函数与导数中的同构思想题型归纳总结 讲义-2022届高三数学一轮专题复习

同构思想在函数与导数中的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.题型1：指对跨阶型解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.答题思路；1.直接变形：（1）积型：（同左）；（同右）；（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取对数）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；1.(2021重庆市市辖区模拟)若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：，，

设，则在上单调递增.故即，

即即设，则，

令，则在上单调递减，在上单调递减故，故

故选2.不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．解析．3．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．解析，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则，所以．4.已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．解析，由于ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当x＝1等号成立，所以，则，所以．5.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．解析，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则，所以．6.已知函数，若，则的取值范围是.【解析】由移项得：即，两边同时加（x－1）得即设，则，所以单增所以，即设，则，所以在单减，在单增，所以，所以.7.(2021山东省泰安市一模)已知.

（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围.解：（1）由题意得，，，则，=1\*GB3①当时，，所以在，单调递增，，故在，上无零点；=2\*GB3②当时，，使得，在，上单调递减，在上单调递增，又，故在区间上无零点=1\*romani）当即时，在，上无零点，=2\*romanii）当即时，在，上有一个零点，=3\*GB3③当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上所述：当时，在，上有一个零点；（2）由得，即，则有，令，，，函数在上递增，方程即为方程即有2个不同的正实根设，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以（1），当时，，当时，，当时，方程有2个不同的正实根综上所述：.8.设实数λ>0，若对任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx【答案】[【解析】由eλx-lnxλ≥0得e设f(t)=tet，则又f'∴当t<-1时，f'(t)<0，f(t)单调递减；当①当x≥1e时，t1=λx>0，t即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx对任意的x∈(0，+设gx=lnxx，x>0，则g'x=1-lnxx②当0<x<1e时，由f0=0⋅e0=0，结合函数f(t)综上可得λ≥1e，∴实数λ的取值范围是【解析二】由eλx-lnxλ≥0得e当x∈(0，1]时，总有λxe只需考虑x>1的情形，亦即设f(t)=tet(t>0)，则ft由fλx≥flnx得，λ设gxmax=ge【解析三】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnx当x∈(0，1]时，总有λxe只需考虑x>1的情形，亦即设f(t)=tlnt(t>1)，则f'ft由feλx≥fx得，e设gxmax=ge【解析四】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnx当x∈(0，1]时，总有λxe只需考虑x>1的情形，得设ft=t+lnt(t>1)，则ft由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即设gxmax=ge9.对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边）两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）设，则，单增故由（#）得，再令，则，易知当所以，即.【解析二】将变形为，即设，易知单增故（以下同解法一，从略）.10.（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：A.11.（2020·安徽·高三月考（文））已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，若显然不是恒大于零，故.（由4个选项也是显然可得），则在上恒成立；当时，等价于，令在上单调递增.因为，所以，即,再设，令，时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.故选：D．12.（2020·湖南·长郡中学高三月考（理））若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果.【详解】（1），显然成立；（2）时，由，由在为增在恒成立，由在为增，，，综上，，故答案为.13．（2020·全国·高三月考（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】显然，由，得，则令，，因为与互为反函数，所以只需要即可，即，令，则，所以可得在上单调递减，在上单调递增所以，即.故答案为：14.已知函数fx=（x+1x）lnx，gx【解析】2fx-gx≤0转化为（x2+又f't=t所以lnx2≤mx，∴实数m的取值范围是[215.已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析(三种模式，只要写一种)，由(3)得，，即，由导数法可得，从而所以．16.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是()A．B．C．D．解析(同构)，令，由，且，知在为减函数，所以．故选C．17.对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．解析(积型同构取对数)，令，则为增函数，由，得，即恒成立，令，则，易得，所以实数a的最小值为．18.已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．解析(和差型同构)，令，显然为增函数，则原命题等价于，由于，所以，即得．19.（2021·湖北·汉阳一中二模）若对任意，恒有，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D20.（2021·江苏·公道中学高二月考）已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式对恒成立可变形为,即对恒成立设则当时,,即在时单调递增当时,,即在时单调递减因而在上恒成立即可当时,而当时(因四个选项都小于0,所以只需讨论的情况)因为在时单调递减,若只需不等式两边同取自然底数的对数,可得当时,化简不等式可得只需令,则,令解得当时,,则在内单调递增当时,,则在内单调递减所以在处取得最大值,故所以实数的最小值为故选:C21.已知函数.(1)判断在上的单调性；(2)若，证明：．解析(1)，令，，在上单调递减，，即，在上单调递减．(2)要证，即证：即证：即证：，令，即证：，由(1)，在上单调递减，即证：．令，，在上单调递增，，，即．22.（2021·河南·高三月考（理））若关于的不等式对于任意恒成立.则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】易知，将原不等式变形可得：，设，则，当时，原不等式显然成立；当时，因为在上递增，设，则，所以在递减，递增，所以的最小值为，故.故答案为：23.（2021·全国·高三专题练习）已知函数若时，恒成立，则实数的最小值为（）A．B．C． D．【答案】D【详解】由可得，所以，设，则上式等价于对于恒成立，因为，所以在单调递增，所以对于恒成立，即，因为，所以对于恒成立，令，则，，由可得，由可得，所以在单调递增，在单调递减，所以，可得，所以实数的最小值为.