人教版高中数学必修1 第3章 函数的应用

•第三章

’函数的应用

岔函数与方程

L-

函数模型及其应用

我们已经学习了函数的慨念，函做的

性质.还学习了一次函数.二次由数、指

致函数，对轨西发等小木初等函数模型.

知道它们可以JQ来«'|哥现实世界中不同的

变化战J，.例如.在自然条件F.蛔胞分

裂、人。用长，生物体内碳II的哀戊等变

化规律.都可以用指ft国凡律室来描述.

邺么.而对一个娱际问圾.我们应如何恰

当逸柞相应的函数模型来解决它呢？

本聿我们将通过一些实例感受定立函

较模型的过程和方法,初步运用函数思想

解决现实生活中的一些简单问题.另外.

我们还将学习利用函数的图象和性质.用

二分法求方程近似解的方法.从中体会国

数与方程之间的联系.

3/函数与方程

3.1.1方程的根与函数的零点

1*一元二次方程（“X0）的根与二次函数.V

至3（，，，0）的图象有什么关系？

九观察儿1、”你的•儿次方程及北相应的：次南数.如

hVi->2，305函数N.12.13:

AIV<2,7,）。函数、.12，Th

容蚪知道.川丫，2.13=（）勺两个实数根4I..r3：雨数.v.1

2,:郁州的叮.，轴,两个交点（1.0）.<3.<））.（mmXii（i）.uff.uti

，也3。的四个文数根就1M数、，2，：，的图象。，仙幻1，；的做坐标.

〃甘，2，I（“泄个相等的寞数根，，♦而数「，2，+1的图-

II86

第三度函数的应用第三章

。.，对1〃啡的交点”.（»•如图3.11（2）.这样.力杼，2.rII＜＞的次数枳就足雨

数.、•，2rII的用家与.，轴交点的横坐标.

方程r'，；。无实效根•函数.V，：：，；的图案5，涧没《I々点.

如图3.11（3）.

I:述关系对般的-儿二次力程“+/«•+，o（“/（））及M相应的：次雨数

ya.iIIn4•（,，/⑴也成汇.

设判别式」blac,我们“：

（I）"|J"时.•元：次方柞有两个不等的实数为一，.一应的.次雨数的图象

轴〃四个交点⑴；

⑵当A。时.•元二次力•程4两个和等实数根.，,，.相应的.次函数的图彖。

，轴付1ft-的交点⑴；

⑶当」。时.儿砍方程没H实数根.相应的：次函数的图象Lj，轴没〃上点.

.次函数的图象。，轴的交点和相应的元:次方程根的关心可力推广到股情

形.为此.尢给出函数g点的概念：

时上函数N/（'）.我们把使1（.）＜）的无数.，叫做函数y/（，）的零点（ztro

（x）int）.

这样.函数V/（，）的重点就足力,丹八，）。的唉数根.也就兄函数y/＜，）的图缭

。，轴的交点的横山林.所以

方程/（，＞"有实数根

函数V/（，，的图象与，轴有交点

函数丫/（，，有零点

由此可知•求力界八，）。的实数根•就是确定函数/（'，）的零点.•般地•时广

不能川公式法求根的//程/（.，＞0来说•我们可以将它'j函数y/（，川X系起火.利川南

数的件班找出零点.从而求出方程的根.

观察二次函致/（.r）=M—2r—3的图象（如图

「3.12）.我们发现函数/（.「）12r3在区间

；［-2.1］上有率点.计算/（一2）与/”）的；.

喂祖有什么转点？在区间［2.I］上是否也具有这种特点呢？

可以发现./（2）•f（D-（）.函数/（.，）.12i3作区间（2.I）内行岑点

S7

CHAPTER普通高中课程标准买睑教科书数学/必修

，I..：，；的1、山.同样地・/<?)•/<।>/<"，

2，⑵I)内付夕点，=3.它/方上2>3。的»tflt

同学们叫乂f10。儿个函数图象.观察图象.66必杏催呼出同样的结果.

般地•KlUfi：

如果函数r/(，>在区间”.〃上的图象是连续不断的一条曲线•并且有/(“，•

/(/»>”.那么.函数、，/(，>在区间(“./，)内有零点.即存在，匕(“•/，>•使得/(，>.

