高中数学 复习课（三）概率教学案 苏教版必修3

复习课(三)概率

常考点一古典概型

古典概型是学习及高考考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度属容易或中等,

处理的关键在于用枚举法找出试验的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事

件.还要注意理解事件间关系，准确判断两事件是否互斥，是否对立，合理利用概率加法

公式及对立事件概率公式.

［考点精要］

1.事件

(1)基本事件

在一次试验中可能出现的每一个可能结果.

(2)等可能事件

若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基

本事件.

(3)互斥事件

①定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件.如果事件4,42,…，4,中的任何

两个都是互斥事件，就说事件4,42,…，A”彼此互斥.

②规定：设A,8为互斥事件，若事件A,8至少有一个发生，我们把这个事件记作4

+B.

(4)对立事件

两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记作彳.

2.概率的计算公式

(1)古典概型

①特点：有限性，等可能性.

事件A包含的基本事件数

②计算公式：

P(A)=试验的基本事件总数.

(2)互斥事件的概率加法公式

①若事件4,8互斥，那么事件A+5发生的概率等于事件4,8分别发生的概率的和

即P(A+8)=P(4)+P(5).

②若事件4，A2,A”两两互斥.则

P(4+42+“・+A")=n4i)+尸(42)+”・+P(4).

(3)对立事件计算公式：P(A)=1一尸(A).

［典例］(1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，

恰有一件次品的概率为.

(2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概

率为.

(3)随机掷两枚骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为pi,点数之和大于5的

概率记为P2,点数之和为偶数的概率记为P3，则pi，P2,P3从小到大依次为.

(4)(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽

样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

①应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数为.

②将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为4,A2,A3,A4,AS,4.从这6名运动

员中随机抽取2人参加双打比赛.则编号为人和4的两名运动员中至少有1人被抽到概率

为.

［解］(1)记3件合格品为药，金，血2件次品为6,弱，则任取2件构成的基本事件空

间为。={(当,为)，但，*),(当，以)，(ai,的)，(az,*),(a?,6>),(az,6),(as,th),

(a,㈤，⑸㈤},共10个基本事件.

记“恰有1件次品”为事件则/={(a,th),(a,3,(金，6i),(a,th),(a,

6),(急，㈤},共6个基本事件.

、6

故其概率为PG4)=而=0.6.

⑵设2本数学书分别为4,B,语文书为C,则所有的排放顺序有48C,ACB,BAG,BCA,

CAB,CBA,共6种情况，其中数学书相邻的有阳7,BAC,CAB,CBA,共4种情况，故2本

,42

数学书相邻的概率P=z=W,

0o

(3)总的基本事件个数为36,向上的点数之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个,则向上的点数之和不超过5的概

105513

率9=云=/；向上的点数之和大于5的概率.=1一石=石；向上的点数之和为偶数与向

OO1ololo

1

上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率即p\<p3<pz.

(4)①应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

②从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{4,4},U,4},

{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},

{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},共15种.

编号为4和4的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{4,4},{4,4},

U,4},U,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},共9种.

o3

因此，事件4发生的概率PC4)=/=.

100

［答案］(1)0.6(2)j(3)pi<p3<p2(4)①3,1,2磴

［类题通法］

解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和

随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算

［题组训练］

1.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一

次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.

解析：利用列举法可求出基本事件总数为6种，其中符合要求的有5种，故「=/.

答案建

2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会

均等，则甲或乙被录用的概率为.

解析：所有基本事件为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，

丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，T,戊），（丙，丁，戊），共10

种，其中符合“甲与乙均未被录用”的结果只有（丙，丁，戊）.

1Q

故所求概率

答案--

口来.10

3.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他

们选择相同颜色运动服的概率为.

解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的

所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），

（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，

31

白），（蓝，蓝），共3种.故所求概率为P=§=§.

答案：I

常考点二'几何概型

几何概型是各类考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度比古典概型稍大.

［考点精要］

1.几何概型的特征

（1）无限性：即试验结果有无限多个.

（2）等可能性：即每个结果出现是等可能的.

2.几何概型的概率公式

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

04构成事件A的区域长度（面积或体积）

尸（川一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

［典例］⑴在区间［0,5］上随机选择一个数P，贝历程x2+2px+3p-2=0

有两个负根的概率为.

