2022年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理章节测试试卷（含答案详解版）

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理章节测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5亳米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，2BC中,ZAC8=90,以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示

的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）

A.以宛为边的正方形面积B.以力。为边的正方形面积

C.以48为边的正方形面积D.△/8C的面积

2、如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边

分别是a、b,且（°+»2=15,大正方形的面积是9,则小正方形的面积是（）

D.6

3、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三

个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下

去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是

（）

A.1B.2021C.2020D.2019

4、以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.6,8,10D.9,12,15

5、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，

顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么

小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米（；.2.2米口.2.4米

6、如图，中，/B=90°,AB=4,BC=6,将折叠，使点。与43的中点。重合，折痕交

AC于点必，交于点M则线段CN的长为（）.

7、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点48在格点上.若再选择一个格点C,使

△力比是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1,则符合条件的格点。的个数是

（）

A.2B.4C.5D.6

8、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）

A.13米B.12米C.5米D."将米

9、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几

何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少

（1丈=10尺，1尺=10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（）

A./+12=（户0.68）2B./+（户0.68）2=12

C./+1002=(户68)D./+(a68)2=KMT

10、如图，将AABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1）,点A,B,C恰好在网格

图中的格点上，那么4ABC中BC边上的高是（）

A.叵B.巫C.巫D.宕

245

第II卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在RtAAAC中，ZACB=90°,分别以AE,BC,AC动为直径作半圆，图中阴影部分在数学

史上称为“希波克拉底月牙”，当48=10,8c=6时，阴影部分的面积为.

2、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：

①3,4,5；

②5,12,13；

③7,24,25；

@9,40,41；…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：.

3、勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3,

4,5；5,12,13；7,24,25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1,柏拉图研究

了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10：8,15,17；…，若此类勾股数的勾为

2次（加23,0为正整数），则其弦是（结果用含初的式子表示）.

4、如图，已知四边形ABC。中，448c=90,A8=3,8C=4,CO=13,D4=12,则四边形48C。的面积

等于.

5、如图所示，在△力6c中，N#90°,AB=3,AC=5t将△44。折叠，使点。与点力重合，折痕为

DE,则△板的周长为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此，我们可以引入如下新定义:

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

（1）如图L点尸在线段比上，/ABP=/APD=/PCD=90°,BP=CD,求证：点尸是少的准外

心；

（2）如图2,在Rt△力比'中，/物C=90°,BC=5,AB=3,△?1%的准外心乃在△[8。的直角边

上，试求力〃的长.

2、（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成

一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形.

（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a,6斜边为c.请你利用图2中拼成的大正

方形证明勾股定理.

（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一

根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4

米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米.请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决

这一问题.（画出示意图并计算出这艰旗杆的高度）.

3、如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°ZC=60°,AD=1,BC=2,求AB、CD的长.

4、下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目48段和

比段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形的为一木质平台的主视图.小敏经过现场测

量得知：米，4我15米，于是小敏大胆猜想立柱4?段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正

确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱/18段的正确长度.

B

ADE

5、勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数学中的重

要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股

定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然"，所以，我们要学会勾股定理的各种证

明方法.请你利用如图图形证明勾股定理：

已知：如图，四边形4贬中，BD1CD,力反1_劭于点£,且△力牍△仇力.

求证：A"=BP+A必.

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

如图所示，过点C作。归_48于M延长18、物分别交正方形两边于〃、E,证明△/〃陛△。川得到

S“OE=S3,力层0V同理可证△及庐△微V,得到».”=，立叩，BItCM贝U

S&DE+$△8cH=$△0bY+SMAV=S&8C，即可推出S阴影=554ABC由此即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，过点。作制J_/15于M延长力反物分别交正方形两边于〃、E,

・・・/。//的=/的俏90°,

:"DAE+NEDA=/DAE+/CAMM,

:"AD-CAN,

乂•・"历。，

:•△ADE94CAN（卜4,

**•SMDE=S，AE=CN

同理可证△667星△⑦M

:.S4BGH=S&CBN，BH^CN

•*•SAADE+^^BGH=^^CAN+S»CBN=^ZM«C«

・・・S阴影=4BAE+ABBH+S^ABC

=2ABCN”MBC

=5SdABC，

，只需要知道△力的面积的面积即可求出阴影部分的面积，

故选D

【考点】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形.

2、A

【解析】

【分析】

观察图形可知，小正方形的面积:大正方形的面积Y个直角三角形的面积，利用已知(>6)2=15,大正

方形的面积为9,可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.