这个，也就是方程/(，)的根.

例1术函数八，)In.，+2,6的,夕点的个数.

解：川il笫器或HT)：机作出，•/(，)的时应值々(&31)制图铁(图工I3).

表3I

xlZ3456789

/<«)II.3W；91.09863.3K633.(UWI7.79189.915<1I11.1972

illk3Ifil|¥|3.I3nfW./<2)(i./(3)<».W|/(2)•/<3>”.这说叫阐枚〃，)

AI<M(2.3)内h%.=由「函教/(.，)作定义域(“.)内是增雨数.所以它仅有

4零点.

舞习

I.利川南故国领邮所卜的力程〃《Ui根.

<I)，♦；14■.lit(2)2r(I2>3!

(3)fIfh(I)：u-2.13.rt5.

匕利川6；口技术作出雨数的阳锹・JI桐II卜到南数4点所企的大饮区间，

<I)/<HI.0「，*(2)〃“2,・ln<I2>3；

(3)/</><»*MiIt(l>/(/)3<<-2>(,»3>(.ffI)Ir.

IIK8

第三横函数的应用第三章

川.分法求方程的近似解

1为

者/-元二次方程可以用公式求根.但没有公式可用来求方程ln.r+2.r

6：0的根.联系函数的塔点与相应方程极的关系,他否利用函数的功片如

识来求它的根呢？

我们已经知道•雨数/")In，，2r6作风间(2.3)内行零点.进一-的问题是.

如何找出这个零点?

•个一现的想法是:如果能够将.点所在的他IH.lit缩小.那

么在定制确度的要求卜..我们可以得到零点的近似值.为r方便.❶一般地.

卜血我们通过“取中点❶”的力.法逐步缩小书点所住的他眼.我们杞.，"；，

取区间(2.3)的中点2.5.用计笫器驱褥-2.530.081.

hIA间(〃・b)

/<2.>)•/<：<>-0.所以零点作区间(2.5.3)内.的中意.

再取区间(25.31的中点2.75.用计算器算揖/<2.75月

0.512.内为f(2.5)•/(2.75)0.所以丁点作区间

(2.5.2.75)内.

III1<2.3>(2.5.3)(2.3.2.75).所以，点所作的他国确实越来越小厂.如枭

，及北I：述步骤.那么库点所在的他用会越来越小(地432和图3.1I).这样.八定精

曲度3我心叫乂，仃限次小:复相同步骤后.格所下的我点所作区间内的任点点。为南

数上点的近似值.特别地.可以将区间端点作为.岑点的近似他例如.“闻确度为，>.，，1

»5-2

K间中点的值中点的数近似值

(2.3)2.5-<).明

(2・5・3)2.750.512

(2.5.275)2・6250.215

(2・5.2.625)2.56250.066

(2.5.2.5625)2.53125-0・009

(2.53125.2.562S)2.5468750.029

(2.53125,2.516875)2.53906250.010

(253125.2.5390625)2.535156250.001

89II

CHAPTER普通离中课程标准实脸教科书数学I必婚

II),ill|2...；!>o<；2,2.S3125|0.007812•1U.Ul.所吸.我力可以料.，=2.33125

H为雨数/(>>In.'2..公小点的近似值.也即力HIn，+2，«<>根的近似他

<-1Jfll<|ii|(/•/>卜连续4、断II/(“)•/(/，)”的函数、”，).通过北斯地把南

名八，)的吊点所作的区阿分为•使区间的两个戕点逐步一近专点.选曲4列4点近

似他的力法叫做二分法(biscition).

给定用坳发£.川二分法求南数/(，券煦近取他的步骤如卜:

I.输定伏川，，•b•心ill/(“)•/(〃)(>.给定存确度£!❶由“

Iih».[4M“・

2.;R|<|ii|(<i./”的中点门

川中任亳一个值

；(

3.iin<>s加;1.掌点，的舄

(l>/.,/(<>•>.则，就是雨数的4点:义挑磷凡■的近以

位(想一想.”什

<2)匕/<“)•/<”(>.则今。<(此时重点，£(“.”)：

小.。。使・£

(3)匕“，)•/",)().则令”.(此时零点，€(<•/»>>.rfi-icaw%息

1.刘斯拈i•泌列格确度J即为“/，£.则用到专点近似便a(\A>作h>

点近似(ft.

u(或M。：甯剜币:“2I.

