。(x-1)2有两个零点.

(1)求。的取值范围；

(2)设%、々是/(X)的两个零点，证明：Xj+x2<2.

【练习2】已知函数/（x）=%2一1+。加（1一%）,aeR.

（1）若函数/（X）为定义域上的单调函数，求实数。的取值范围；

（2）若函数/（©存在两个极值点百，占，且不＜々，证明：

X2X\

【练习3]已知函数/a)=e，，XGR.

(1)设了＞0,讨论曲线y=/(x)与曲线y=如？(7/7＞0)公共点的个数;

(2)设。＜6,比较/3)：八份与/(2二八“)的大小,并说明理由.

2h-a

【练习4]已知函数/(x)=ln(l+x)・x,g(x)=xlnx.

(1)求函数/(x)的最大值；

(2)设0<4<匕，证明：O<g(a)+g0)—2g(^^)<(6-a)ln2.

专题五利用导数证明函数不等式（二）

本专题总结了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升

利用导数证明函数不等式的能力.

模块1整理方法提升能力

对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以

下4种：

方法1：利用换元法，化归为一个未知数

方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数

方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明

方法4：利用主元法，构造函数证明

O对数平均值不等式链

a-b

我们将两个正数。和b的对数平均值定义为：/力）=lna-ln3'，对数平均值不等式链为：

a.a-b

^-<y[ab<L（6Z,Z?）<a+^-<

-+-2

ab

7型「a_「ba,h2a,2b

对数平均值不等式链的指数形式为：,其中

J1a-b2V2

O^ji

已知函数,f(x)=L-x+alnx.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)若/(x)存在两个极值点用,当，证明：,.)一"")<。-2.

X]-x2

【解析】⑴定义域为(0,欣)，r(x)=—^-1+-=-Y~?+1.

XXX

①若〃<0,则/'(x)<0,f(x)在(0,+oo)上递减.

②若△=/一4<0,即0v〃K2时，/r(x)<0,/(x)在(0,+oo)上递减.

③若△=/_4>0,即a>2时，由尸(x)>0,可得，由尸(力<0,可得

0<》<"咚三或彳>竺浮三,所以〃x)在0,“一呼="+呼时,+8上递减,在

"J、2-4a+J42-4上递增

I—L―「J.

综上所述，当a<2时，〃x)在(0,+8)上递减；当〃〉2时，“X)在0,"&—4,a+Va2-4

\)\7

上递减，在卜-夜—"上递增.

22

\/

【证明】(2)法1：由(1)知，“可存在两个极值点，则々>2.因为小马是/(力的两个极值点，

所以毛，%满足f一办+1=。，所以玉+工2=。，%％2=1，不妨设0<%<1<工2.

1]1

---%1+（7InXj-----x9+«Inx2

1*27

玉r

W一(再-X2)+a(lnX|一ln%)=__1+咐/』々)=_2+"(卜人-In.),于是

X}-X2XjX2Xj-X2Xj-x2

."WKLa_2o_2+a("”)<T=]n…x2coz^<]。

为一工2%一工2玉一工2±_r

2Inx2+--x2<0.构造函数g(x)=21nx+二-x,x>i,由(1)知，g(x)在(1,+8)上递减，所以

g(x)<g(l)=0,不等式获证.

法2：由(1)知，/(x)存在两个极值点，则a>2.因为%，々是/(x)的两个极值点，所以%,%满

足f一欠+1=0,不妨设0<%<1<W，则%7a2-4,玉％2=1,

-----X|+tzIn-------x)+aInw

/(%)一/(马)

、X|JI』2J二

%一％2Xl-X2

2X]a

~^^--x2)+6tlna\naln"

%]工2W11,为c4

--------------------------=--------1H--------=一乙------------]------

2

X]-*2%%2%一%2\!a-4

.a-yja2-4

/、，/、ciIn।—[―^

-------------------<«-2<=>-2----------1-----<«-2<=>In----------------<\la-4

22

%一12yJa-4a->Ja-4

।(a+\Ja2-4)「—7.a+\ja2-4\]a2-4

=In---------------<\/a~-4«In---------------<-----------.

