2025年高考数学一轮知识点复习-三角形中的中线、高线、角平分线-专项训练【含答案】

三角形中的中线、高线、角平分线一、单项选择题1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝72，则BCA．7B．32C．19D．332．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，A＝π4，则cosCA．1010 B．3C．3510 3．如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7，∠ABC＝120°，BD为∠ABC的角平分线，sin∠BAC＝5314，则A．6 B．8C．72 D．94．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为BC的中点，AD＝1，B＝π3，且△ABC的面积为32，则A．12 C．2 D．35．在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB＝2sinC，BC＝6，AB＝42，则△ABC的面积为()A．23 B．33C．22 D．426．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APB的余弦值为()A．1313 B．C．29191 二、多项选择题7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos∠BAC，∠BAC的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝18A．AC＝3B．AB＝8C．CDBD＝D．△ABD的面积为38．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC的角平分线交AC于D，E为AC的中点，则下列说法正确的是()A．若BD＝3aca+c，则B．若BD＝3aca+c，则C．若BE＝a2+c2−acD．若BE＝a2+c2−ac三、填空题9．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．10．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝__________；cos∠MAC＝________．四、解答题11．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab+c(1)求B；(2)若b＝6，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积．12．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csinB＝(2a－c)tanC.(1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC的中点，BD＝13，求△ABC的周长．13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，bsin2A＝45sinB.(1)若b＝1，证明：C＝A＋π2(2)若BC边上的高为853，求△参考答案1．C[如图，AD＝12(∴AD2＝14(AB2＋∴494＝14(c2＋9＋3∴c＝5(负根舍去)，∵BC2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝9＋25－2×3×5×12∴BC＝19.]2．B[如图，AB边上的高为CD，因为A＝π4，所以AD＝2c，2c＝bsinπ所以BD＝c，b＝22c，由勾股定理可得BC＝c2+4c由余弦定理的推论可得cos∠ACB＝5c2+83．B[因为BD为∠ABC的角平分线，所以∠ABD＝60°，因为∠ABC＝120°，所以∠BAC为锐角，所以cos∠BAC＝1−5314所以sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠DAC)＝sin∠BAC·cos∠DAC＋cos∠BAC·sin∠DAC＝5314×由正弦定理可知BDsin∠BAD＝即BD＝sin∠BAD×ADsin∠ABD＝437×74．B[∵B＝π3，∴在△ABDc2＋a22－2c×a2cosπ3＝1，即a2＋4c又S△ABC＝12acsinB＝34ac＝32，解得ac∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac，即4c2－4ac＋a2＝0，∴(2c－a)2＝0，即a＝2c②，将②代入①得2c2＝2，解得c＝1或c＝－1(不合题意，舍去)，故选B.]5．D[在△ABD中，由正弦定理可得ABsin∠ADB＝在△ABC中，ABsinC＝两式相比可得sin∠ADBsinC因为3sin∠ADB＝2sinC，所以ACAD＝23，设AC＝2k，AD＝3由余弦定理的推论可得cosB＝AB2+BD2−AD22AB·BD＝AB即32+9−9k22×42所以cosB＝32+9−9×12×42×3＝2所以S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12×42×6×13故选D.]6．D[因为AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，由余弦定理可得BC＝AB2+AC因为AM＝12(AB14(AB2+由余弦定理的推论可得cos∠ABC＝AB2+BC2−AC2|BN|＝1＝14(4+19+2×由重心的性质可得AP＝23AM＝39BP＝23BN＝21在△APB中，由余弦定理的推论可得cos∠APB＝AP2+BP7．ACD[因为b＝ccos∠BAC，由正弦定理可得sinB＝sinCcos∠BAC＝sin(∠BAC＋C)，所以sin∠BACcosC＝0，因为sin∠BAC≠0，所以cosC＝0，即C＝π2因为18＝cos∠BAC＝AC由角平分线定理可得ACAB＝CDBD＝设AC＝x，则AB＝8x，则BC＝37x，CD＝73x在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋73解得x＝34，即AC＝34，因为S△ABC＝12AC·BC＝12×34×所以S△ABD＝89S△ABC＝38．AD[对于A，B项，由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD可得，12acsin∠ABC＝12a·BDsin∠ABC2+12则2acsin∠ABC2cos∠ABC2＝a·BDsin∠ABC2＋c·BD因为sin∠ABC2≠所以2accos∠ABC2＝(a＋c)BD，cos∠ABC2＝因为BD＝3ac则cos∠ABC2＝32，即∠ABC＝对于C，D项，由题可知BE＝12(BA+BC)，所以BE2＝14(BA+BC)2＝14(BA2＋BC2因为BE＝a2所以a2+c2−ac4＝14(a2＋c整理可得cos∠ABC＝－12所以∠ABC＝2π故C错误，D正确．故选AD.]9．2[由余弦定理的推论得cos60°＝AC2+4−62×2AC，整理得AC2－2AC因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC·ADsin30°，所以AD＝23AC10．21323913AM2＝BA2＋BM2－2BA·BMcos60°，∴(23)2＝22＋BM2－2×2×BM×12∴BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4或－2(舍去)．∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中，AC2＝22＋82－2×2×8cos60°＝52，∴AC＝213.在△AMC中，cos∠MAC＝2＝23911．解：(1)因为ab+c＝sinB−sinCsinA−sinC，由正弦定理得ab+c＝b−ca−c，整理得a2－ac＝b又由余弦定理的推论得cosB＝a2+c因为B∈0，π2，所以B(2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，所以S△ABC＝12BD·csinπ6+12BD·asinπ6＝又因为S△ABC＝12acsinπ3＝34ac，所以14(a＋c由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosπ3＝(a＋c)2－3ac联立方程组14a+c=34ac，a+c2解得ac＝2或ac＝－1(舍去)，所以S△ABC＝12acsinB＝34ac＝12．解：(1)∵2csinB＝(2a－c)tanC，∴2sinCsinB＝(2sinA－sinC)·sinCcosC，sin则2sinBcosC＝2sinA－sinC＝2sin(B＋C)－sinC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)－sinC，整理得2sinCcosB＝sinC，又sinC≠0，∴cosB＝12，而B∈(0，π)，∴B＝π(2)c＝3a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋9a2－2a×3a×cosπ3＝7a2，b＝7a因为D是AC的中点，则AD＝CD＝72a在△ABD中，由余弦定理的推论得cos∠ADB＝7a在△CBD中，由余弦定理的推论得cos∠CDB＝7a∠CDB＋∠ADB＝π，cos∠CDB＋cos∠ADB＝0，∴7a24∴△ABC的周长为a＋b＋c＝a＋7a＋3a＝8＋27.13．解：(1)证明：由已知可得bsinB＝45由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinB＝asinA又sinA＞0，∴cosA＝53，sinA＝1−cos2又b＝1，∴sinB＝sinAa＝1×2∵a＞b，∴cosB＝1−sin2B∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－23∴cosC＝－sinA＝cosA