教案任意角和弧度制-任意角-教案课件-人教版高中数学必修第一册

任意角

【教学目标】

（1）要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念；

（2）学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；

（3）并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

【教学重点】

理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

【教学难点】

“旋转”定义角；终边相同的角的表示。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一

思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍角、半角关系提供

了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。

本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。

【学情分析】

（1）初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于0°〜360°；

（2）学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念

推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；

（3）学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角

（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的

终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释4•360。的运用特点。

【设计思路】

（1）通过创设情境，类比初中所学的角的概念，从运动的观点阐述，进行角的概念推

广，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入

象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；

（2）通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同

终边的角的表示。

这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识，同时在教学中充分运用现

代教育技术手段，将抽象的数学知识形象化、直观化，帮助学生理解“正角”“负角”“象限

角”“终边相同的角”的含义，和掌握终边相同的角的表示。

【教学准备】

借助信息技术工具(如：几何画板)，

(1)角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

(2)动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从

特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。

【教学过程】

教学环节教师活动学生活动设计意图

思考：你的手表慢了5分

钟，你是怎样将它校准的?假如

你的手表快了1.25小时，你应

学生容易

当如何将它校准？当时间校准以

回答前面一个

后，分针转了多少度？

问题，但在回

创取出一个钟表，实际操作，

针对上述问答后面一个问

设我们发现，校正过程中分针需要

题，学生进行讨论题是会发现问

情顺时针或逆时针旋转，有时转不

O题，从而引起

境到一周，有时转一周以上，这就

认知冲突。说明

是说角已不仅仅局限于

角的概念扩展

00~360。之间，这正是我们这

的必要性

节课要研究的主要内容一一任意

角。

1.任意角概念的引入

(1)问题：过去我们是如回答问题回顾已有知识

组

何定义一个角的?角的范围是什

织

么？

探

角可以看成平面内一条射线

究

绕着端点从一个位置旋转到另一

个位置所成的图形。如图1.1-举例，再说明结合具体

1.所举例的角为什么的实例，感受

(2)举出不在0。〜360。的角不在0。〜360。。角的概念推广

的实例，并加以说明。提供教材讨论的必要性

中的几个例子。

观察图1.1-

(3)你认为刻画这些角的3,进一步认识正

关键是什么？角、负角。让学生认

引导学生从旋转量、旋转方利用任意角的识到刻画这些

向这两个方面进行思考。定义，回答本节开角不仅要用旋

引导学生通过类比正数、负始的“思考”中的转量，还要用

数和零，定义角的正角、负角和表的校正问题。旋转方向。

零角的概念。

(4)给出任意角的定义

画图探究，讨

论、交流，不难给

2.象限角出合理的放法。利用新概

(1)问题：如果把角放在念重新认识问

直角坐标系中，那么怎样放比较题。

方便、合理？通过尝试

(先让学生以同一条射线为探究，由学生

始边作出下列角：210。，感受没有统一

-150°,-660°)标准时，角的

表示不方便。

(2)给出象限角的概念

在总结分析合理放法的基础

上，给出象限角的概念，并说明

在同一坐标系下讨论角的好处。

然后通过具体例子使学生直接感

受象限角的概念。

3.终边相同的角

探究：将角按照上述的方法

放在直角坐标系中后，给定一个

角，就有唯一的一条终边与之对思考每组角的

应。反之，对于直角坐标系内任数量关系。

意一条射线(如图1.1—利用计算机在

5),以它为终边的角是否唯一？旋转终边的过程中

如果不唯一，那么终边相同的角发现“终边相同”

有什么关系？的角的关系，并利探究终边

(1)在直角坐标系内标出用集合表示出来。相同的角之间

210°,-150。角的终边，你有什的关系，理解

么发现?它们有怎样的数量关系？并掌握其关系。

328°、-32。、-392。角的终边呢？

引导学生用含有其中一个角

的关系式表示另外的角。

让学生利用计算机在旋转终口答

边的过程中发现“终边相同”的

角的关系，并利用集合表示出来从具体问

O题入手，了解

终边相同的角

(2)直角坐标系内，角c的关系。

对应了唯一一条射线(终边)，

那么是否存在与角«终边相同的

角？如果存在，如何表示？

从具体到

一般，认识终

4.巡视检查，然后请两位边相同的角的

同学回答关系及其表示。

由几何位置

“终边相同”

探讨其代数特

征的“统一”。

例1在0。~360。范围内，找

出与-950。1，角终边相同的角，通过例

并判定它是第几象限角。题，进一步理

分析、板书解任意角、象限

角和终边相同

例2写出终边在y轴上的角的角。

自学例2.

例的集合。

题

指出这两个集合求并集的关

分

键是把270。改写成90。+180。，然

析

后重新组合。

例3写出终边直线在丫=无

与教师共同完

上的角的集合S,并把S中适合成例3,注意左的

不等式-3600＜尸＜720。的元素p正确取值是关键。合作交流

写出来。

补充：

①时针经过3小时20分，

尝