高中数学苏教版选修23教学案13 组合

组合

第1课时组合与组合数公式

预

习

入门答辩——辨析问题解疑惑

导

引

区新知自解——自读教材找关键

知识点1组合的概念

〃〃〃7、R答料〃〃/

从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘.

问题1：所得商和积的个数相同吗？

提不：不相同.

问题2：它们是排列吗？

提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列.

问题3：一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动.所抽出的这5人与顺序有关吗？

提不：无关。

问题4：你能举个这样的示例吗？

提示：从班里选7名同学组成班委会.

/////6豫,，

一般地，从n个不同元素中取出，"例个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个不同元素的一

个组合.

知识点2组合数与组合数公式

〃〃〃入门答料，〃〃

从1,3,5,7中任取两个数相除.

问题1：可以得到多少个不同的商？

提示：A1=4X3=12种.

问题2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？

提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C?,第二步，将每一组合中的两个不同元素

作全排列，有A&种排法.

问题3：你能得出C4的结果吗？

提示：因为Ai=CiA£,所以CA碧=6.

问题4：试用列举法求得从1,3,5,7中任取两个元素的组合数?

提示：1,3：1,5：1,7:3,5;3,7;5,7共6种.

〃〃〃氧知6解”〃/

组合数与组合数公式

组合数从n个不同元素中取出m（小W〃）个元素的所有组合的个数,叫做从n个不

定义同元素中取出m个元素的组合数

表示法用符号缁表示

乘积n(〃—1)Cn-2)(〃—加+1)

「用---------------------------------------------------------------------------

mi

形式

组合数

阶乘_______-!_____

公式°，加m！（〃一一）！

形式

性质，L/J+1——

备注①"，，"CN"且根，.②规定c9=1

［归纳.升华.领悟］------------------------->

1.组合的特点是只取不排

组合要求〃个元素是不同的，被取出的，"个元素也是不同的，即从〃个不同的元素中进行m次不放

回地取出.

2.组合的特性

元素的无序性，即取出的小个元素不讲究顺序，没有位置的要求.

3.相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同（不管顺序如何），就是相同的组合.

课

堂

突破考点一总结规律

互

II动

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟区

02/13

组合的有关概念

［例IJ判

断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.

(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握

了多少次手？

(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②

从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

［精解详析］(1)①是排列问题，共通了A元=110封信；

②是组合问题，共握手C%=55次.

(2)①是排列问题，共有AT()=90种选法；

②是组合问题，共有C?o=45种选法.

［一点通］区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起.而区分有无顺

序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新

的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

鞍依靠钝

1.下列问题：

①铁路线有5个车站，要准备多少车票？

②铁路线有5个车站，有多少种票价？

③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？

④从a,b,c,14名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？

⑤从mb,c,44名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？

其中是组合问题的是.(将正确的序号填在横线上)

解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没有方向性；单

循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序：而2名学生完成两件不同

的工作是有序的.

答案：②④

2.求出问题1中组合问题的组合数.

解：②铁路线有5个车站，有Cg=10种不同的票价.

④从小b,c,d4名学生中选出2名学生，有CZ=6种不同的选法.

组合数的计算问题

[例2](1)

计算：do-0-Ah

(2)解方程3Q二3=5A、4.

［思路点拨1(1)直接利用公式计算;

(2)由计算公式化为关于x的方程.

［精解详析］(1)原式=Go-A,

10X9X8X7

7X6X5=210-210=0.

4X3X2X1

(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为

(%—3)!(%—4)!

3•-------------=，•----------.

(x—7)!4!(x—6)!

„.3(x—3)5口门脑

则~x>即为(X—3)(x—6)=40.

所以，/一9x—22=0,解之可得x=ll或x=-2.

经检验知x=ll是原方程的根，》=-2是原方程的增根.

所以，方程的根为x=ll.

［一点通］组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会

用到.

组合数公式阶乘形式的主要作用有：

(1)计算，〃，“较大时的组合数；

(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.

特别地，当机＞5时计算C%用性质C/=C：F转化，减少计算量.

罪做A制

3.计算Cg+Cg=

a…一,6X5X4,8X7X6,

解析：&+&=2乂。乂乂|=20+56=76.

JAZA1JAZA1

答案：76

4.计算下列各式的值.

⑴逑)+C燃(2)Cg+C升C9+C8.

解：(1)C将o+C端=600+&00=晋等+200=5150.