【详解】

解：・・•(>6)2=15,

.,・/+2曲代15,

・・,大正方形的面积为：,+6?=9,

・・・2d斤15~9=6,艮|Jab=3,

・••直角三角形的面积为：-1^=|3,

3

・•・小正方形的面积为：9-4X|=3,

故选：A.

【考点】

此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键.

3、B

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据

规律解答即可.

【详解】

解：由题意得，正方形力的面积为1,

由勾股定理得，正方形3的面积+正方形C的面积=1,

・・・“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

・・・“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

・•.“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,

故选：B.

【考点】

本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+//=/

4、B

【解析】

【分析】

先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可.

【详解】

解：A、32+42=5、故是直角三角形，不符合题意；

B.42+5V62,故不是直角三角形，符合题意；

C、62+82=102,故是直角三角形，不符合题意；

D、92+122=152,故是直角三角形，不符合题意；

故选:B.

【考点】

此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a,b,。满足/+"=/,那么这个

三角形就是直角三角形.

5、C

【解析】

【分析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在RtZXA'BD中,VZA/DB=90°,AzD=2米,BD2+A/D2=AZB'2,

.-.BD2+22=6,25,

/.BD2=2.25,

VBD>0,

・・・BD=L5米,

ACD=BC+BD=O.7+1.5=2.2米.

故选：C.

MCBD

【考点】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

6、D

【解析】

【分析】

由折叠的性质可得加邑。。根据勾股定理可求ZW的长，即可得出结果.

【详解】

解：•・•〃是力5中点，AB=4f

."大除2,

・・,将△46C折叠，使点。与力6的中点〃重合，

:,D2CN,

:册BC-CNNrDN,

在.RtADBN中,DN=BN+DE,

工DN=(6-ZZV)?+4,

3

故选：D.

【考点】

本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键.

7、D

【解析】

【分析】

分三种情况讨论，当/斤90°,或/生90°,或N小90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答.

【详解】

解：分三种情况讨论，当/月=90°,或/比90°,或/G90°如图

符合条件的格点。的个数是6个

故选：D.

【考点】

本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基

础考点，掌握相关知识是解题关键.

8、A

【解析】

【分析】

根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即限

【详解】

如图所示，过D点作DE_LAB,垂足为E,

VAB=13,CD=8,

又・.・BE=CD,DE=BC,

・•・AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5,

・••在RtZXADE中，DE=BC=12,

:.AD2=AE2+D£2=52+122=169,

/.AD=13（负值舍去）,

故小鸟飞行的最短路程为13m,

故选A.

【考点】

考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.

9、D

【解析】

【分析】

1丈=100寸，6尺8寸=68寸，设'1的宽为X寸，则门的高度为（户68）寸，利用勾股定理及门的

对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】

解：1丈=100寸，6尺8寸=68寸.

设门的宽为x寸，则门的高度为（『68）寸，

依题意得：/（户68）2=100；

故选：D.

【考点】

本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键.

10、A

【解析】

【详解】

先用勾股定理耨出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△回是直角三角形，最后设纪

边上的高为方，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.

解：由勾股定理得：

AC=Jf+22=6,48=4+22=5BC=712+32=Vio»

•.•I>/5）2+（V5）2=（VlO）2,AB2+AC2=BC2

•••△48C是直角三角形，

设比边上的高为h,

.,ABAC75x75V1O

BCVio2

故选A.

点睛：本题主要考查勾股埋及其逆定埋.借助网格利用勾股定埋求边长，并用勾股定埋的逆定埋来判

断三角形是否是直角三角形是解题的关键.

二、填空题

1、24

【解析】

【分析】

根据勾股定理得到力〃=力"-小，先求解4C,再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以

AG■为直径的半圆面积，再减去以力8为直径的半圆面积即可.

【详解】

解：由勾股定理得，AC二席-B盘64,

AC=8,

则阴影部分的面积

二24,

故答案为24.

【考点】

本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键.

2、11,60,61

【解析】

【分析】

由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2,知第5组第一个数是11,第二、第三个数相差为

1，设第二个数为％则第三个数为（T+1）,由勾股定理得：计算求解即可

【详解】

解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2,

・•・知第5组第一个数是11,

第二、第三个数相差为1,

设第二个数为X,则第三个数为（x+1）,

由勾股定理得：112+彳2=（彳+］）2,

解得x=60,

・••第5组数是：11、60、61

故答案为：11、60、61.

【考点】

本题考查了数字类规律，勾股定理等知识.解题的关键在于推导规律.

