2025年高考数学一轮复习-导数构造函数13种题型-专项训练【含解析】

第7讲导数构造函数13类【原卷版】【题型一】利用xf（x）构造型【典例分析】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A． B．C． D．【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是2.已知的定义域为0,+∞，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B．2,+∞ C． D．1,+∞3.设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（）A． B． C． D．【题型二】利用f（x）/x构造型【典例分析】函数在定义域0,+∞内恒满足：①，②，其中为的导函数，则A． B． C． D．【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【题型三】利用ef（x）构造型【典例分析】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A． B． C． D．【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【题型四】用f（x）/e构造型【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A．B．C．D．【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A． B． C． D．2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A．B．C．D．3.已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是A． B． C． D．不确定【题型五】利用sinx与f（x）构造型【典例分析】已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则A． B．C． D．【变式演练】1.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（）A． B．C． D．2.已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【题型六】利用cosx与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【变式演练】1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．2.已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是A．是增函数 B．是减函数 C．有极大值 D．有极小值【题型七】复杂型：e与af（x）+bg(x)等构造型【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．【变式演练】1.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.2.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（）A． B． C． D．3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A． B．C． D．【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A． B． C． D．【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A． B． C． D．2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A． B．C． D．3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A． B． C． D．【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型【典例分析】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值【变式演练】1.．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（）A． B． C． D．2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A． B．C． D．3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【题型十】复杂型：基础型添加因式型【典例分析】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【变式演练】1.定义在0,+∞上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A． B．C． D．2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（）A． B． C． D．3.已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为A． B． C． D．【题型十一】复杂型：二次构造【典例分析】已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【变式演练】1.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型十二】综合构造【典例分析】定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A． B．C． D．3.已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【题型十三】技巧计算型构造【典例分析】定义在上的函数的导函数为，若，且，则A． B．C． D．【变式演练】1.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为A． B． C． D．2.定义在上的函数满足:是的导函数,则不等式的解集为A． B． C． D．3.已知函数在上处处可导，若，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于【课后练习】1.已知定义在上的函数的导函数为，且，则（）A．B．C．D．2.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（）A． B． C． D．3.已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．4.若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（）A． B． C． D．5.若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（）A． B．C． D．6.已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为A． B． C． D．7.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．8.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为A． B．C． D．10.设函数是偶函数的导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11.已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．12.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．13.已知定义在上的奇函数，导函数为，且当时，，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．14.设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是A． B． C． D．15.已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是__________．16.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（）A． B． C． D．17．已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（）A． B． C． D．第7讲导数构造函数13类【解析版】【题型一】利用xf（x）构造型【典例分析】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】D【详解】设，则，由已知当时，，是增函数，不等式等价于，所以，解得．点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：，，，，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性．详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即．故选C．2.已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.3.设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.【详解】依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f(x)不恒为0，所以恒成立.故选：A【题型二】利用f（x）/x构造型【典例分析】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则A． B． C． D．【答案】D【详解】令，，，∵，，∴，，∴函数在上单调递增，∴，即，，令，，，∵，，，∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当时，即，，当时，即，.【详解】构造函数,,当时，，故，在上单调递增，又为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，在单调递减.,则，;，当时，即，，所以；当时，即，，所以.综上所述，.故选：A2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】解：因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型三】利用ef（x）构造型【典例分析】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可.【详解】构造函数,计算导函数得到=，由>0,得当,>0当时,<0.所以在单调递增,在单调递减,而,所以关于对称,故,得到,故选:D.【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可．【详解】由题意：不等式可化为：，两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数，因为，，所以所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，故，解得：．故选：B．2.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，因为，所以，化简可得，即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，因为，，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】解：因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型四】用f（x）/e构造型【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A．B．C．D．【答案】D【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系．【详解】因为。所以<0，即构造函数，所以，即在R上为单调递减函数所以，化简得。同理，化简得所以选D【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由即可求解集.【详解】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A．B．C．D．【答案】D【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系．【详解】因为。所以<0，即构造函数，所以，即在R上为单调递减函数所以，化简得。同理，化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是A． B． C． D．不确定【答案】A【详解】令，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等【题型五】利用sinx与f（x）构造型【典例分析】已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则A． B．