Zzx1

⑵原式=Cg+C9+C$=C8+C8=C%=Cfo=21O.

5.⑴求C犷"+C即+"的值；

(2)求等式失捍口=3和的〃值.

04/13

<1六9〃W38

[0W38—〃W3〃,

解:⑴「I即<.•号0吗

〔0W3〃W21+凡ow〃w共

.\n=10,

.•.C犷"+C势+产C器+C部=C9O+CL=466.

（2）原方程可变形为会个+1=3,，C5-i=yC^-3,

c（〃一1）（〃一2）（〃一3）（〃一4）（/?—5）

即-------------------?!--------------------

14（〃一3）（〃一4）（〃一5）

=T31，

化简整理，得/一3〃-54=0.

解此二次方程得72=9或〃=—6(不合题意，舍去),

故〃=9为所求.

简单的组合应用题

［1503］在

一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有

多少种不同的选法？

(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.

［思路点拨1本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”

作出正确的判断，然后利用组合数公式解决.

［精解详析］(1)。2=792种不同的选法.

(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C8=36种不同的选法.

(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C§=126种不同的选法.

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C3=3种选法，再从另外

的9人中选4人有C8种选法.共有C」C8=378种不同的选法.

［一点通］解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无

关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时，才能

运用组合数公式求出其组合数.在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复

或遗漏.

〃〃人罪依•泰利勿〃

6.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的

取法共有种.

解析：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有ClCg种；甲型2台乙型1台的取法有C3Cg种.

根据分类计数原理可得总的取法有ClCj+C5Cg=40+30=70(种).

答案：70

7.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

父X7XA

解：(1)由于与顺序、位置无关，是组合问题，由组合定义知有与1=56(种).

3A2/Xi

(2)是组合问题，只需从7个白球中取2个即可，所以有C乡=21(种).

(3)是组合问题，只需从7个白球中取3个即可，所以有C?=35(种).

［方法.规律.小结］-------------------------'

1.区分一个问题是排列问题，还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无

顺序就是组合问题.判断它是否有顺序的方法：将元素取出来，看交换元素的顺序后对结果有无影响，有

影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题.

2.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念.“组

合”是指“从〃个不同元素中取机(mW〃)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合

数”是指“从”个不同元素中取出〃?(〃?W〃)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.例如，从3个

不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,be,其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3

个，则组合数为3.

训

练

栏目功能

提

I能

提速提能，让学生趁热打铁消化所学

既练速度又练准度，步步为营步步赢区

fcnccnglianicigubentineng分层练习固本提能

课下能力提升(五)

一、填空题

1.给出下面几个问题，其中是组合问题的是.

(1)从1,2,3,4中选出2个构成的集合；

06/13

(2)由1,2,3组成两位数的不同方法；

(3)由1,2,3组成无重复数字的两位数.

解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题.

答案：(1)

2.已知C4=10,则〃=.

解析：Cn=_y.=10,解之得”=5.

答案：5

3.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有

人.

解析：设男生有〃人，则女生有(8—〃)人，由题意可得Cm-“=30,解得〃=5或〃=6,代入脸证，

可知女生有2人或3人.

答案：2或3

4.若C28—8,则X—.

解析：'""C'28=C288,

；.x=3x—8或x+(3x—8)=28,

即x=4或x=9.

答案：4或9

5.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有机个不同的积；任取两个不同的数相除，有"

个不同的商，则m.

木斤：=AZ,二:

答案：|

二、解答题

6.列出从5个元素A,B,C,D,E中取出2个元素的所有组合.

解：从5个元素A,B,C,D,E中取出2个元素的所有组合有：AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,

CD,CE,DE共10个.

7.计算：Ag+Al+AH--FA彳00.

解:原式=C*Ag+C3A3+Cg•------FCTOO,A?

=(CJ+CHC5+-+CTOO)-A2

=(Ci+a+Ci+Ci+-+C?oo-C?)-Al

=(CHCHCs+-+C?oo-a)-A?

=(CHC?+-+C?oo-a)-Al

=(C?oi-d)-A?

=2CK—2

8.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,

即有00=不77=45种选法.

(2)可把问题分两类情况：

第一类，选出的2名是男教师有C2种方法；

第二类，选出的2名是女教师有C3种方法.

根据分类计数原理，共有CZ+C?=15+6=21种不同的选法.

