新教材数学人教A选择性必修第一册课件3.1.1　椭圆及其标准方程

3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程学习目标1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,了解椭圆的实际背景.2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程.1.椭圆的定义

1|椭圆的定义2.椭圆定义的三个要点(1)在平面内,F1,F2是两个定点;(2)|MF1|+|MF2|=2a为定长;(3)定长2a>|F1F2|.2|椭圆的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程⑥

+

=1(a>b>0)

⑦

+

=1(a>b>0)

图形

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标⑧(-c,0),(c,0)

⑨(0,-c),(0,c)

a,b,c的关系⑩

a2=b2+c2

1.已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆.

(

✕)提示:|F1F2|=4>2,故动点的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关.(

✕)3.椭圆的两种标准方程

+

=1(a>b>0)和

+

=1(a>b>0)中,虽然焦点位置不同,但都具备a2=b2+c2.(√)4.椭圆

+

=1的焦点为(-

,0),(

,0).

(

✕)提示:在椭圆

+

=1中,a2=9,b2=4,焦点在y轴上,所以焦点为(0,-

)、(0,

).判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|椭圆标准方程的求法

1.定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出椭圆方程.2.待定系数法求椭圆的标准方程(1)求椭圆的标准方程,一般是先“定性”,即判断焦点所在的坐标轴;再“定量”,

即确定a,b的值.(2)求a,b的值,一方面可利用条件直接求出;另一方面可用待定系数法设出相应的

标准方程,再计算.如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为

+

=1(a>b>0);如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为

+

=1(a>b>0);如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可设

为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点(

,-

),且与椭圆

+

=1有相同的焦点;(2)焦点在坐标轴上,且经过A(

,-2)和B(-2

,1)两点.思路点拨(1)思路一:设

+

=1(a>b>0)

求a2,b2

得到椭圆的标准方程;思路二:设所求方程为

+

=1(λ>-9),利用待定系数法求解.(2)设mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

待定系数法求椭圆的方程.解析

(1)解法一:因为所求椭圆与椭圆

+

=1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设所求椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0).因为c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①因为点(

,-

)在椭圆上,所以

+

=1,即

+

=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.解法二:设所求椭圆方程为

+

=1(λ>-9),因为点(

,-

)在椭圆上,所以

+

=1,化简得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍).所以所求椭圆方程为

+

=1.(2)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因为A(

,-2)和B(-2

,1)两点在椭圆上,所以

即

解得

所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.

利用椭圆的定义求动点轨迹方程(1)解题步骤:

2|求曲线方程问题条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a=|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在,因此轨迹不存在(2)易错警示:

相关点法(代入法)求动点的轨迹方程(1)相关点法有些与椭圆有关的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所

求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去即可解决问题.

这种求轨迹方程的方法叫相关点法.(2)相关点法的解题步骤设M(x,y)是要求的轨迹上任一点,P(x1,y1)是已知曲线上与M相关的动点:①建立两动点M、P之间的关系:

②将上述关系式代入P点所在的曲线方程,化简就可得到M点的轨迹方程.求过点A(2,0)且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切的圆M的圆心的轨迹方程.思路点拨由两圆内切确定圆心距与半径的关系

寻找动点满足的几何条件

判定几何条件符合椭圆的定义,进而求出椭圆方程.解析

将圆B的方程化成标准形式为(x+2)2+y2=36,则圆心坐标为B(-2,0),半径为6.易知点A(2,0)在圆x2+4x+y2-32=0的内部,如图所示.设动圆圆心M的坐标为(x,y),切点为C.由于动圆与已知圆内切,所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆

圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|.因为|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6.又因为|CM|=|AM|,所以|BM|+|AM|=6.根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点,线段AB的中点(原

点)为中心的椭圆,所以圆心M的轨迹方程为

+

=1.解题模板与圆有关的轨迹问题,常由圆的几何性质得到几何条件,判断几何条件是否

满足椭圆的定义,若满足,利用椭圆的定义求轨迹方程.

焦点三角形及其解法(1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭

圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知

识求解.(2)焦点三角形的常用公式:①焦点三角形的周长C=2a+2c.②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③设P(xP,yP),焦点三角形的面积

=c|yP|=

|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan

.3|如何解决椭圆的焦点三角形问题(1)已知P为椭圆

+

=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)设P是椭圆

+

=1上一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求cos∠F1PF2的最小值.思路点拨(1)利用椭圆的定义及余弦定理解决问题.(2)将cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出来

利用基本不等式求最值.解析

(1)由已知得a=2

,b=

,所以c=

=

=3,从而|F1F2|=2c=6.在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4

,所以48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以

=

|PF1|·|PF2|·sin60°=

.(2)由题意得a=3,b=2,