222

设/=———，则〃=！4产+4,构造函数e(f)=r-ln(\/尸+1+,,r>0,则

[2f

1H----/--

0,⑺=1一一+1=1—^=>0,所以9⑺在(o,+oo)上递增，于是夕⑺>e(o)=o,命题获证.

"+1+.ylt2+i

法3：仿照法1,可得•/(玉)7(―)<”2ohg7n々<],因为芯X,=1,所以

Xj-x2xx-x2

In%1-Inx

2,令£=G(0,l)，构造

王一々

函数/)=21nf+；-f,由(1)知，〃(/)在(0,1)上递减，所以人(。>〃(1)=0,不等式获证.

【点评】不、々和4之间的关系为玉+々=。，为々=1,我们可以利用其关系式对不等式进行消元，化

归为只含有一个未知数的不等式.法1消去玉和。留下马，法2消去不和々留下。，由于所证的不等式等价

于皿■也&<1,该不等式不含a,因此法1比法2简单.

再一马

由等价的不等式屿二皿&<1,容易联想到对数平均值不等式“将不等式进一步改

玉-x2In玉-Inx2

造后，通过换元化归为只含一个未知数的不等式.

©例2

已知函数/(x)=e"XGR.

(1)设x>0,讨论曲线y=/(x)与曲线y(AT?>0)公共点的个数；

(2)设a<8,比较与""-/(a)的大小,并说明理由.

2b-a

【解析】⑴y=e*与丁=后的公共点的个数等价于广鸟与尸机的公共点的个数.令g)=黑

XX

则〃(x)=e(：12),由"(x)<0可得0<xv2,由〃(x)>0可得)>2,所以人(力在(0,2)上递减,在(2,+8)

、，2

上递增，所以人(尢)在(0,+8)上的最小值为力(2)=e1.当天.。+时，A(X)->+00,当X->+8时，/z(x)—>4-00.

巳2PXpx

当0<机<一时，y=—y与y=m没有公共点，即y=e'与y=如2没有公共点；当机=一时，与

4X4厂

2A

ee

)=机有一个公共点，即y=e'与y=mx2有一个公共点；当“〉一时'y=r与y=%有两个公共点，即y=e”

4x

与y=7刀尤2有两个公共点.

⑵结论：山)+“"(5叱证明如下.

2b-a

涉If(。)+〃。)>/⑸一f⑷。e"+e"eh-eub-ae〜

2h-a2b-a2e〃+e"

h-h-a_ixA_1xA_1

=a——e1.&x=b—a,则x>0,即证二e构造函数0(x)=±—e则

2e~+l2e'+l')2ex+l

19er(ex-1),、、，

"(x)=---------——------二>0,所以e(x)在(0,+oo)上递增，于是e(x)>9⑼=0.命题获证.

2(ex+l)-2(e*+l)-

注?。e〃+e〃e〃-e"b-aeh—e"

｛公Z:--------------->----------------<=>--------->---------U>------>—：-------

22b-a2b-a2e〃+e"

力一〃h-a_1Vx_1

o—>e$1_令*=人一a,则x>0,即证土>e£_1,该不等式等价于x+2>(2—x)e'.

2e~+l2e'+l'7

构造函数〃(x)=x+2+(x-2)e",则〃[x)=l+(x-l)e",令g(x)=/f(x),则g[x)=xe*>0,于是g(x)在

(0,+8)上递增,所以g(x)>g(O)=O,即"(x)>0,所以〃(x)在(0,+oo)上递增，于是/z(x)>〃(0)=0.命

题获证.

b

法3：〃。)+/(6)>/伍)-/(")0£±£>£^2£.令e"=m,e=n,则他<〃，且不等式

2b-a2b-a

/、

J

n+mn-m,,(n-m\,〃八mn.门/丁gq

=---->--------=ln〃-ln〃z>2-----<=>In—>2———，令A/=一,r>1,则不等式

2In/I-Inm\n+m)m〃+]m

ImJ

=lnr>亚J,这是与Inx有关的常用不等式，命题获证.

r+1

【点评】第(2)小问的不等式含有两个未知数〃、b,其解题思路主要是利用换元法将两个未知数。、

〃:pbb_a

〃化归为一个未知数，常见的换元手法有x=a-^-b,x=a-b,x=ah,x=—・所证不等式为------>------

b2b-a

这是对数平均值不等式的指数形式，法3通过换元将其转化为对数平均值不等式再进行证明.