(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C去种选法；再从4名女教师中任选2名，有C彳种选法；

根据分步计数原理，所以共有Cg-d=90种不同的选法.

第2课时组合的应用

突破考点总结规律

II

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟

师生共研突破重难shiskcti8goligyantupozftongnan

考点1有限制条件的组合问题

［例1］课

外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种

活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有1名女生；

(2)两名队长当选；

(3)至少有1名队长当选.

［思路点拨］特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排.

08/13

［精解详析］(1)1名女生，4名男生，故共有Cg•Cg=350种.

(2)将两名队长作为一类，其他II人作为一类，故共有C»C：i=165种.

(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法ChCti+G-Ch=825种，或

采用间接法共有©3—日产825种.

［一点通］解答组合应用题的总体思路：

(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于

空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理.

(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步

骤要独立.

〃“题做泰利"〃/

1.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有种.

解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有ClC2+aC&=2X15

+6=36(种)选法；

法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有Cg-CW=56—20=36(种)选法.

答案:36

2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法

共有种.

解析：从中选出2名男医生的选法有C5=15种，从中选出I名女医生的选法有Cg=5种，所以不同

的选法共有15X5=75种.

答案：75

3.设集合/={1,2,3,4,5}.选择集合/的两个非空子集4和B,若集合8中最小的元素大于集

合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？

解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A,大的给集合B,有Cg=10种选择方法；从5个元素

中选出3个元素，有Cg=10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将

其隔开，一边给集合4、一边给集合8,方法种数是2,故此时有10X2=20种选择方法；从5个元素中

选出4个元素，有C$=5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合

A、一边给集合B,方法种数是3,故此时有5X3=15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有Cg=

1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1X4=4种选择方法.根据分类计数原理，总计为10+20

+15+4=49种选择方法.

考点2几何问题中的组合问题

［例2］平

面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线.

(1)经过这9个点，可确定多少条直线？

(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？

(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？

［思路点拨］解答本题可用直接法或间接法进行.

［精解详析J法一：(直接法)

(1)可确定直线c才+cjc!+cg=3i条.

(2)可确定三角形ac!+C」Cg+Cg=80个.

(3)可确定四边形Crg+ClCg+Cg=105个.

法二：(间接法)

(1)可确定直线C$—a+l=31条.

(2)可确定三角形C$一@=80个.

(3)可确定四边形C/—Cf-&&=105个.

［一点通］解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视

为组合应用题的限制条件即可.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需

要分类计算符合题意的组合数.

獗做臬•钝'〃〃/

4.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有个.

解析：，-3=32.

答案：32

5.平面内有两组平行线，一组有〃?条，另一组有〃条，这两组平行线相交，可以构成个

平行四边形.

解析：第一步，从机条中任选2条，Cm；第二步，从〃条中任选2条C已

由分步计数原理，得CQ戢.

答案:cQcZ

6.己知平面a〃夕，在a内有4个点，在尸内有6个点.

(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？

(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？

解：(1)所作出的平面有三类：

10/13

①。内1点，£内2点确定的平面，有CkC2个；

②a内2点，Q内1点确定的平面，有©•日个；

③a,。本身.

所以所作的不同平面最多有C]•C?+Ci•C&+2=98（个）.

（2）所作的三棱锥有三类：

①。内1点，B内3点确定的三棱锥，有C\•&个；

②a内2点，。内2点确定的三棱锥，有C>C2个；

③a内3点，3内1点确定的三棱锥，有CW・C&个.

所以最多可作出的三棱锥有C\•G+C4•Ci+Cl•C!=l94（个）.

（3）因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面。〃所以体积不相同的三棱锥最多

有C2+Ci+C”a=114（个）.

[方法.规律.小结1'

解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”（排除法）.

（1）用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取"、“特殊位置优先安排”的原则.

（2）选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反

面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理

解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.

栏目功能

i

提速提能，让学生趁热打铁消化所学,

既练速度又练准度，步步为营步步赢

fencengtiamcigubcntineng分层练习固本提能

课下能力提升（六）

一、填空题

1.某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法

有种.

解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：

第1步，选女工，有c1种选法；第2步，选男工，有C弓种选法.

故有c!•a=3X21=63种不同选法.

答案：63

2.上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家

企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为.

解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有CJG种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C1种情况,

由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有Cia+©=16（种）.

答案：16

3.圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有个.

解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C