（2）如图，在边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有180粒落到阴

影部分，据此估计阴影部分的面积为.

(3)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△AP5的最大边是A3”发生

的概率为:，则喘=.

［解析］(1)设方程x2+2*+3〃-2=0有两个负根分别为xi,X2,

pl=4p2—4(3〃-2)20,

，+1+必=—2pv0,解得|vp〈l或p22.

lxiX2=3p-2>0,

0-S+(5-2)2

故所求概率P=-------------=y

(2)依题意，得历影=［1：*，所以1£=：：：(),解得S用彩=0.18.

3正方彩1UUU1A11UUU

(3)由已知，点尸的分界点恰好是边C。的四等分点，由勾股定理可得

AB^A^+AD\解得馈〉=看

即生=亚

VAB4.

［答案］(1)|(2)0.18(3)于

［类题通法］

(1)几何概型概率的大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只和该区域的大小有关.

(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的

区别，正确地选用几何概型的类型解题.

［题组训练］

1.(山东高考)在区间［0,2］上随机地取一个数x,则事件“-14。晟+3^1”发生的

概率为.

解析：不等式一iWlog^x+yWl可化为log^Wlog^x+Owiogjl，即9x+吴2,

解得OWxW］3,故由几何概型的概率公式得23

//UQ

答案：I3

2.(福建高考)如图，矩形A8CZ)中，点A在x轴上,

x+l,x20,

为(1,0),且点。与点却在函数Ax)=，1

—/+1,x<0

在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

fx+1,x20,

解析：因为1,5点坐标为(1,0),所以。点坐标为(1,2),。点坐

—/+1,x<0,

标为(-2,2),A点坐标为(一2,0),故矩形A8C。的面积为2X3=6,阴影部分的面积为^X3X1

答案：|

3.在体积为丫的三棱锥S-ABC的棱48上任取一点P,则三棱锥S-APC

V

的体积大于5的概率是.

解析：由题意可知詈三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高

Vs-ABC3

相同.

作PM_LAC交于点M,BN工AC文于点、N,

则PM,BN分别为△APC与XABC的高,

VS-APC_S^APCPM1

所以9

VS.AB^S^B^^BN3

PMAP

又丽=加

所以标>3，

2

故所求的概率为1(即为长度之比).

答案常

常考点三概率和统计综合应用

［考点精要］

对于给定的随机事件4由于事件A发生的频率6(A)随着试验次数的增加稳定于概率

P(A),因此各类考试常常结合统计的知识考查概率.考查形式一般以解答题为主，难度中

等.解决此类考题要注意：①正确利用数形结合的思想.②充分利用概率是频率的稳定值,

用频率估计概率.③准确地处理所给数据.

［典例］某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了40个

用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B

地区用户满意度评分的频数分布表.

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

频率

组距

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O

405060708090100满意度评分

图①

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评

分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数2814106

(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区

满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可).

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

图②

⑵根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级:

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.

[ft?]⑴如图所示.

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平

均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用

户满意度评分比较分散.

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记以表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户

的满意度等级为不满意”.由直方图得尸(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,P(CB)

的估计值为(0.005+0.02)X10=0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

［类题通法］

解决概率和统计综合题，首先要明确频率、概率、频率分布表、频率分布直方图、概

率的计算方法等基本知识，要充分利用频率估计概率及数形结合等基本思想，正确处理各

种数据.

［题组训练］

1.随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm),

获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损.

甲班乙班

2181

9•101703689

883216258

8159

(1)若已知甲班同学身高的平均数为170cm,求污损处的数据；

(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的

同学被抽中的概率.

解：(1)设被污损的数字为a,由题意知，甲班同学身高的平均数为

—158+162+163+168+168+170+17l+179+170+a+182

*=10

=170,解得a=9.

(2)设“身高176cm的同学被抽中”的事件为A,

从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有：{181,173},{181,176},

{181,178},{181,179},{179,173},(179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173},

42

共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，所以尸(A)=m=g.

2.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，

随机访问50名职工.根据这5()名职工对该部门的评分，绘

制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：

［40,50),［50,60),［80,90),［90,100］.

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在［40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2

人的评分都在［40,50)的概率.

解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022X2+0.028）X10=1,所以a=0.006.

