1.1.5两条直线的交点坐标课件高二上学期数学北师大版选择性

1.5两条直线的交点坐标基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.基础落实·必备知识一遍过知识点

两条直线的交点1.一般地,对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线l1,l2交点的坐标就是两个方程的公共解.因此,可通过解方程组

得到两条直线l1,l2的交点坐标.

方法是消元法

2.方程组

的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数1无数0直线l1和l2的位置关系

名师点睛若两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.相交

重合平行思考辨析1.观察下面的直线,发现这些直线都经过点M(4,1),怎么表示出经过点M的直线方程呢?提示

当直线的斜率存在时,y-1=k(x-4)(k∈R);当直线的斜率不存在时,x=4.2.由两条直线的方程l1:2x-y+3=0,l2:x-2y+6=0,如何判断l1,l2是否相交呢?若相交,如何求出其交点坐标呢?提示

因为直线l1的斜率是2,直线l2的斜率是

,所以l1与l2不平行,又l1与l2不重合,所以直线l1,l2一定相交.由于l1,l2的交点既在直线l1上,又在直线l2上,也就是说,交点坐标既满足方程2x-y+3=0,又满足方程x-2y+6=0.将这两个方程联立即可求出交点的坐标.解方程组

所以这两条直线的交点坐标为(0,3).自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(

)(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(

)(3)无论m为何值,直线x-y+1=0与x-2my+3=0必相交.(

)×√×2.[人教A版教材习题]求下列两条直线的交点坐标,并画出图形.(1)l1:2x+3y=12,l2:x-2y=4;(2)l1:x=2,l2:3x+2y-12=0.①

②

3.[人教B版教材习题]判断下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点坐标:(1)l1:2x+y=7,l2:4x+2y=1;(2)l1:x-3y+2=0,l2:y=3x+4.解

(1)平行.重难探究·能力素养速提升探究点一两条直线的交点问题【例1】

分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点坐标.(1)l1:2x-y-7=0和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.规律方法

求两相交直线的交点坐标(1)求两相交直线的交点坐标,关键是解方程组.(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.变式训练1经过两点A(-2,5),B(1,-4)的直线l与x轴的交点的坐标是(

)A解析

过点A(-2,5)和B(1,-4)的直线l的方程为3x+y+1=0,故直线l与x轴的交点的坐标为(-,0).探究点二求过两条直线交点的直线方程【例2】

求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.变式探究1求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.变式探究2求过直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点与原点的直线方程.规律方法

求过两直线交点的直线方程的方法(1)方程组法:一般是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件求出直线方程.(2)直线系法:求解的步骤变式训练2直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0B解析

由题意,设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,因为直线l过原点,所以λ=8.则直线l的方程为2x-y=0.探究点三根据交点求参数的值或取值范围【例3】

(1)若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}⫋{(x,y)|y=3x+b},则b=

.

2(2)已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是

.

规律方法

解决此类问题的关键是先利用方程思想,联立两方程,求出交点坐标;再由点在某个象限时坐标的符号特征,列出不等式组进而求得参数的取值范围.变式训练3(1)若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是(

)C(2)已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则m=

.

解析

两直线垂直得2a-10=0,解得a=5.又点(1,m)在直线上,所以a+2m-1=0,所以m=-2.-2探究点四与两条直线交点有关的证明问题【例4】

已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条高所在的直线交于一点.规律方法

证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路:先求其中两条直线的交点坐标,然后证明这一点在第三条直线上.变式训练4已知m为实数,设直线l1的方程为2x+my=1,直线l2的方程为mx+8y=m-2.当l1与l2相交时,用m表示交点A的坐标,并证明点A一定在某一条定直线上.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213A级必备知识基础练1.[探究点一]方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(

)A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3)C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线14A123456789101112132.[探究点二]过直线x+y-3=0和2x-y+6=0的交点,且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是(

)A.4x+2y-9=0 B.4x-2y+9=0C.x+2y-9=0 D.x-2y+9=0D14123456789101112133.[探究点二]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为(

)A.3x-19y=0 B.19x-3y=0 C.19x+3y=0 D.3x+19y=0D14123456789101112134.[探究点三]若两条直线x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交点在第二象限,则m的取值范围是(

)C14123456789101112135.[探究点三]若直线l1:x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标为(0,2),则a=

,b=

.

-21412345678910111213146.[探究点一]当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第

象限.

二12345678910111213147.

[探究点三]已知直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,则C的值为

.

-412345678910111213148.[探究点四]证明三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形的充要条件是a=-1或a=1或a=-2.123456789101112131412345678910111213149.已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为(

)A.x-y-1=0B.x+y-3=0或x-2y=0C.x-y-1=0或x-2y=0D.x+y-3=0或x-y-1=0CB级关键能力提升练因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,①当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入x-y=a,解得a=1,则直线l的方程为x-y=1,即x-y-1=0;②当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时,设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入y=kx,解得k=,所以直线l的方程为y=x,即x-2y=0.综合①②,直线l的方程为x-y-1=0或x-2y=0.故选C.1234567891011121314123456789101112131410.若三条直线x+3y+7=0,x-y-1=0,x+2ny+n=0能围成一个三角形,则n的值可能是(

)B1234567891011121314123456789101112131411.(多选题)已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是(

)A.(1,-3) B.(3,-4) C.(-3,1) D.(-4,3)AB123456789101112131412.已知直线ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是

.

2x-y=0123456789101112131413.已知直线l:x+y-2