第09讲 指数与指数函数（解析版）

第09讲指数与指数函数1、根式（1）次方根的概念与性质次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.③0的任何次方根都为0，记作.（2）根式的概念与性质根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.性质①.②当为奇数时，.③当为偶数时，.2、实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：①；②；③.（3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3、指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.【注】指数函数的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.4、指数函数的图象与性质图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.考点一指数与指数幂运算1．（湖南省邵东市第三中学高一月考）下列运算中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，所以，故A错；对于B，，故B正确；对于C，，故C错；对于D，，故D错.故选：B.2．（全国）设a>0，b>0，化简的结果是（）A． B． C． D．-3a【答案】D【详解】因为，，所以.故选：D.3．（上海）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（）A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④【答案】B【详解】由>0知①有意义；由<0知②无意义；③中开奇数次方根，所以有意义；当a<0时，a5<0，此时④无意义.故选:B.4．（全国）计算：（）A． B． C．3 D．【答案】D【详解】原式.故选：D5．（全国）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以故选：C6．（全国）可以化简成（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，故选：B．7．（全国高一专题练习）计算的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C8．（全国）=（）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】B【详解】解：故选：B9．（全国）设都是正整数，且，若，则不正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由都是正整数，且，，、得，故B选项错误，故选：B.10．（全国）已知正数满足，则（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】因为正数满足，所以，即，则，所以，即，因此.故选：B.考点二指数函数的概念1．（全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【详解】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.2．（上海高一专题练习）下列是指数函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据指数函数的特征:系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足,D满足.故选：D.3．（全国高一课前预习）函数，且，则（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【详解】由，所以，故选：B4．（万荣县第二中学）已知（为常数）的图象经过点，则的值为（）A．3 B．6 C．9 D．8【答案】C【详解】，即故选：C5．（全国高一单元测试）如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题意可知，解得或（舍）故选：B6．（全国高一）函数是指数函数，则有（）A．或 B．C． D．或【答案】B【详解】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：B.7．（全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【详解】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C8．（全国高一专题练习）已知正整数指数函数，则（）A．2 B．3 C．9 D．16【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以，则，所以，，所以.故选：C.9．（全国高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则（）A．不确定 B． C．1 D．【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，得，所以.故选：C.10．（全国高一专题练习）若函数是指数函数，则（）A． B． C．或 D．且【答案】B【详解】由指数函数的定义，得，解得．故选：B考点三指数函数图象1．（全国高一课时练习）已知函数(且)恒过定点，则（）A．1 B．3C．4 D．2【答案】C【详解】由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,故选：C.2．（全国高一专题练习）如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【详解】根据函数与关于对称，可知①④正确，函数为单调递增函数，故③正确.所以②不是已知函数图象.故选：B3．（广西南宁·高一期末）函数的图像恒过定点，则的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由指数函数恒过定点，所以函数的图像恒过定点.故选：D4．（浙江高一期末）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于函数，令，得，所以图象恒过定点，故选：D.5．（云南宾川四中高一月考）函数的大致图像是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以，排除ABD.故选：C6．（江西上饶·高一期末）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．

C．D．

【答案】D【详解】因为，所以是增函数；排除AB选项；二次函数开口向上，对称轴，排除C选项；即D正确；故选：D.7．（北京房山·高一期末）如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则，解得.故选：B8．（全国高一专题练习）已知函数恒过定点，则函数不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】恒过定点，，，为减函数，且过点，的函数图象不经过第三象限．故选：．9．（全国高一专题练习）若函数且的图象经过二、三、四象限，一定有A．且 B．且 C．且 D．且【答案】A【详解】如图所示，从图象上看出其是一个减函数，则；图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，可得，，且．故选：A．10．（上海高一期末）已知，则函数的图像必定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图象与轴无限接近.因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.故选：A．11．（毕节三联学校高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则（）A．5 B．6 C． D．8【答案】D【详解】解：，当时，所以过定点，则，，则故选：D.12．（全国高一专题练习）若函数（且）的图象恒过定点，则m的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】由题意，函数的图象恒过定点，可得，即，解得.故选：C.13．（吉林四平·高一期末）函数恒过定点（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知：，即，此时，所以函数恒过定点，故选：B14．（广东揭阳华侨高中高一月考）函数（且）的图象一定经过的点是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数解析式，知：当时，，即函数必过，故选：D.15．（全国高一课前预习）已知函数，，的图象如图所示，则实数，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】当取1时，三个函数的函数值分别为，，，由图知.故选：D.16．（吉林延边二中高一月考）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【详解】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.考点四与指数函数相关的定义域值域问题1．（全国高一单元测试）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，所以，解得．故选：D.2．（全国高一课时练习）已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，解得，故选：B.3．（全国高一课时练习）函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，指数函数为减函数，且则，所以的值域是.故选：A4．（全国高一单元测试）函数的值域是A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为单调递增，所以值域是.

