4.1对数的概念课件高一上学期数学北师大版

第四章对数运算与对数函数§1对数的概念北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.2.掌握对数式与指数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.基础落实·必备知识一遍过知识点1

对数的概念1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以_____

为底

的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.

名师点睛“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算.a

N2.两种特殊的对数

名称定义常用对数当对数的底数a=

时,通常称之为

,并将log10N简记为

自然对数在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为lnN10常用对数

lgN思考辨析1.logaN中N满足什么条件?2.对数式log32与log23的意义一样吗?3.任何一个指数式都可以化为对数式吗?提示

N>0.因为ab=N>0,所以N>0.提示

log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,意义不一样.提示

不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)logaN是loga与N的乘积.(

)(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3.(

)(3)若3x=2,则x=log32.(

)××√2.[人教A版教材例题]把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(5)10-2=0.01.(6)e2.303=10.知识点2

对数的基本性质1.负数和零没有对数.2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga=-1.3.对数恒等式

=N.名师点睛1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对数lgN没有底数.(

)(2)只有负数没有对数.(

)××2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(

)B3.计算log20241+log20242024+eln3=

.

4解析

原式=0+1+3=4.4.[人教B版教材例题]求下列各式的值:重难探究·能力素养速提升探究点一对数式与指数式的互化【例1】

(1)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(

)A.e0=1与ln1=0D.log77=1与71=7ABD解析

C选项中,由log416=2,得42=16,故C错误,ABD均正确.(2)将下列指数式与对数式互化:①=-3;

②43=64;③e-1=;

④10-3=0.001.(2)log464=3.(4)lg

0.001=-3.规律方法

1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之间的同一种关系.式子名称意义abN指数式ab=N底数指数幂a的b次幂等于N对数式ogaN=b底数对数真数以a为底N的对数等于b2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.变式训练1将下列指数式与对数式互化:(1)2-2=;(2)102=100;(3)ea=16;(5)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).(2)log10100=2,或lg

100=2.(3)loge16=a,或ln

16=a.(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).探究点二利用对数式与指数式的关系求值【例2】

求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;(3)lne2=x;

(4)logx27=;(5)lg0.01=x.(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49.∴x=47.(3)∵ln

e2=x,∴ex=e2.∴x=2.(5)∵lg

0.01=x,∴10x=0.01=10-2.∴x=-2.规律方法

指数式ax=N(a>0,且a≠1)与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.变式训练2求下列各式中的x值:(1)log2x=;(2)log216=x;(3)logx27=3.(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33.∴x=3.探究点三利用对数的基本性质与对数恒等式求值【例3】

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;(3)=9.解

(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2.∴x=102=100.规律方法

1.在对数的运算中,常见的对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,且a≠1);(3)logaa=1(a>0,且a≠1).2.对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.变式训练3求下列各式中x的值:(1)ln(lgx)=1;(2)log2(log5x)=0;解

(1)∵ln(lg

x)=1,∴lg

x=e.∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=5.本节要点归纳1.知识清单:(1)对数的概念;(2)两种特殊对数:自然对数、常用对数;(3)指数式与对数式的互化;(4)对数的性质及对数恒等式.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.学以致用·随堂检测促达标1.将log5b=2化为指数式是(

)A.5b=2 B.b5=2 C.52=b

D.b2=5C2.已知lnx=2,则x等于(

)A.±2 B.e2 C.2e D.2eB解析

由ln

x=2,得e2=x,即x=e2.3.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(

)A.ab+bc=2ac

B.ab+bc=acAD4.已知a=l