故选：D.24.已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为()A．B．C．D．答案解析，即，令，则在单调递增，即，当时，恒成立，当时，，令，则，在上单调递增，．故选B．25.（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后利用导数求出的最小值即可.【详解】由得即，构造，即因为在上单调递增，所以，所以所以，令，则所以在上单调递减，在上单调递增所以，所以，即又，即所以的取值范围是故选：B26.（2021·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则，得；当时，，恒成立；当时，令，求导分析单调性得在恒成立，通过分离参数即可求解参数范围．【详解】解：令，则，∴．不等式恒成立，①当时，，恒成立；②当时，令，，在单调递增，即等价于，在恒成立．即，在恒成立.令，则，可得，∴在递增，在递减，∴，∴，∴的取值范围为．故选：B．27.（2022·全国·高三专题练习）设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：D.28.（2020·辽宁·模拟预测（理））若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，，，显然成立；当时，不等式，化为，两边取对数得到，进而转化为恒成立，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，当时，，可得，①当时，，则，不等式显然成立；②当时，不等式，可化为，两边取对数，可得，令，可得，又由函数单调递增，所以只需，即在恒成立，令，有，，由，即，解得，由，即，解得，所以函数的增区间为，减区间为，所以当时，函数取得最大值，综上可得，实数的取值范围为.故选：B.29.（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.【详解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上单调递增，∵，，∴，使，即，∴时，，单调递减；时，，单调递增；故只需，令，∴，故在上递减，而，∴时，恒成立，可知.故选：C30.（2021·福建省泉州第一中学高二期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.【答案】【详解】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增.当时，，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：32.（2021·河南郑州·二模（理））已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____．【答案】【详解】不等式对任意的恒成立，令，则，所以不等式等价于对恒成立，变形可得不等式对恒成立，令，，则不等式等价于对恒成立，，当时，，故单调递增，所以不等式转化为对恒成立，即对恒成立，令，所以，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，所以，又，所以实数的取值范围为．故答案为：．33.（2021·河南平顶山·高二期中）不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________．【答案】【详解】，，令，易知在递增，，∴，又∵，，即对任意恒成立，设，则当时，；当时，所以在递减，在上递增，，则故答案为：．34.（2020·全国·高三月考（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】显然，由，得，则令，，因为与互为反函数，所以只需要即可，即，令，则，所以可得在上单调递减，在上单调递增所以，即.故答案为：35.（2021·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．【答案】【详解】解：若，时，，，∴，此时不恒成立，∴，，令，，时，，，，在单调递减，单调递增，∴，，时，，，原不等式恒成立；时，令，，，时，，时，，在单调递减，在单调递增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案为：.36.（2021·河南南阳·高二期末（理））若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】设，则，所以在上单调递增，由已知得，因为，，，所以，，，所以在上单调递增，，由在单调递增，得到，所以，因为，所以，令，则，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以.故答案为：37.（2021·浙江·高二期中）若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是__________．【答案】【详解】，，，令，，即在上单调递增，则，令，，时，时，在上递增，在上递减，时，即，正数k的取值范围是.故答案为：38.（2021·天津·耀华中学高三月考）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.【答案】【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.【详解】∵对于任意，，不等式恒成立∴对于任意，，即恒成立当时，；当，，设，则，所以在上单调递增，由，知，即，即设，，求导令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴在处取得极大值，且为最大值，所以时，不等式恒成立故答案为：39.（2021·全国·高三专题练习）若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.【答案】【详解】当，时，不等式显然恒成立.当时，.由于，即.所以原不等式恒成立，等价于恒成立.构造函数，.易知在上单调递减，在上单调递增.则原不等式等价于要证.因为，要使实数的最大，则应.即.记函数，则.易知，.故函数在上单调递减，所以.因此只需.综上所述，实数的最大值是.故答案为：40.（2020·江西宜春·模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.【答案】【详解】可变为，再变形可得，，设，原不等式等价于，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，，当时，，所以由可得，，因为，所以．设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．当时，不等式在恒成立；当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．故答案为：．41.（2020·江苏省滨海中学高三月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．【答案】【详解】由题设，有，则，令且，则，而，∴在上递增，则，即，若，则，∴当时，，即递增；当时，，即递减；∴，故.故答案为：题型2：双元同构型【解题策略】含有同等地位的两个变量的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.答题思路：常见的同构类型有：（1）；（2）；（3）.1.若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．解析设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．2.若，都有成立，则a的最大值为()A．B．1C．eD．2e解析，即，令，则在上为增函数，在上恒成立，，令，解得x＝1，在上为增函数，在上为减函数，，的最大值为1，选B．3.已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．解析①当p>q时，即，令，则，在递减，即，在递减，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，．②当p<q时，同理可得出，综上所述4.已知a，b分别满足，则ab＝________．解析同构化处理，并利用函数的单调性．，，令，显然该函数单调递增，即，即，则ab＝e3．5.(2021江西省萍乡市联考)已知函数，（1）求函数的定义域；（2）对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意得，即，

