专题03概率（考点串讲）高二数学下学期期中考点大串讲（2019选择性）

苏教版（2019)选择性必修第二册期中考点大串讲串讲03第8章概率

考场练兵典例剖析010203目

录考点透视01考点透视考点1.事件的相互独立性

事件A与事件B相互独立对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立性质若事件A与事件B相互独立,则

也都相互独立P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件

考点2.条件概率

条件概率的定义设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率

条件概率的性质设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=

;

(3)当P(A)=0时,我们不定义条件概率

P(B|A)+P(C|A)考点3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有

.我们称这个公式为全概率公式.指的是对目标事件B有贡献的全部原因

常用结论1.若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2.当P(A)>0时,事件A与B相互独立⇔P(B|A)=P(B).3.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.分两类:离散型随机变量和连续型随机变量

(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以

的随机变量.

微点拨离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.一一列举

考点4.随机变量的有关概念考点5.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的

为X的概率分布列,简称分布列.(2)离散型随机变量分布列的性质①pi

0,i=1,2,…,n;

②

=1.

有表格、图形和解析式三种形式

概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n≥p1+p2+…+pn考点6.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值称E(X)=

=

为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.

反映了离散型随机变量取值的平均水平

x1p1+x2p2+…+xnpn(2)方差称D(X)=

为随机变量X的方差,并称

为随机变量X的标准差,记为σ(X).

用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度

4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=

.(a,b为常数)

(2)D(aX+b)=

.(a,b为常数)

aE(X)+ba2D(X)常用结论1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常数.2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做

.

将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n次独立重复试验.(2)二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作

.

独立重复试验

X~B(n,p)考点7.n次独立重复试验与二项分布(3)两点分布与二项分布的均值、方差如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=

,D(X)=

.

如果X~B(n,p),那么E(X)=

,D(X)=

.

微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;(2)试验可以独立重复进行n次.pp(1-p)

np

np(1-p)考点8.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.考点9.超几何分布与二项分布的关系

不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p=);若采用不放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似考点10.正态分布(1)正态曲线函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.图1图2(3)定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为

.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从

.

服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量

X~N(μ,σ2)

标准正态分布

(4)3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(5)正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=

,D(X)=

.

μσ2常用结论

02典例剖析知识点1条件概率【例1】某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛,已知甲同学被选出,则乙同学也被选出的概率为(

)A规律方法条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)样本点法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点个数n(A),再求事件AB包含的样本点个数n(AB),得P(B|A)=缩样法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简知识点2全概率公式【例2】某批产品来自A,B两条生产线,A生产线占60%,次品率为4%;B生产线占40%,次品率为5%,现随机抽取一件产品进行检测,若抽到的是次品,则它来自A生产线的概率是(

)B解析

因为抽到的次品可能来自A,B两条生产线,设M=“抽到的产品来自A生产线”,N=“抽到的产品来自B生产线”,C=“抽到的一件产品是次品”,则P(M)=0.6,P(N)=0.4,P(C|M)=0.04,P(C|N)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N)=0.6×0.04+0.4×0.05=0.044,所以它来自A知识点3离散型随机变量分布列的性质知识点4离散型随机变量的分布列及数字特征【例4】甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分,比较D(X)和D(Y)的大小.解

(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:比赛第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜的概率0.50.40.8乙学校获胜的概率0.50.60.2甲学校要想获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,①甲学校3场比赛全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲学校3场比赛获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6.(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,则X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.(3)甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(Y=0)=P(X=30)=0.06,P(Y=10)=P(X=20)=0.34,P(Y=20)=P(X=10)=0.44,P(Y=30)=P(X=0)=0.16,则Y的分布列为Y0102030P0.060.340.440.16Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2×0.06=65,故D(X)=D(Y).知识点5均值与方差中的决策问题【例5】(2021·新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.所以X的分布列为

(2)若小明先回答A类问题,期望为E(X).若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,Y=0,80,100,因为E(X)<E(Y),所以小明应选择先回答B类问题.知识点6二项分布及其应用【例6】已知某学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人.(1)若从该校排球队随机抽取3人拍宣传海报,求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率;(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练,且在训练阶段进行了多轮测试,规定:在一轮测试中,这3个动作至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中,甲解

(1)设A表示事件“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”,则有

知识点7超几何分布及其应用【例7】某机构针对延迟退休这一想法进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.年龄支持保留不支持50岁以下80004000200050岁及以上100020003000(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人,求n的值;(2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取10人,并将这10人看成一个总体,从这10人中任意选取3人,求50岁以下人数ξ的分布列和数学期望.解

(1)参与调查的总人数为8

000+4

000+2

000+1

000+2

000+3

000=20

000,其中从持“不支持”态度的人数2

000+3

000=5

000中抽取了30人,所以n=20

000=120.(2)在持“不支持”态度的人中,50岁以下和50岁及以上的人数之比为2∶3,因此抽取的10人中,50岁以下与50岁及以上的人数分别为4人,6人,故ξ的ξ的分布列为

知识点

8正态分布及其应用考向1正态分布的概率计算【例8】已知X服从正态分布N(2,σ2),且P(1≤X≤2)=0.4,则P(X>3)=

.

