人教版初中数学同步讲义七年级下册第01讲 平方根（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）

第01讲平方根课程标准学习目标①算术平方根②算术平方根的估算③平方根的概念及其性质掌握算术平方根的概念及其性质，并能够熟练的进行应用及其求值。掌握算术平方根的估算方法，能够进行大小比较。掌握平方根的概念及其性质，并能熟练的应用及其求值。知识点01算术平方根算术平方根的定义及其表示方法：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。记为。读作根号。所以就表示的算术平方根。其中叫做根号，叫做被开方数。规定0的算术平方根是。算术平方根的性质：①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。②算术平方根的双重非负性：只有才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个。所以算术平方根本身，算术平方根的被开方数也。即0，0。非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即若，则。③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即。④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。即。【即学即练1】1．求下列各数的算术平方根．（1）196（2）（3）0.04（4）102．【即学即练2】2．（1）＝，＝，＝，＝，＝，对于任意实数0，猜想＝．（2）（）2＝，（）2＝，（）2＝，（）2＝，对于任意非负数a，猜想（）2＝．【即学即练3】3．如果，则＝．知识点02估算算术平方根估算算术平方根的方法——夹逼法：具体步骤：①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）；②确定无理数的整数步骤；③按要求估算。理论依据：被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。【即学即练1】4．请你估算的大小，大致范围是（）A．1＜＜2 B．2＜＜3 C．3＜＜4 D．4＜＜5知识点03平方根的概念与性质平方根的概念：如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的，也叫做的二次方根。表示为。平方根的性质：①正数的平方根有个，分别是与，他们互为。②规定0的平方根是。所以0的平方根只有一个，就是它本身。③负数没有平方根。求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。即，则。可表示为，。【即学即练1】5．求下列各数的平方根：（1）121；（2）0.01；（3）；（4）（﹣13）2．【即学即练2】6．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（）A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3【即学即练3】7．求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．题型01求算术平方根【典例1】实数9的算术平方根是（）A．3 B．±3 C． D．﹣9【变式1】的算术平方根是（）A．±9 B．±3 C．9 D．3【变式2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【变式3】已知＝x，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣z的算术平方根．题型02求平方根【典例1】4的平方根是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．16【变式1】（﹣9）2的平方根是（）A．﹣9 B．±9 C．81 D．【变式2】的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【变式3】求下列各数的平方根：（1）49；（2）；（3）2；（4）0.36；（5）．题型03算术平方根的非负性应用【典例1】若+＝0，则x2023+y2024的值（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【变式1】已知|a﹣1|+＝0，则a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【变式2】若实数x、y满足+（y﹣3）2＝0，则等于（）A．0 B．5 C．4 D．±4【变式3】若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（）A．4 B．8 C．±4 D．±8【变式4】+|b+2|＝0，则的值是（）A．0 B．2018 C．﹣1 D．1题型04算术平方根的估算【典例1】下列整数中，与最接近的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1】的值介于下列哪两个整数之间（）A．30，35 B．35，40 C．40，45 D．45，50【变式2】若，则整数n的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2【变式3】如图，数轴上表示的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上【变式4】实数在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式5】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝．题型05利用两个平方根的关系求值【典例1】一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣5【变式1】一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（）A．49 B．25 C．16 D．7【变式2】若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，则a＝，这个正数是．【变式3】若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．题型06利用求平方根解方程【典例1】解方程：（1）16x2＝49；（2）（x﹣2）2＝64．【变式1】求下列各式中x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．【变式2】解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．1．平方根等于它本身的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±12．下列说法正确的是（）A．﹣4的平方根是±2 B．﹣4的算术平方根是﹣2 C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是03．式子表示（）A．﹣3的算术平方根 B．6的算术平方根 C．9的平方根 D．9的算术平方根4．下列各式正确的是（）A．＝±4 B．＝﹣3 C．±＝±9 D．＝25．已知m＝20212+20222，则的值为（）A．2021 B．2022 C．4043 D．40446．在下列结论中，正确的是（）A． B．x4的算术平方根是x2 C．﹣x2一定没有平方根 D．的算术平方根是7．已知，，则＝（）A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.88．一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a为（）A．0 B．﹣1 C．9 D．19．，则x+y+z的值为（）A．0 B．1 C．2 D．310．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为400cm2的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．小明的方案：能裁出一个长宽之比为3：2，面积为300cm2的长方形；小丽的方案：能裁出一个长宽之比为5：3，面积为300cm2的长方形．对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（）A．小明、小丽的方案均正确 B．小明的方案正确，小丽的方案错误 C．小明、小丽的方案均错误 D．小明的方案错误，小丽的方案正确11．的平方根是．12．已知某数的一个平方根为，则这个数的另一个平方根为．13．若单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，则的值为．14．2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为．15．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为．16．利用平方根求下列x的值：（1）x2＝9；（2）（x+2）2﹣81＝0．17．（1）已知正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a2和x的值；（2）若＝0，求3x+6的平方根．18．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．乙：花坛为正方形．（1）求长方形花坛的宽．（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．19．【观察】|﹣2|＝2，|2|＝2；（﹣3）2＝9，32＝9．【推理】（1）若|x|＝1，则x＝；（2）若y2＝16，则y＝．【应用】（3）已知|a+1|＝2，b2＝25．①求a，b的值；②若a，b同号，求a﹣b的值．20．按要求填