①当时，，函数的定义域为；

②当时，，函数的定义域为且，

③当时，，函数的定义域为；（2）由题意得，，当时，设，则在区间上单调递减设，

即函数在上是减函数，且，

，解得，

实数的取值范围为6.(2021江苏省苏州市联考)已知函数，若对任意，，存在，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：令，

由得

在递增，

，即恒成立，设，，，

则在上单调递增，

，故有，

，使得成立，

故，即

故选：.7.已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有成立，则实数m的取值范围是________．答案m≥0解析由得，，令，，在单调递增，又，，在上恒成立，即，令，则，在单调递减，(但取不到)．m≥0．8．已知函数，，当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．答案D解析由，得，令，则在上单调递增，又，在上恒成立，即，令，则，令，则在单调递减，在单调递增，，选D．题型3：朗博函数同构型1.已知，则函数的最大值为________．解析．(当且仅当x＋lnx＋1＝0取等号)．2.函数的最小值是________．解析(当且仅当x＋lnx＝0取等号)．3.函数的最小值是________．解析(当且仅当x＋2lnx＝0取等号)．4.不等式恒成立，则实数a的最大值是________．解析，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．5.不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．解析，当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．6.已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________．解析，由于，当且仅当x＋blnx＝0等号成立，所以7.已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析，当且仅当－ax＋lnx＝0，即时等号成立，由有解，易得．8.关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_____.【答案】【提示】变形为，利用题型4：零点同构型1.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析，令，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，令，在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．，．2.已知x0是函数的零点，则________．解析，所以，即，或，则．3.已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围.【解答】解：方法一：由可得，设，，，则，令，在单调递减，在单调递增，故（1）．①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，（1），此时在区间内无零点；②当时，（1），此时在区间内有零点；③当时，令，解得或1或，且，此时在单减，，单增，单减，，单增，当或时，，此时在区间内有两个零点；综合①②③知在区间内有零点．方法二：由题意可得，即，因为当时等号成立，所以，即，，令，，易知在单减，在上单增，所以（1），又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷，所以．4.已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值