€)例3

已知函数〃x)=(a+l)lnx+ax2+1.

(1)讨论函数〃司的单调性；

(2)设QV-1,如果对任意芭«0，+8),一/(马)之4,一元21，求〃的取值范围.

【解析】(1)〃X)的定义域为(0,+8)./(力="1+2以=至上空1.

XX

当心0时,f'(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上递增；当av-l时,f'(x)<0,所以/(x)在(0,+oo)上

递减；当一l<a<0时，由/'(x)>0可得0<x<J-四，由/(x)<0可得x>J-四，所以“X)在

V2aV2a

。，耳)递增，在一片,+8上递减.

(2)不妨设王之赴，因为QV—1，所以由(1)可知/(X)在(0,xo)上递减，于是/(%)4/(/)，于是

对任意药,々€((),+00),|/(^)-/(%2)|>4|^等价于对任意%,犬2(0,4-00),/(9)-/(3)"(不一々).

法(分离未知数后构造函数)

1：/(X2)-/(^)>4(XJ-X2)«>/(X2)+4X2>/(XI)+4X1.

构造函数g(x)=/(x)+4x,则只需证明g(x)在(0,+8)上是减函数.

g，(x)=2"「+a+l+4,要使g(x)在(O,+8)上是减函数，则如二£土1+440在(0,+oo)上恒成立，所以

XX

2

4x4-14x+14（2X+1）-（4X+1）-4X_4（2x-l）（x+l）

a<-令/?（%）=_则/?'（x）=-由/?'（x）>0可得

2x2+l2X2+1（2/+）（2X2+1）2

x>g,由〃'(x)<0可得0<x<g.所以"(x)在上递减，在上递增，所以当x=g时，〃(力有

最小值一2,于是。的取值范围是(-8,-2].

法2：(主元法)由/(》2)_/(内)24(&_々)可得(a+lRng_(a+I)lnX|—ar：N4(X|_々)，以々

为主元构造函数尸(x)=(a+l)lnx+a«2+4x-(a+l)lnX|-ar：-4X[(0<x<x,),则F'^x)=a++2ar+4

=2ax+4.x+(a+l)令G(X)=2办2+4x+(a+l),则G(x)是开口方向向下，对称轴为犬=一」的抛物线，

xa

其A=-8(a7)(a+2).

①若2,则A40,此时G(x)40,即尸(x)40,所以尸(x)在(0,4]上递减,于是尸(力2尸(%)=0,

即」(%2)--马)

②若一2<°<-1,则△>(),此时G(x)=O有两个根，不妨设为机、n,且〃?<〃.由F'(x)>0可得

m<x<n,由F'(x)<0可得0<x</n或x>〃.因为々是任意的，不妨设根<》2<〃，于是尸(x)在(0,机)上

递减，在(机,々)上递增，于是在(机,々)上，有尸(x)<F(x,)=0,即/(々)-/(为)之4(X-%)不成立.

综上所述，a的取值范围是(-%-2].

【点评】得到二元不等式/(%)——(占)24(玉一々)后，有三种方法解决，一是分离未知数后构造函数，

进而利用函数的单调性进行证明，二是利用换元法，把二元化归为一元，三是把其中一个元看成主元，进而

再求导，法1是分离未知数后构造函数法，法2是主元法.

©例4

已知函数〃x)=(x—2)e'+a(x—I)?有两个零点.

(1)求。的取值范围:

(2)设百、々是/(x)的两个零点，证明：%+出<2.

【解析】(1)法1：〃x)=Ooa=-上当，于是〃x)有两个零点等价于y=a与g(x)=-5雪•

(1)(1)

有两个交点.因为g，(x)=_e卜--+5),由g，(x)>0可得x<l,由g'(x)<0可得x>l,于是g(x)在

(1)

(-00,1)上递增，在(1,+00)上递减.当X->-00时，g(x)->o+;当X—>1-时，g(x)->+00;当时，

g(x)f+8；当Xf+8时，g(x)--co.于是当a>0时，y=a与g(x)有两个交点，所以a的取值范围是

(0,+<»).