0.1解析

由题知μ=2,故P(X≥2)=0.5,又P(2≤X≤3)=P(1≤X≤2)=0.4,故P(X>3)=P(X≥2)-P(2≤X≤3)=0.5-0.4=0.1.【例9】某校高三年级近期进行一次数学考试,参加考试的学生人数有1000人,考试成绩X~N(80,25),则该年级学生中数学成绩在90分以上的人数约为

.(运算结果四舍五入到整数)

(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ+2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)23解析

由成绩X~N(80,25)知,μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85,μ-2σ=70,μ+2σ=90,所以P(75≤X≤85)≈0.682

7,P(70≤X≤90)≈0.954

5,所以P(X>90)(1-0.954

5)=0.022

75,则该年级学生中数学考试成绩在90分以上的人数为1

000×0.022

75≈23.考向2正态分布的实际应用【例10】某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,闯关活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)设Ai表示事件“第i次通过第一关”,Bi表示事件“第i次通过第二关”,甲可以进入第三关的概率为P,由题意知(2)设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2).03考场练兵1.假设有两箱零件,第一箱内装有5件,其中有2件次品;第二箱内装有10件,其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱,然后从该箱中随机取1个零件,若取到的是次品,则这件次品是从第一箱中取出的概率为(

)D

解析

设A表示事件“从第一箱中取一个零件”,B表示事件“取出的零件是次

2.已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋,红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球;绿色口袋内装有两个红球、一个黄球;黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小、质地完全相同).若第一次先从红色口袋内随机抽取一个球,然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内,第二次从该口袋内任取一个球,则第二次取到黄球的概率为(

)D3.为了解高中学生的体质健康水平,某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评,并根据2018年版的《国家学生体质健康标准》评定等级,经过统计,甲校有30%的学生的等级为良好,乙校有60%的学生的等级为良好,丙校有50%的学生的等级为良好,且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,则该学生的等级为良好的概率为(

)A.0.40 C解析

从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,记“该学生来自甲校”为事件A1,“该学生来自乙校”为事件A2,“该学生来自丙校”为记“该学生的等级为良好”为事件B,则P(B|A1)=0.3,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.5,所以P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.3+0.4×0.6+0.35×0.5=0.49.4.某中学高一(2)班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中,测量某种物体的质量X服从正态分布N(10,0.04),则下列判断错误的是(

)A.P(X>10)=0.5B.P(X>10.2)=P(X<9.8)C.P(X>9.6)<P(X<10.2)D.P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6)ABD

解析

因为X服从正态分布N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,所以P(X>10)=P(X<10)=0.5,P(X>10.2)=P(X<9.8),P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6),故A,B,D正确;根据正态分布密度曲线的对称性可得P(X>9.6)=P(X<10.4)>P(X<10.2),C错误.故选ABD.5.甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛,计分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,则甲得1分;如果甲输而乙赢,则甲得-1分;如果甲和乙同时赢或同时输,则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7,乙赢机器人的概率为0.6.求:(1)在一轮比赛中,甲的得分ξ的分布列;(2)在两轮比赛中,甲的得分η的期望和方差.解

(1)由题意可知,ξ的可能取值为-1,0,1,P(ξ=-1)=0.3×0.6=0.18,P(ξ=0)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54,P(ξ=1)=0.7×0.4=0.28,所以ξ的分布列为ξ-101P0.180.540.28(2)由题意可知,η的可能取值为-2,-1,0,1,2,P(η=-2)=0.18×0.18=0.032

4,P(η=-1)=2×0.18×0.54=0.194

4,P(η=0)=2×0.18×0.28+0.54×0.54=0.392

4,P(η=1)=2×0.54×0.28=0.302

4,P(η=2)=0.28×0.28=0.078

4.所以η的分布列为η-2-1012P0.032

40.194

40.392

40.302

40.078

4所以E(η)=(-2)×0.032

4+(-1)×0.194

4+0×0.392

4+1×0.302

4+2×0.078

4=0.2,D(η)=(-2-0.2)2×0.032

4+(-1-0.2)2×0.194

4+(0-0.2)2×0.392

4+(1-0.2)2×0.302

4+(2-0.2)2×0.078

4=0.9.6.某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100天里的销售记录,绘制了以下频数分布表:日销售量(单位:个)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)频数1525302010将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数,求随机变量ξ的分布列、均值E(ξ)和方差D(ξ).续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”,则P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.ξ的分布列为

ξ0123P0.3430.4410.1890.027E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×(1-0.3)=0.63.7.某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布直方图如图所示.(1)求a的值,并估计锻炼时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);(2)从锻炼时长分布在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长不少于40分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.解

(1)由题意可得(0.006+0.010+2a+0.024+0.036)×10=1,解得a=0.012,样本数据在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]内的频率分别为0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,则平均值为0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55=34.8,故估计锻炼时长的平均数为34.8.所以X的分布列为

8.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检