四川省泸州市泸县第四中学高三下学期开学考试数学（文）试题

20232024学年四川省泸州市泸县四中高三（下）开学数学试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的性质，求得集合和，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数函数的性质求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.若复数满足，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先从中表示出，然后利用复数的运算法则化简计算.【详解】因为，所以，得，虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查学生的基本运算能力，属于基础题.3.已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知条件和椭圆中，，的几何意义以及，即可求出椭圆的焦距．【详解】由题意可得，，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．4.设，，则是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解不等式确定p,q所表示的范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解绝对值不等式可得：，求解指数不等式可得，据此可知是成立的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知为锐角，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，再利用计算即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.6.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系．是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含最x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间满足y＝15x﹣2x2．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克．标准差为克．则估计这批中医药的药物功效的平均值为（）A.14药物单位 B.15.5药物单位C.15药物单位 D.16药物单位【答案】C【解析】【分析】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，根据平均值和标准差列出方程，再代入平均数的计算公式，即可求解.【详解】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，因为成分甲的含量的平均值为5克，所以，标准差为克，所以，可得，又由，所以，所以这批中医药的药物功效的平均值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了统计知识的应用，其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】基本事件总数，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.【详解】由题意，基本事件总数，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数，每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为,故选：B【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.8.函数的图象在点T(0,f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数，根据导数的几何意义求得切线的方程，进而求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，函数，则，可得，所以切线方程为，令，可得切线在轴上的截距，令解得切线在轴上的截距，所以直线与坐标轴围成的三角形面积.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及三角形的面积的计算，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.已知是函数（）的两个零点，且的最小值为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象的对称轴方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点关系求出周期，根据周期求得，求出平移后的解析式，根据对称轴关系求解.【详解】设函数的最小正周期为T，由，即，解得，所以，平移个单位长度后得到的函数为，令，解得，也即.故选：D【点睛】此题考查函数图象性质，根据周期求解析式，根据平移方式求解平移后的解析式，利用整体代入的方式求函数的对称轴.10.三棱锥S﹣ABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S﹣ABC的体积为2，则球O的半径为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】作出示意图，求得的面积，并计算出三棱锥的高，利用正弦定理计算圆的直径，然后利用勾股定理求出，即可求解球的直径，得到答案.【详解】如图所示，因为，可得的面积为，设的外接圆为圆，连接，则平面，作圆的直径，连接，因为分别为的中点，则，所以平面，所以三棱锥体积为，解得，由正弦定理，可得，，设球半径为，则，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11.已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】以线段为直径的圆方程为,双曲线经过第一象限的渐近线方程为,联立方程,求得,因为,所以有,又,平方化简得,由求根公式有(负值舍去).选D.点睛:本题主要考查双曲线的离心率,计算量比较大,属于中档题.本题思路:由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方.涉及的公式有双曲线中,两点间距离公式,求根公式等.12.若存在使成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把方程转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，得到，即可求解.【详解】由题意，方程成立，转化为，则且，令，则，则，所以单调递减函数，又由，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以，解得或.故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，显然时，不满足题意，故只需满足，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.14.设等差数列前项和为，若，则_____．【答案】65【解析】【分析】由求出，再求即可.【详解】解：设的公差为，，即；.故答案为：65.【点睛】考查等差数列的性质和求前项和，基础题.15.若，满足且的最小值为，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】利用约束条件作出可行域，根据截距式计算即可.【详解】由约束条件作出可行域如图，结合图象知，点，由,得，由图可知，当直线过A时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．故答案为：．16.已知是奇函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，进而可得，按照、讨论成立情况；当时，转化条件为恒成立，令，求导求得的最大值，令即可得解.【详解】由是奇函数可得，即，所以，当时，，可知此时单调递减，所以，所以恒成立；当时，，所以等价于，令，则，令，则，，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，若要使恒成立，则恒成立，所以即；当，，单调递增，所以恒成立，满足题意；当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，若要使恒成立，则恒成立，所以即；综上所述，实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了奇函数性质的应用及导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.三、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知内接于单位圆，且，（1）求角（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）变形已知条件可得，代入可得，可得值；（2）由正弦定理可得，由余弦定理和基本不等式可得的取值范围，进而可得面积的最值．【详解】解：（1），，（2）得外接圆为单位圆，其半径由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入数据可得，，当且仅当时取等号，得面积，面积的最大值为：【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属于中档题．18.如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，.（1）求证：平面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面面，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥和四棱锥的体积，相加即为多面体的体积.【详解】（1）四边形是菱形，，又面，面，面，同理得，面，，面，且，面面，又面，平面；（2），，，，，，，在菱形中，，，，面面，取的中点，连接，，面，面，由（1）知，面面，点到面的距离为，又点到面的距离为，连接，则.【点睛】本题考查线面平行的判定，考查几何体体积的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查空间想象能力，属于常考题.19.某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城3年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元；湿地公园4年建设完成，建成后的5年每年投入见散点图．公园建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元．（1）对湿地公园，请在中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份n的回归方程；（2）从建设开始的第10年，若对物流城投入0.25亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高？请说明理由．参考数据及公式：，；当时，，，回归方程中的；回归方程斜率与截距，．【答案】（1）；（2）该年湿地公园产生的年经济净效益高，理由见解析.【解析】【分析】（1）由散点图可得应该选择模型，令，代入公式可得、，即可得投入额x与投入年份n的回归方程；（2）由题意将代入即可得物流城第10年的年经济净效益；由回归方程可预测湿地公园第10年的投入，进而可得湿地公园第10年的经济净效益；比较大小即可得解.【详解】（1）根据散点图，应该选择模型，令，则，，故所求回归方程是即；（2）由题意，物流城第10年的年经济净效益为（亿元）；湿地公园第10年的投入约为（亿元），该年的经济净效益为（亿元）；因为，所以该年湿地公园产生的年经济净效益高．【点睛】本题考查了非线性回归方程的求解与应用，考查了运算求解能力，熟练使用公式、细心计算是解题关键，属于中档题.20.已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、两点，设线段AB的中点为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线上的点到轴的距离等于，通过抛物线的定义，可得是抛物线的准线，即可求出，从而得到抛物线的方程，通过椭圆的右焦点，左焦点，由，解得，利用椭圆的定义求出，，即可求解椭圆的方程．（2）显然，，由消去，推出，由消去，推出，求出，设，，结合韦达定理求解的取值范围．【小问1详解】解：∵抛物线上的点到轴的距离等于，∴点到直线的距离等于点到焦点的距离，所以是抛物线的准线，即，解得，∴抛物线的方程为；所以椭圆的右焦点，左焦点，由得，又，解得，由椭圆的定义得，∴，又，得，∴椭圆方程为．【小问2详解】解：显然，，由，消去整理得，由题意知，即，由，消去整理得，其中，化简得，又，得，解得，设，，则，由，得，∴的取值范围是．21.已知函数（e为自然对数的底数），其中a∈R.（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导后，对分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性；（2）根据在上为增函数，可得当且时，，再利用裂项求和可证不等式.【详解】（1）因，且，所以当时，，所以在上为增函数，当时，由，得，所以，所以，所以或，所以或，所以或，由，得，解得，所以在上递减，在和上递增.（2）由（1）知，当时，在上为增函数，所以在上为增函数，所以当且时，，即，所以，所以，所以.【点睛】本题