法2：//(x)=(x-l)ex+2«(x-l)=(x-l)(e'+2a).

①当a=0时，/(x)=(x-2)e\只有1个零点.

②当a>0时，e'+2a>0,由/'(x)>0可得x>l,由尸(x)<0可得x<l,所以在(一8,1)上递减,

在(l,+oo)上递增./(l)=-e<0,/(2)=a>0,当x->-8时，a(x-l)2—>+oo,(x-2)e*->(T,所以

/(x)->+oo,所以/(x)有两个零点.

③当a<0时，由/'(x)=0可得x=l或x=ln(-2a).

(i)当a<—|时，,由/'(x)>0可得x<l或x>ln(-2a),由可得l<x<ln(-2a),

所以/(x)在(-oo,l)、(in(-2a),+oo)上递增，在0』n(—2a))上递减.因为/6=-e<0,所以/(x)没有两

个零点.

(ii)当a=-］时，ln(-2a)=l,所以尸(x)20恒成立，即〃x)在R上递增，所以f(x)没有两个零

点.

(iii)当a>—|时，In(-2a)<l,由/'(x)>0可得x<ln(-2a)或x>l,由((x)<0可得

ln(-2«)<x<l,所以/(x)在(Yo,ln(-2a))、(l,+oo)上递增，在(in(-2.),1)上递减.当时，f(x)<0,

所以/(x)没有两个零点.

综上所述，a的取值范围是(0,2).

【证明】(2)法1：(极值点偏移)构造函数G(x)=g(x)-g(2-x)=-*一^=

----------2----（%＜1），令夕（工）=（工一2户+xe2~x,则（j;）=（J;-1）（ex-e2~x）,因为x＜l，所以工一1＜0,

（I》

x2x

X＜2-X9e-e~＜0,所以d（x）＞0,于是°（x）在（fo,l）上递增,于是*（力＜夕⑴=0,于是

G（x）=g（x）-g（2-x）＞0,即g（x）＞g（2-x）.

不妨设X＜工2，由（1）可知X£（-8,1）,x2€（1,2）,于是g（xj＞g（2-xj,而g（xj=g（x2），所以

g（x2）＞g（2-xj.因为2-七E（l,+oo）,且g（x）在（l,+oo）上递减，所以毛＜2-不，即玉+玉＜2.

法2：（极值点偏移）构造函数F（x）=〃力一"27）=a-2）e，+xe2T（XV1）,则

F（x）=（x-l）（ev-e2-A）,因为xvl,所以尢一1＜0,x＜2-x,ev-e2-x＜0,所以P（x）＞0,于是尸（x）在

（-00,1）上递增,于是1（X）〈尸⑴=0,于是〃」）＜/（2-力.

不妨设不＜々，由（1）可知%£（-8,1）,X2€（1,2）,于是/（%）＜/（2-M），而/（%）=/（工2），所以

/（工2）＜/（2-玉）.因为2-X]£（l,+oo）,且“X）在（1,+00）上递增，所以％＜2-即％+工2＜2.

【点评】对于函数y=在区间（4⑼内只有一个极值点与，方程f（x）=o的解分别为X、/，即

/（百）=/（々），且，＜$＜工2＜8，很多极值函数由于极值点左右的“增减速度”不同，函数图象不具有对称

性，常常有极值点不工五产•的情况，出现了“极值点偏移”.对于极值点偏移问题，解题可沿循着如下处

理策略：

①构造一元差函数P⑺=/⑺一/已工「力；

②对差函数尸（X）求导，判断函数符号，确定尸（X）的单调性；

③结合尸（%）=0,判断尸（x）的符号,从而确定/（尤）、f（2xo-x）的大小关系；

④由（或＜）〃2%-々），结合人”的单调性得到王〉（或＜）2xa-x2,从而三产〉

（或＜）XQ.

模块2练习巩固整合提升

练习1：已知函数〃x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3.