⑵由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)X10

=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在［50,60)的有：50X0.006X10=3(人)，记为③,A2,A3;

受访职工中评分在［40,50)的有：50X0.004X10=2(人)，记为Bi,B2.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{Ai,A2},{Alt

AJ},Ai,Bi},{Ai,Bz},{A2,A3},{A2,Bi},{Aj,&},A3,Bi},{A3,82},{B\,Bi].又

因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即{51,&},故所求的概率为心.

［回扣验收特训］

［对应配套卷P105］

1.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率

是.

解析：基本事件的总数为6,满足条件的有{1,2},{2,4},2个，故尸=看=；.

答案《

2.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色

不同的概率是.

解析：基本事件总数有6个，满足条件的有3个，故尸=；.

答案：I

3.如图所示，阴影部分是一个等腰三角形ABC,其中一边过圆心O,c

现在向圆面上随机撒一粒豆子，则这粒豆子落到阴影部分的概率是

解析：向圆面上随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.设T5J

圆的半径为r,全部结果构成的区域面积是圆面积几户，阴影部分的面积

是等腰直角三角形ABC的面积/，则这粒豆子落到阴影部分的概率是壬=；.

答案一

4.在区间［0,3］上任取一点，则此点落在区间［2,3］上的概率是.

解析：设这个事件为A,所考查的区域。为一线段，Si)=3,又Si=l,/.P(A)=1.

答案:；

5.现有某类病毒记作XmY„,其中正整数"?，"Q〃W7,〃W9)可以任意选取，则m,n

都取到奇数的概率为.

解析：基本事件总数为N=7X9=63,其中m,n都为奇数的事件个数为M=4X5=

20,所以所求概率小:噂二患.

20

答案：63

6.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到

圆心的距离大于;，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于上则去打篮球；否则，在

家看书.则小波周末不在家看书的概率为.

rtxi2-nx(j)27rxi

解析：去看电影的概率P产一7rxl一/去打篮球的概率尸2=：3岸~=言

故不在家看书的概率为尸=1+*=||.

13

答案：而

7.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是.

解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),

2

(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个，其中“和为5”的结果有(1,4),(2,3),故所求概率为诬

=1

答案」

8.若«,/>€{-1,0,1,2),则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为.

解析：要使方程有实数解，则。=0或

所有可能的结果为(一1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),

(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个，

其中符合要求的有13个，

故所求概率

1O

答案.—

口米.16

9.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一

人表演节目，若选到男教师的概率为言9，则参加联欢会的教师共有人.

解析：设男教师为x人，则女教师为（x+12）人.

依题意有：

x9

2X+12=20-AX=54-

二共有教师2X54+12=120（人）.

答案：120

10.在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记pi为事件“x+yW；”的概率，P2为事件

“孙的概率，则0,P2,按从小到大排列为.

解析：如图，满足条件的X,y构成的点（X,y）在正方形QBC4内，

r

其面积为1.事件“x+y/T”对应的图形为阴影△OOE,其面积为品：

x=,故PT4；事件“孙4”对应的图形为斜线表示部分，其

O\BX

11112

面积显然大于石故P2>3，则piV3Vp2.

乙乙乙

答案：Pl〈gvp2

11.（山东高考）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数

据如下表：（单位：人）

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学4,Th,43,A4,

A5,3名女同学以，Bi,B.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且

81未被选中的概率.

解：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45—30=15（人），

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为尸=靠=/

（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件

有：

{Ai,Bi},{Ai,B2},{AltB3},{AI,Bi},{A2,B2},{A2,B3},{A3,Bt},{A3,B2},

{A3,Bi},{Ai,Bl},{A4,B2},{A4,Bi},{As,Bi},{As,B2},{As,B3},共15个.

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“Ai被选中且9未被选中”所包含的基本事件有：

{Ai,&},{Ai,&},共2个.

2

因此Ai被选中且Bt未被选中的概率为尸=运.

12.编号分别为4,A2,Au；的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如

下：

运动员编号AiA3A

A2454A7As

得分1535212825361834

运动员编号A10A12413A14415A16

A9An

得分1726253322123138

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:

区间[10,20)[20,30)[30,40]

人数

(2)从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人，

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2人得分之和大于50的概率.

ft?：(1)4,6,6.