3、nf+1

【解析】

【分析】

2次为偶数，设其股是a,则弦为卅2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【详解】

・・・20为偶数,

・,•设其股是&则弦为A2,

根据勾股定理得，（2勿）2+^=（＞2）2,

解得a=nf-\,

・••弦长为相4,

故答案为："+1.

【考点】

本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

4、36

【解析】

【分析】

连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出4ACD的形状，最后利用

三角形的面积公式求解即可.

【详解】

连接AC,如下图所示：

VZABC=90°,AB=3,BC=4,

AC=dAB2+BC2=5/32+42=5,

在aACD中，AC2+AD2=25+144=169=Clf,

••・△ACD是直角三角形，

・'・Sn地形皿=7AB•BC+!AC・AD=5X3X4+!X5X12=36.

2222

【考点】

本题考查了勾股定理及勾股定埋的逆定理，止确作出辅助线是解题的关键.

5、7

【解析】

【分析】

根据勾股定理求得比；再根据折叠性质得到/后值进而由三角形的局长4班比求解即可.

【详解】

•・•在△［比'中，N后90°,力后3,〃=5,

・•,除JAC2_A*=疹于=4.

•••△力宏是△碗'翻折而成，

:.AFCE,

・••小叱叱4,

・•・△4斯的周长=4加除3+4=7.

故答案是：7.

【考点】

本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键.

三、解答题

1、(1)见解析；(2)种的长为?或2或高

2o

【解析】

【分析】

(1)利用AAS证明△仍名△阅9,得到力々加，由定义可知点户是乙小9的准外心;

(2)先利用勾股定理计算ACE,再进行讨论：当尸点在"上，PA=PB,当P点在力。上，PA=PC,

易得对应AP的值；当P点在4c上,PB=PC,设力Q3则公历=4-必利用勾股定理得到3?+/

=(4-力2,然后解方程得到此时AP的长.

【详解】

(1)证明：VZABP=ZAPD=ZPCD=90°,

1/A帧/PAB=gy,ZAPm/DPC=gq0,

:./PAB=/DPC,

在△/!断和券中，

NPAB=NDPC

•ZABP=/PCD,

BP=CD

：・l\AB2l\PCD(A4S),

:・AP=PD,

，点〃是44少的准外心；

(2)解：•・・/物C=90°,BC=5,AB=3,

：.AC=4^^=4,

当P点在AB上,PA=PB,贝ij"=g曲I；

当产点在47上，PA=PC,贝I」?!尸月0=2,

当。点在力。上，PB=PC,如图2,

设在=心则尸。=如=4-必

7

在Rt△力即中，32+^=(4-t)\解得f=-,

O

即此时力?=:,

8

综上所述，/IP的长为彳3或2或7

2o

【考点】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力.理解题中给的定义是解题的关

键.

2、(1)见解析；(2)见解析；(3)在四边形力町中，AB1BGDC1BC,力〃比力占长0.5米，30=4

米，小0.5米，求力6的长；8米

【解析】

【分析】

⑴将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2

中，拼成边长为痴的正方形即可.

⑵根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；

⑶根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直

角边多1加，而另一条直角边长为5朗可以根据勾股定理求出斜边的长即可.

【详解】

解：(1)如图

⑵S大正方形=4xg"+(b-a)2

=2ah+b2-2ah+a2

=a2+b2

S大正方形=f2

a2+b2=c2

⑶如图，在四边形力四9中，AB工BC,DC1BC,力〃比48长0.5米，除4米，⑺=0.5米，求48的

长.

解：过点〃作庞垂足为万

A

・・・ABLBC,DC1BC

・•・/斤/eN龙/90°

・・・四边形式如是矩形

:・ED=BC=4,BE=DC=0.5

设力分x,则力"=x+0.5,J/F^-0.5

在RtkAED中

Alf=AE+E炉

(K+0.5)2=(X-O.5尸+42

解得：x=8

答：旗杆的高为8米.

【考点】

本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问

题，属于中考常考题型.

3、AB=273-2,CD=4—G.

【解析】

【分析】

此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH_LBA延长

线于H,作DMJ_BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.

【详解】

如图，过点D作DH_LBA延长线于H,作DM_LBC于点M.

VZB=90°,

・・・四边形HBMD是矩形.

/.HD=BM,BH=MD,ZABM=ZADC=90°,

又・・・NC=6(T,

.*.ZADH=ZMDC=30o,

・••在RtZXAHD中，AD=1,ZADH=30°,贝l」AH=；AD=；,DH=—.

222

.*.MC=BC-BM=BC-DII=2-B=上叵.

22

・••在Rt^CMD中，CD=2MC=4-6,DM=-.CD=4^-3.