山南数的4点。川应力时根的关系.我小[川:分次来求力仃

的近似航.由JilWM较大.而II.是用〃相同的步骤.囚此.我也可以湎过设il•定的计

算稗用.俯助计力器成汁并机完成什6

例2倡川Ji|。器或“仃机川分法求力用2。，7的近似解(梢一度<>.I>.

解：除〃斤即213.，7o.令/(,)2+3,7.1|川0器或il0机件出函数

/<r)2'I3i7的对应—裹(&33)。图，(如图3.15).

表a

x01234567K

/(x)-2+3J76—23i<)211075112273

观察修I工1，成&：；3ufftl/(I)•/(2)-0.说明这个雨效在区间(I.2)内仃等

.'.'A«.

取14间(I."的中心，!....川计修器勒刁人口川山3工IM^/<I)­/(I..；)<>.

所以，,6(1.1.3).

1)|IR区间(—的|||点，1.25.IIHIn瑞nW川.25)V(».87.IM为

/".0)•/(I.1>0.忻―<1.23.I.S).

|»]j<|'u|i!；.,e<1.375.1.3).।e(l.37.'>.1.1375).

IIw

第三注函数的应用第三章

由于

1.375-I.13750.06250.I.

所以.蜥方程的近似解可取为1.4375.

绣习

I.借助“书器喊计。机.川：分法求函数〃，).r'TI.IrKi.!bI.Ifr：|<(u|(o.I)内的中

点(吊确发0.1>.

2.借助器或什0机.川：分法求方作，3—俗，作区间(2.3)内的近似川(相确网

0.1).

中外历史上的方程求解

在人食用书.也架设的无较座从未加通向已知的金桥上.方林的木解是兄中垠堞的一

座.虽然今天&们可以从低科书中了解各式各样方程的解法.但这一切却经历了柢沙漫长

的岁月.

AN4•代H学本已比较系统比解决了部分方程求解的问端.约公无：.<»1。<)年继皮的

九聿j|•卡.就以il-法学式给出了求一次方样.二次方程和正系数三次方r.：根的《木方

法：7世纪.附庶故学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法：II世纪.北宋教学家

贾先在青帝九辛小法细草，中提出的“开方作法木淞图”.以“立成伴债法”求解三次

或三次以上的高次方程式..同时.他还提出了一计更简便的“用来开方法”；13世纪.南

宋教学家心九招在收行九堂中找出了“正负开方术”.提供了一种川M后布列解任意

数字方程的有奴斗法.此法可以求出任宓次代数方程的正根.

国外数学家对方催求解亦有很多研究.9世纪.阿拉伯数学家花拉子来(Alkh“w“riz

mi.约78()X：>⑴格出了一次方杈和二次方程的一锻解法；1511年.愈大利故学家塔尔

塔利正Tartaglia.约”991557)给出了三次方程的一般解法：IM：，年意大利数学

家卡尔达诺((；.('anlan<>.15011576)的名著X大术”一书中.4t塔尔塔利先的解法加

以发版.并记收了皆拉里(Ll-crntri.15221565)的四次方程的一般解法.

敦洋史上.人们H经布里存到一般的五次以上代数方程的根式斛.他经过长期的努力

仍无纳果.1778年.法国教学大师拉格朗日(J.LI-iKrange.17361X13)找出了五次方

程根式解不存在的价想.1824年.将成年轻数学家阿贝尔(N.II.Abd.1X021829)成

功地证明了五次以上一般方程没有根大解.1828年,法国天才教学挛伽岁瓦<!:.<.；llois.

II

CHAii普通高中课槿标准实除教科书数学/必修

1X111X3-）乃好而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的H体方批.同时还畏出了-

个代收方住能川根式代解的刷定定理.