⑵①得分在区间［20,30)内的运动员编号为Aj,A4,AS,Al0,Au,A13,从中随机抽取

2人，所有可能的抽取结果有：ph,A4},{A3,A5},{A3,AIO},{A3,An},{A3,An},{A4,

As},{At,Aio},{A4,A”},{A4,AH),{AS,A10},{A5,Au},{As,A13},{A10,An},{A10,

A13},{An,A13}共15种.

②“从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为

事件5)的所有可能结果有{4,As},{A4,A10},{A4,AH},{As,A10},{A10,Au}共5种.

所以P(B)=^=|.

13.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用x“表示编号为“5=1,2,…，

6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n12345

成绩Xn7076727072

(1)求第6位同学的成绩打，及这6位同学成绩的标准差s；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.

解：(1):•这6位同学的平均成绩为75分，

.,.1(70+76+72+70+72+X6)=75,解得x6=90.

这6位同学成绩的方差

S2=1X[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,

标准差s=7.

⑵从前5位同学中，随机地选出2位同学的选法有：(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),

(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10种,

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4种，

42

所求概率为尸

14.设式x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意xG[l,2],都有血0+

g(x升W8,则称兀T)和g(x)是"友好函数",设兀r)=ax,g(x)=§.

⑴若aG{l,4},be{-1,1,4},求於)和g(x)是“友好函数”的概率；

(2)若QG[1,4],附1,4],求/U)和g(x)是“友好函数”的概率.

解：⑴设事件A表示作)和g(x)是"友好函数"，

则(/U)+g(x)l(xW口⑵)所有的情况有：

1,1,41,1,4

LJx+0x+下4x~x>A4x+rA4x+-,

共6种且每种情况被取到的可能性相同.

又当”>0,/>>o时，依+§在(o,、^上递减，在+8)上递增；

x—；和4x—：在(0,+8)上递增，

所以对xG[l,2]可使|/(x)+g(x)l<8恒成立的有丫+=,x+34x-J,

•VV%wV

故事件A包含的基本事件有4种，

422

所以P(A)=k=],故所求概率是亍

(2)设事件B表示/(X)和g(x)是“友好函数”，

因为a是从区间[1,4]中任取的数，分是从区间[1,4]中任取的数，所以点3,加所在区域

是长为3,宽为3的矩形区域.

要使xG[l,2]时，(Ax)+g(xHW8恒成立，

需/U)+g(l)=a+6W8且<2)+g(2)=2a+^W8,

所以事件8表示的点的区域是如图所示的阴影部分.

所以四=二9+加19

3X3-24'

故所求的概率是3.

［模块综合检测］

(时间120分钟满分160分)

一'填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上)

1.从一箱产品中随机抽取一件，设事件4=｛抽到一等品｝,事件6=｛抽到二等品｝,

事件C=｛抽到三等品｝,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(O=0.1.则事件“抽到的不是一

等品”的概率为.

解析：设事件“抽到的不是一等品”为D,则A与。对立，

.,.P(O)=l-P(A)=0.35.

答案：0.35

2.甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙前面值班的

概率是.

解析：甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、

乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率

为今

答案卷

3.根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为.

Readx

IfxW50Then

y-0.5x

Else

L25+0,6X(X-50)

EndIf

Printy

0.5x,xW50,

解析：由题意知，该算法语句的功能是求分段函数y=,,、的值，

t25+0.6(x-50),x>50

所以当x=60时，输出y的值为25+0.6X(60—50)=31.

答案：31

4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是

解析：取两个数的所有情况有：(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.乘

21

积为6的有：(1,6),(2,3)共2种情况.所求事件概率为

答案心

5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为.

I互I

1+1|

护

［S^-\og25k|

/输;Hs/

施

解析：由程序框图与循环结束的条件“A>4”可知，最后输出的S=log255=T.

答案：\

6.（福惠高考）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样

的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为.

45Y

解析：设男生抽取x人，则有丽=900—400'解得x=25.

答案：25

7.（湖北高考）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,

发现消费金额（单位：万元）都在区间［0.3,0.9］内，其频率分布直方图如图所示.

（1）直方图中的。=;

（2）在这些购物者中，消费金额在区间［05,0.9］内的购物者的人数为.

解析：（1）由（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）X0.1=l,

解得a—3.