故选：B.5．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.6．（全国高一课时练习）函数y＝的值域是（）A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)【答案】C【详解】要使函数有意义，须满足16－4x≥0,则，所以，则0≤16－4x＜16，即函数的值域为[0，4)．故选：C.7．（上林县中学）若，则函数的最小值为（）A．4 B．0 C．5 D．9【答案】A【详解】设，则（），对称轴为，所以在上单调递增，所以.故选：A.8．（全国）函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，，，因为为减函数，所以，即值域为，故选：A.9．（全国）函数（且，）的值域是，则实数（）A．3 B．C．3或 D．或【答案】C【详解】当时，在上为增函数，，解得；当时，在上为减函数，，解得．综上可知：或．故选：C10．（福建省安溪第一中学高一月考）设函数，.若存在，使得，则b的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，解得.故选：C考点五指数函数单调性1．（全国）已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，∵递增，且，∴，即.故选：B.2．（全国高一专题练习）设，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在上的增函数，且，所以，即又，所以，所以.故选：A.3．（浙江）已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，又函数单调递增，故，即，故选：D.4．（吉林四平·高一期末）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：令，则，因为在上单调递增，在上单调递减，在定义域内为减函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故选：C5．（河南高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数在上既是奇函数，也是增函数B．函数在上既是奇函数，也是减函数C．函数在上既是偶函数，也是增函数D．函数在上既是偶函数，也是减函数【答案】A【详解】因为，所以，所以函数是奇函数，因为，且与均为增函数，所以在上是增函数，故选：A.6．（全国高一课时练习）若函数在实数集上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵在实数集R上是减函数∴有0＜1－2a＜1，解得0＜a＜即实数a的取值范围是故选：B7．（全国高一课时练习）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由幂函数性质可得：；由指数函数性质可得：，∴，又，∴，∴．故选：A．8．（全国高一课时练习）已知函数，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，故，所以在内，为增函数；在内，为减函数.排除ACD,故选：B.9．（内蒙古通辽实验中学高一期末（文））若指数函数在上递减，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意得：，

解得：，

故选A．10．（江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：满足对任意，都有成立，在上是减函数，因为，解得，的取值范围是．故选：．11．（全国高一课时练习）函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，0] B．[0，＋∞）C．（－∞，] D．[，＋∞）【答案】B【详解】解:函数y＝u在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）.故选:B12．（全国高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若在上为增函数，则，即，因为是的充分不必要条件，所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A．13．（浙江高一期末）设函数，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，，解得：；当时，，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：A.14．（浙江高一期末）已知函数（且），对任意，当时总有，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为对任意，当时总有，所以在上单调递增，故有解得故选：A15．（全国）若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)【答案】D【详解】由题意得解得4≤a＜8.故选：D.16．（全国）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，由于函数在上是减函数，外层函数为上的增函数，则内层函数为上的减函数，所以，，解得.故选：A.考点六指数函数的应用1．（上海市第二中学）中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是（）模型.A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数【答案】C【详解】解：一年后，小明的本金和利息共有，两年后，小明的本金和利息共有，则年后，小明的本金和利息共有，共取得的利息可构建函数，采用了指数函数模型．故选：C．2．（全国高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为（）A．元 B．元 C．元 D．【答案】B【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收人为y元，根据题意可得，从2018到2025年共经过了7年，2025年年底该地区的农民人均年收入为元.故选：B3．（全国）已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：）（）A．12块 B．13块 C．14块 D．15块【答案】C【详解】设光原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为.光通过1块玻璃后，强度，光通过2块玻璃后，强度，…光通过块玻璃后，强度.由题意得，即，两边同时取对数，可得.∵，∴.又，∴至少需要通过块这样的玻璃，光的强度能减弱到原来的以下.故选C.4．（广东深圳·高一期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故选：C.5．（全国高一专题练习）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天【答案】C【详解】解析：由题意知，当时，有．即，得．所以当时，有．即，得．所以．故选：C6．（全国高一专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）小时.A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，可得，设，可得，解得.因此，污染物消除至最初的还需要小时.故选：C.7．（湖北十堰·高一期末）在考古学中，要测定古物的年代，可