虽然.H-一.时敦方K♦他退方.和五次以上的两次代—v―不能用代祗运再求

第•牝1!/仇说江"曲折原代计iia长的发展洋包了广泛的运川.如二方法.,卜楠士.叔

牛颈法.弦仪法手.

A组

I.F的南故阳依'」，轴均“攵点.H'1'ffEHI:分法求图中南故写点的足（堆"上所有

希介条H的田，力.

南数八，巾哪儿一区间内6号点?为什么?

:，.信助计。器或计。机.川：分法求力出（，l>（r2>lr3）I<|J<fil]<I..H内的近似

M1（1<>.1>>

I.«l助什林器成什维机.用分法求方可0.8Iln.r住区间«）.1）内的近似斛,精确或

0.I）.

，.谓劭il书器或H仃机.川分法术而效〃，）In<；AK（»|（2.3>内的岁点（M确度

II!12

第三事函数的应用第三章

B组

I.先刖求根公式求出方程纭4rI。的解.然后再俏助计算翳或计算机•用二分拨求出这个

方程的近似解（一硼度O.D.

2.借助计书器或计算机,用二分法求方程，+56r+3,的近似解（精确度0.I）.

3.设函数“，）r-3j-2.若*J）2-/（.r）］-：

⑴求的解析式：

⑵借助H书器或计算机.他出函数K。）的图象；

<3>求出函数K（.r）的零点（精确度0.1）.

借助信息技术求方程的近似解

出助信息技术可以很方便地求出一个方程的近似解.这里以木小节阳2为时•向大家

介绍两仲方法.

1.利用计JI■君成计算执的代效自动求斛功能求方程的近似解.

（1）日计算器式•计舁机的浮点数设置为5位,

（2）选择命令"solve（斛方衽广:

（3）将方联“2I3/-7”喻人计423或计算机.便可自动求出才投的近似解.

2.利用计用黑技计算机的昌图功能求方程的近似解.

（I）将计算器我计用机的浮点故设置为2位;

93||

CHAPTER普通高中课程标准实险教科书数学，必修

(2>分别料的致*>2T3J和-V7"畸人计算25或计算机.居出两个函数的

图和

(3)求出两个国象支点的坐标.ftf价到方程2'卜3,7的近(a解.

计讣25大计讣机为什么能小，此快找地求出方我的近似脚呢？桌际上.一计异居我计算

机中安装了一个方安敦值解法的«序.当我们中z相应的方n.斗绐出川碉度(有效效

字)后.计柞23式计IF机就会依据科序进行运算了.学了二分学了.代们也可以编写一个

求方忖近似解的性小.

这也给出的2制法Mj枢用：

II'I

函数模型及其应用

我们知道•函数是描述客观世界变化规律的加本数学模.•仰］的变化规律制壑

川不同的函数模型来描述.那么•曲临•个实际问题.应当如何选择恰当的南散模型

来刻㈣它呢？

3.2.1儿类不同增K的函数模型

卜而非们先来"两个具体问题.

例1假设你行本资金用于投资•现介：种投资方案供你选择.这种方案的

㈣报如F：

方案•：海人回报do元,

方案二:第大㈣报1。元•以后舔天比第-人多回报1。心

力--：：第-天网报。.1元.以后每人的网报比前一天翻•帝.

谛问♦你会选择哪种投资方案?

分析：犯们可做先建『：种投资方案所劝应的案数模厘.函通过比较它们的增长

情况.为选扑投资方案提供依据.

解：过第，人所用网报及、儿.则方案•可以用函数FI。（，£N）进行描述:方案

二可以川丽数y1"，<，6N）边行描述；方案：可以川函数.、，（X12-<,（、）进

行描述.4根剂中.第1是常数俄数.后两个都是递增函数模型•强对个方案作出

选择.就要对它H］的增长情况进行分析.

我们光川iio器或汁口机汁。-卜：种方案所得同报的增KM况（&3I）.

95

CHAPTER普通扇中谍程标准实脸教科书成学，必修

表z

方案­方案二方案:.