（1）求实数。的值；

（2）若左eZ,且女＜小立对任意x＞l恒成立，求女的最大值；

x-1

(3)当〃>加24时,证明：(mn")>(〃加〃).

【解析】(1)因为f(x)=ax+x\nx,所以fr(x)=a+lnx+1,所以/z(e)=3,即a+lne+1=3，所以Q=1.

(2)由(1)知，f(x)=x+x\nx所以对任意x>l恒成立，即皿对任意.>1恒

''x-19x-1

成立.

当尢=2时，有左<21迎2。3.38,猜想女的最大值为3,下面进行证明.

2-1

x+_xlnx33

3<----j—<z>3(x-l)<x+xlnx<z>2x-3<xlnx<z>lnx+—~2>0,令g(x)=lnxd----2,则

g，(6」_4=J£,由,(力>0可得x>3,由，(“<0可得1VXV3,所以g(力在(1,3)上递减,在

XX广

(3,Ko)上递增，所以［g(x)］而—⑶=历3-1>0,命题获证，整数2的最大值是3.

【证明】(3)。加')〃'>(nmm)”=In(心〃加")>In(mHU,nn)oInnmn+Inmm>In〃泮+Inn"

<=>mn\nn+mlnm>nm\nm-\-n\nn.

法1：(分离未知数后构造函数)mn\nn+m\nm>rnn\nm+n\nn<^>

/八，/一，nlnnmlnm

nym-\)\nn>->-----.

构造函数爪)=告，x“，则小)=。+1叱尸工法常,令田x)=lTnx,

则#(x)=l-L因为x",所以片(乃>0在［4,+8)上恒成立,即匕⑺在［4,长□)上递增,而

X

^,(4)=3-In4>0,于是乂(力>。在［4,+00)上恒成立,所以左(不)在［4,+oo)上递增.ffon>m>4,所以

n\x\nm\nmh33H、七

---->------,不等式获证.

n-1tn-1

法2：(主元法)以〃为主元构造函数/(x)=znrlnx+mln/%-加一xlnx,则

/'(x)=(6-1)Inx+m一I一机In机.因为x>相24,所以/'(x)>(6—1)Ina+6一1—加In加=加一1—In/%>0,

所以函数/(%)在［加,+8)上递增.因为〃>加，所以/(〃)>/(团)，所以mmn〃+mln6一加dn相一〃ln〃>

nr\nm+m\nm-frr\nm-m\nm=09即nm\nn-^mlnm>nm\nfn+nlnn,不等式获证.

练习2：已知函数/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函数的最大值；

a+b

⑵设Ova<Z?,证明：Ovg⑷+ge)-2g<(/?-6f)ln2.

2

【解析】(1)函数的定义域为(-L+8)./,(x)=j^--l,由r(x)>0可得—l<x<0,由尸(x)<0

可得x>0,于是f(x)在(-1,0)上递增，在(0,+8)上递减，于是当x=0时，“X)有最大值，且最大值为

"0)=0.

【证明】(2)以匕为主元构造函数.

设厂(力=8(4)+8(*)-28(苫土)，其中xe(a,+8),则

F，(x)=g，(x)-2g"=lnlW-

因为X>4所以F(x)>0,因此F(x)在(a,+oo)上为增函

数.而b>a,所以F(b)>F(a)=0,即g(a)+g(3-2g(皇)>0.

设G(x)=-(x-a)ln2,其中xe(a,+8),则G'(x)=lnx-ln^^-ln2=lnx-ln(a+x).当x>a

时，G'(x)<0,因此G(x)在(a,+oo)上为减函数，而6>a,所以G(b)<G(“)=0,即

a+b

g(a)+g(b)-2g<(Z>-a)ln2.

2

a+b

综上所述，0<g(a)+g(b)-2g<(Z>-a)ln2.

练习3：设awR,函数/(x)=lnx-ar有两个零点不、x2,ji0<x,<x2.

(1)求实数a的取值范围;

2

(2)证明：-x2>e.