（2）区间。3,0.5］内须率为0.1X（1.5+2.5）=0.4,

故［0.5,0.9］内的频率为1-0.4=0.6.

因此，消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为0.6X10000=6000.

答案：（1）3（2）6000

8.（陕西高考）某公司10位员工的月工资（单位：元）为XI，X2,…，X1O,其均值和方差

分别为X和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值

和方差分别为.

解析：对平均数和方差的意义深入理解可巧解.因为每个数据都加上了100,故平均数

也增加100,而离散程度应保持不变.

答案：100+xs2

9.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才

所想的数字，把乙猜的数字记为儿且a,6G{1,2,3,4},若则称甲、乙“心有灵

犀”.现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为.

解析：甲、乙所猜数字的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个，其中满足|a—的基

本事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10个，故所求

概率为共=宗

loo

答案：!

10.正方形ABC。面积为S,在正方形内任取一点/W,ZVIMB面积大于或等于gs的

概率为.

解析：如图，设正方形ABC。的边长为a,则S=a2,△ABM的高为加

由题知，7力・。255=可。2,

答案：3

11.如下图是C3A篮球联赛中，甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则

平均得分高的运动员是.

6

65

44+30+100+30

解析：X甲==20.4,

63+50+80

x乙==19.3,

10

Xf>X匕.

答案：甲

12.如图，4是圆。上固定的一点，在圆上其他位置任取一点4’，连接AA，,它是一

条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为.

解析：如图，当AA'的长度等于半径长度时，ZAOA'=60°,由圆

的对称性及几何概型得尸=粤=4.\

答案：5

13.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个

班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互

不相同，则样本数据中的最大值为.

解析：设5个班级的数据分别为0VaVbVc<d<e.由平均数及方差的公式得

a+b+c+d+e(a-7>+S-7)2+(c-7>+(d-7>+(e—7)2

---------------------"7------(----、‘-'---'，/-------------------乙-------------------乙——/I-tU*>7

p+g+r+s+f=0,

d~7,e—7分别为p,q,r,s,t,则p,q,r,s,f均为整数，则

p2+q2+r1+s2+t2=20.

i$.fix)=(x—p)2+(x—q)2+(x—r)2+(x—s)2=4x2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+s2)=4x2+

2a+20—户,由(x—p)2,(x—q)2,(x-r)2,(x—s)2不能完全相同知"r)>0,则判别式/<(),

解得一4«<4,

所以一3近fW3,所以最大值为10.

答案：10

14.设集合4={1,2},8={1,2,3},分别从集合A和8中随机取一个数a和心确定平

面上的一个点P(a,b),记“点P(a,/>)落在直线x+y="上”为事件G,(2式"W5,"GN),

若事件C,,的概率最大，则n的所有可能值为.

解析：事件G,的总事件数为6.只要求出当“=2,3,4,5时的基本事件个数即可.

当n=2时，落在直线x+j=2上的点为(1,1);

当〃=3时，落在直线x+y=3上的点为(1,2),(2,1);

当〃=4时，落在直线x+y=4上的点为(1,3),(2,2);

当"=5时，落在直线x+y=5上的点为(2,3);

显然当”=3或4时，事件&,的概率最大为］

答案：3或4

二,解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记

录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组乙组

990X89

1110

（1）如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为

19的概率.

（注：方差S2=1［（X1—工产+（X2—三产+…+（X“一行沟，其中T为石，处…，X"的

平均数）

解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,

—8+8+9+1035

所以平均数为:

x=4=~4;

方差为：

s2=；X（8一舒+（8一受2+（9一聆+（10—舒叫

（2）记甲组四名同学为4,A2,A3,Ai,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;

乙组四名同学为Bi,Bi,BitBi,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分另4从甲、乙两组

中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(Ai,&),(Ai,B4),

(A2,Bi),(^2,Bi),(A2,&),(42,国),

(A3,BI),(A3,Bi),(A3,B3),(A3,B4),

(A4,Bi),(A4,&),(A4,B3),(A4,84),

用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它

41

们是：（Ai,84）,（A2,B4）,（A3,历），（4i,Bi）.故所求概率为尸（。=而=彳

16.（本小题满分14分）（广东高考）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）

的频数分布表如下：

分组（重量）[80,85)