/人

y/兀增加3元y/L增加川.F兀增加*无

110100.1

240020100.80.4

3100却101・6U.8

440040103.21.6

510050106・1X2

6400601012・86.4

7400701025.612.8

8400801051.225.6

94009010102.151.2

1040010010201.«102.1

304003()010211748361.81(»7371182.1

11MM.个雨故的图柒（图3.2I）.

I“J2人们看到.良为？

品就出生七分析m.•»Kh、的将故由我恨里比班收

・》启致慢空增长速及t■快

题的好斗匕XrTftt

—.&们神队从小你讨“将软

再般的A.•爆蚱”的金义有什么新

的现

由-3I和图工2IuJW.方案的函数足常数函故.h根据这电的分％.

案.■案的雨数方是增的数.都方案.的函数'M*.的、是疗应作培朴的通界：

•»投资，5下通方堂

雨数的增长惘况飘不相同.可UG到,月忤为窠-,力案（\

f-•ntS-H天逸方

第I人M叫叫艮分别是方泰.的I，值和?：，倍•但它们的增•案二.报*8天以上连

长小固定不变.向方案H“指数用氏，其“用氏心”型成方案三？

倍增加的.从第7人H始.方案比JI他网1'力索增k1快用

多•这种用K座收足〃室.〃案:所儿法企及的.从行人所用网报G.。第I.，人•h

察4%;住第I人.力泰加力案•样，.力案显少：fl。，、人.力案/第

'*RH蛤.力集比其他两个方案所阳"I案多得多.到第306所涉”限12船过r亿四.

bifuPl6累计的网报数.通过M其罂或计洋机例&如十

II9(；

第三靠函数的应用第三章

大数

网报X1234567891011

方案

—•1()S01201602002402加32a3604(H)440

二103060100150210280360450550660

三0.41.22.8612.125.250.8102204.1409.2818.8

因此.投优I6人.应选择方案•:投资7人•应选择方案•或方案:投贯810

夫•应选杆方案：投,11夭（含II夭）以上,则应选择方案£.

匕述例门！足种假想情况,但从中我们M以体会到.小同的函数增K模中.增长变

化。在很大弟计.

例2旧公司为「实现I，”，力无利洞的II标.准备制定•个激惭fllP；人员的奖励方

.轧住倩色柿"达到I"〃儿时.按侨科利润进行奖励•II.奖金、（单位：万儿）随销褥利

涧，（单位：，尤）的增加而增加.他奖金总数不超过5万元,同时奖金不时过利力的

25"现仃.用奖励模物.vO.25x.>>log.11.v1.0021.其中哪个模型能符合公

司的要:求？

分析：-1、奖励模型符介公司婴求.就是依据这个模型进行奖励时.奖金总数小船过

5万斤.同时奖金不超过利洞的25”.ihr公司总的利涧H标为1000力无.所以人员销仲

利涧做不会出过公司总的利洞.I是.只需作区间通1000]I..检於个校则足行

符合公司要求即叽

♦一先作出闸数图象.逋过观察函数的图象.得到不步的结论.再通过II体il算.确

认结果.

解：侪助计算器或计其机作出雨数.丫5.y

O.25.r.vl<>nHI.v1.0（2的图象（图工2

2）.观察图较发现.在M.间10.I（XX）I..模型

v0.2；u.V1.（X2的图象fflHj一部分作仁线y5

的匕方•只有模W了log，T1的图象蛤终住N-5

的F方.这说明11行按模型、卜”，+1进行奖励时

才符合公司的要求.卜问通过计算确认k述判断

■先计的哪个模W的奖金总数不删过5万元.

<41K"1.'）'.Lfi.K.I"!I".1"

上递增•问II当，2011）.v5.因此.“33）

时.、•，.所取耀松仪不符介要求;

财于模J.v1.。<）2,.由函数图象.并利用计算器.可知住区间（»>5.X06）内“

个点，满址1.002,5.由产它住区间10.I000]上递增.因此当，，时..V..所

以该模咽也不符介安求：

97||

CHAPTER普通高中课程标准实验教科书数学/必婚

对广根F.V1，根，,I.它在区间10.I()001♦递

增.而11哮,I"OI.II.J.VlogI5"•"\^\..所以

叶栽用长懵型比收适合

它符介奖金总数柳过：力无的要求.于桩连用长理及，代的£化

再升株按模峨Vlog-fI奖励时•奖金是V不知过利坦律.