【解析】(1)〃x)=0oa=W，所以〃x)=0有两个零点oy=a与g(x)=?有两个交

点.g'(x)=^—"，由g'(x)>0可得0<x<e,由g'(x)<0可得x>e,所以g(x)在(0,e)上递增，在(e,+8)

上递减.又因为当X.0+时，g(x)f-oo；当xf+8时，g(x)fO+；g(e)=L所以实数a的取值范围

e

为陷

【证明】(2)法1：(化二元为一元)依题意，有InX-6]=0,In-ar2=0,于是Inx〕+lnx2=a(*+x2),

所以屿+叱=(屿一”汽+々).

In%1-lnx2=〃(X]-x2),

-(inx-\nxA(x,+x9)2(x,-x9)

玉•%>e~=In%+In£>20---------......->2<=>Inx,-Inx2<-------

Xy-x2X)+x2

2(五一1］_

oln五〈工~1,令/=±€(0,1),则上式等价于inr<九二D,这是与Inx有关的常用不等式，证明如

W五+iZ"1

下：构造〃(f)=ln-2"一",0<r<l,则“⑺=1——二=(1)5>0,于是"/)在(0,1)上递增，于

r+1t(r+l)r(r+l)

是〃=命题获证.

法2：(化二元为一元)依题意，有屿=达三，即四土=土，设@五=2=/€(0,1),则

x}x2\nx2x2\nx2x2

2

Inx,=ln(rx2)=ln/+lnx2=rlnx2,于是lnx2=-^-,因止匕芭•x2>e«InX)+Inx2>2<=>

t—\

(z+l)lnr2(r-l)十百工

rlnx4-lnx,>2<=>-------->2<=>lnr<—-----,下同法1.

9-'z-1r+1

2

法3：(极值点偏移)Xj-x2>e^InXj+lnx2>2,令，］=ln%,二仙/，则八、是函数g(，)=f一。e'

的两个零点，且0<%<，2,该问题不是极值点偏移问题，因为屋。的极值点不是1，需要把g(，)=r-优,改

为k(t)=1a，问题才转化为极值点偏移问题.

e

%'«)==,由？(f)>0可得由Z'(f)<0可得f>l,所以在(一8,1)上递增，在(1,物)上递减,

e

于是0</j<1<r2.

构造函数K(f);人⑴―左(2—)=二_2=苻'+(,2)e(0<r<1))则K«)="一［)(e二e_)±0,

ee-e~e"

于是K(。在(0,1)上递增,于是K«)<K⑴=(),即％«)V)(2T),于是2&)<2(2-4),而％«)=%&)，

所以％(，2)<%(2-4).因为G>1，2-Zj>1,且欠⑴在(1,+00)上递减,所以，2>2-乙，即4+方2>2,命题

获证.

函数中极值点偏移问题的常规处理方法

极值点偏移问题在.近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常

是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的.其实，此类

问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们对此类问题的基本知识和常规处理方法来逐一探索！

基础知识•自主学习

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有/(x)=/(2m-x),则函数f(x)关于直线x="2对

称；可以理解为函数/(x)在对称轴两侧，函数值.变化快慢相、,同，且若/(x)为

单峰函数，则x=m必为/")的极值点.

如：二次函数/(%)的顶点就是极值点,若/(x)=c•的两根的中点为

士也，则刚好有色口=%,即极值，点在两根的正中间，也就是

极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移。

若单峰函数/(x)的极值点为加，且函数/(x)满足定义域内x=帆左侧的任意自变量”都有

/(X)>/(2〃2-X)或/(x)<f(2m-X),则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数/(%)定义域

内任意不同的实数再满足/(%,)=/(%),则%I区与极值点，”必有确

2一

定的，大小关系：

X

若旭<五产，则称为极值点左偏；'则)=设

若机〉七玉，则称为极值点右偏」来］1/1J

X

如：函数g(x)=上的极值点/=1刚好在方程g(x)=c的两根

ex

中点土也的左边，我们称之为.极值点左偏.

2

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1..若函数/(X)存在两个零点项,82且X1W彳2，求证：xy+x2>2x0(须)为函数/(x)的极值点);

2.若函数/(X)中存在苞,彳2且X17尤2满足/(%)=/(%2)，求证：%+%2>2工0(X。为