C． D．【答案】C【详解】令,则,所以在上单调递增,因此,,所以选C.【变式演练】1.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数，由在上恒有，，在上为增函数，又由，为偶函数，，，，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，，，，故B正确；，，，，故C错误；，，，，故D错误.故选：B.2.已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.【详解】令，，则当时，，所以函数是定义在上的偶函数．当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．又，，所以由，可得，即，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C．3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.【详解】令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数．当时，，由，得，∴，则在上单调递减．将化为，即，则．又是定义在上的偶函数．∴在上单调递增，且．当时，，将化为，即，则．综上，所求不等式的解集为．故选：B【题型六】利用cosx与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【变式演练】1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减，又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.2.已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是A．是增函数 B．是减函数 C．有极大值 D．有极小值【答案】A【分析】对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.解：设函数因为化简可得，即为，故，因为所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，，故恒成立；当时，，，，，故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减。所以选A.3.【题型七】复杂型：e与af（x）+bg(x)等构造型【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【变式演练】1.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】构造函数，由题知得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解.【详解】构造函数，在上，等价于，,,得，在上单增，在上单减，在上，恒成立，又，则又在上，等价于，即，则不等式的解集为故答案为：2.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.解：设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解.解：令，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式，即，所以，即，所以，又，所以，故选：D.3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为.得，，的解集为，故选B.【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型【典例分析】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值【答案】C【分析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．【详解】由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，，构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值．【变式演练】1.．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又，于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.【详解】由题意，在上的函数恒成立，若，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案.【详解】令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，又，所以，当时，，所以，又，所以，在是连续的函数，且，所以，时，，又由为奇函数，时，，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【题型十】复杂型：基础型添加因式型【典例分析】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.解：由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即在上单调递增，又，故为上的偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C．【变式演练】1.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A． B．C． D．【答案】A【详解】设，则，故函数在上递减，所以，所以，即，故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式．【详解】涉及函数定义域为，设，则，∵，∴，∴在上单调递增，不等式可化为，即，所以，，又，得，∴原不等式的解为．故选：A．3.已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】A【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集．【详解】由题意知，，则构造函数，则，所以在R是单调递减．又因为，则．所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A【题型十一】复杂型：二次构造【典例分析】已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有．原不等式可等价于，即，解得的取值范围是．故选：A．【变式演练】1.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.解：由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；当时，，即满足.综上，.故选：C.2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故，故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B．【题型十二】综合构造【典例分析】定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A，B，C，将代入条件可得，可判断选项D.【详解】由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，，所以选项A､B错误，选项C正确.把代入，可得，所以选项D错误，故选：C.【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.【详解】由可得，即，所以（其中为常数），因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数.当时，，所以，在上是增函数.故故选：C.2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令，，，所以，，，所以，函数为上的奇函数，，当时，，即，，所以，在上单调递增，由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.对于A选项，，则，即，A选项错误；对于B选项，，，即，B选项正确；对于C选项，，，即，C选项错误；对于D选项，，，即，D选项错误.故选：B.3.已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设函数，求得时，，得到当时，，得到函数的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，，函数在上单调递增，可得当时，，所以当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【题型十三】技巧计算型构造【典例分析】定义在上的函数的导函数为，若，且，则A． B．C． D．【答案】C【分析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求【详解】因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C【变式演练】1.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：由题意构造函数，借助单调性问题转化为ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0在上有解，变量分离求最值即可．详解：由是定义在上的奇函数,当时,满足.可设故为上的增函数，又∴ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0在上有解，∴a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D．2.定义在上的函数满足:是的导函数,则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集．详解：设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数，又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A．3.已知函数在上处处可导，若，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于【答案】A【解析】，即即，设，则，即函数在上单调递增，而，所以选A【课后练习】1.已知定义在上的函数的导函数为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造和，求导后判断其单调性得出和的结论代入化简即可.【详解】由题意可知，函数在上单调递减.,.构造，定义域为，则，所以在上单调递减，所以，即，故A,B错误.构造，定义域为，则，所以在上单调递增，所以，即，故B,D错误.。故选:C2.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件可以得到，在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到,进而得到结论.解：，即，因为定义在上，，令则，，则函数在上单调递增.由得，即，；同理令，，则函数在上单调递减.。由得，，即.综上，.故选：B.3.已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.【详解】由，可得，即，令，则.令，，所以在上是单调递减函数.不等式，等价于，即，，所求不等式即，由于在上是单调递减函数，所以，解得，且，即，故不等式的解集为.故选：D4.若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】变换得到，代入数据计算得到，求导得到函数单调性，计算最值得到答案.【详解】由有，可得：，故有：，得（为常数），得，由，解得：.故，∴，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.则当时，，，，由，故所求取值范围为：.故选：D.5.若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案．解：由题可知，则，令，而，则，所以在上单调递增，故，即，故，即，所以.故选：B.6.已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用导数证明函数在上为增函数，再将所求不等式转化为不等式进而得到;【详解】令，则，则在上为增函数，又，，∴所求不等式，，则，故选：A.7.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性可得到，解得即可．【详解】令，，则由，可得，故为偶函数，又当时，，即，在上为增函数．不等式化为，，由函数单调性奇偶性可知：，解得，故选：．8.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，证明其单调递减，将不等式转化为，解得答案.【详解】设，则，函数单调递减，，故，，即，即，故.故选：D.9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，求导之后由题可知其在时单调递减，再由偶函数定义证得是的定义域在上的偶函数，进而转化已知不等式，由函数的性质解不等式即可.【详解】构造函数，则，即其在时，，函数单调递减，又因为函数是的定义域在上的偶函数