润的2，.即青，"10.I<><)<>;11.1.足］〃］7

…4门10.25

JT.r

成仁

1(.1)logr1-1I).2rM.<e10.I(MX).利川il

算器或计仃机作出函数八，)的图象(图3.23).山图象

可知它是递减的.同此

/<.，>/<|o)=fc<>.31(；7-(>.

1卬

log«-10.25<.

所以.»ei10.I(MM)时.*：70.25.说明明.21

按模型vl<>g./I奖励.奖金不会超过利涧的25.

琮1所述•KJ^ylog，•1确实能符介公司要求.

绘习

I.叫介变川V,.V.V.V随变收，变化的依据如卜&:

X051015202530

a513050511302<M)53I3<>4505

*591.47H1783.2337336.37X101.2X1012.28x101

a5305580105130155

52.31071.12951.14071.046I1.01511.005

XH，丫指数M雨数变化的变H是.

2某刊“书帆足逋过电f研件进行传播的.如果某用府帆蟠柒1.这件如，U.那么它就会能

I--机田发(1时传擀次强而•H4S案支他？,行人感染辆毋的H书机•昵4i”f川IX机被

第1轮利而■宋.向被整5轮料亦感型的ii。机”一"台?

---------------------------------------一J

我们加迫.对数函数.Vlog<<U1).指数函放、aIIII)1jhfHiVly<(w1,>

6UKM«>.)k部足增雨数.从上述两个例尸可以都处这类雨数的增长，行片

升的.那么.这种K计的I［体情况到屁怎样呢?

卜加.我们久妨九以函数、2'.V，•Vlog.为例进行探究.

fillllilV)器或il。：机.列出口变汁,j-数值的对应值&〈&-Il»jfifti1'iffj

II9K

第三章函数的应用第三章

坐标系内叫出:个雨数的图象（图3.21）.可以所到.虽然它们部足堆函数•但它们的增

长速度也不同的.

表卜5

X.。・20.61.0L41.82.22.63.03・，1

y=2，1.1191.51622.6393.1821.5956.()63K10.556

尸尸0.040.3611.963.244.846.76911.56

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国堂的义点.

请在图象上分别怀出使不等大

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成立的自变BL，•的取值范lfl.

卜血我们在火大的他用内.观察.V2FLV」的增K情况.

从表36和图3.2-5可以行到.V2'fil.v.1的图象力两个交点.这农明2,与

在自变咕不同的区间内勺不同的大小关系.有时2,，.行时*•r.

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99II

CHAPTER延通高中课程标准实险教科书数学，必修

睦W，越来越大时.”以行列..V2的国象就像,/，轴币“书.2的

他快速增长.，比虺？*.儿丁有此放不足道.如图3.2«和037所小.

表＞7

3050

II1()0

第三章函数的应用第三章

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由「，，的增长快I，”的增长.因此总"C4，,"i，，时•就会〃“，.

同一地.*1「引故函数ylogI（aI）和琳函数、.，（，，•（））.fiKfn]（（）.<）

上,随不，的增人.1小，增K3越来越慢.图象就像居渐渐地。，轴1'"7.A件件

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（”。）都是增雨数.他它in的增长速度不同•而ii,不作同•个“档次”।.随。，的增

大.、“I）的增长速度越来越快.会超过并远屈大匕vk（，，“）的增K速收•向

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log.j■.r"“’.

你能用同样的方法.讨论一下函数、"，《>“•1）..T，"（，r0）.

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舞习

作同flftll'l小少林系I”出卜到雨故的图象.R比较它们的增长怙视:

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1

C2)v2<>lnJ1<*>•r€I♦|011

(3>v20r,，七l・10

3.2.2函数模型的应川实例

我们学习过的•次雨数.二次函数.指数阙数.对数函数以及近的故•它们都二现实

世界有苻紧懈的联系.仃若广泛的应用.卜而我们通过•些实例.来述受它们的广泛应

用.体会解决实际同9