人教版初中数学同步讲义八年级上册第01讲 整式的乘除-幂的运算（原卷版）

第01讲整式的乘法——幂的运算课程标准学习目标①同底数幂的乘法与除法②幂的乘方与积的乘方③0指数幂与负整数指数幂掌握同底数幂的乘法和除法运算法则，熟练并加以应用。掌握幂的乘方与积的乘法的运算法则，熟练并加以应用。掌握0次幂与负整数指数幂的计算法则，熟练并加以应用。知识点01同底数幂的乘法同底数幂的概念：底数的幂叫做同底数幂。同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数，指数。即。（m、n都是正整数）推广：。（m、n...p都是正整数）底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。同底数幂的乘法的逆运算：。（m、n都是正整数）题型考点：①同底数幂的乘法计算。②利用运算法则求值。③同底数幂的逆运算。【即学即练1】1．计算（1）a2•a4（2）22×23×2（3）4×27×8（4）（﹣a）2•（﹣a）3（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3．【即学即练2】2．若2m•2n＝32，则m+n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【即学即练3】3．10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝（）A．2ab B．a+b C．a+b+2 D．100ab知识点02幂的乘方幂的乘方的运算：幂的乘方的运算法则，底数，指数。即。（m、n都是正整数）推广：。（m、n...p都是正整数）逆运算：=。（m、n都是正整数）题型考点：①幂的乘方的运算。②利用运算法则与逆运算求值。【即学即练1】4．计算：（1）（102）3；（2）﹣（a2）4；（3）（x3）5•x3；（4）[（﹣x）2]3；（5）（﹣a）2（a2）2；（6）x•x4﹣x2x3．【即学即练2】5．若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝．【即学即练3】6．若3×9m×27m＝321，则m＝．【即学即练4】7．已知：am＝2，an＝5，则a3m+2n＝．知识点03积的乘方轴对称与轴对称图形的性质：积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别，再把所得的幂。即：。（m为正整数）推广：。（m为正整数）逆运算：。（m为正整数）题型考点：①积的乘方的运算。②利用运算法则与逆运算求值。【即学即练1】8．计算：（1）（﹣5ab）3；（2）﹣（3x2y）2；（3）（﹣1ab2c3）3；（4）（﹣xmy3m）2．【即学即练2】9．如果（am•bn•b）3＝a9b15，那么m，n的值等于（）A．m＝9，n＝﹣4 B．m＝3，n＝4 C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6【即学即练3】10．若ax＝2，bx＝3，则（a2b）2x＝．【即学即练4】计算（）2017×1.52016×（﹣1）2017＝．知识点04同底数幂的除法同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数，指数。即：。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）推广：。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p）逆运算：。（a≠0，m、n为正整数）。题型考点：①同底数幂的除法运算。②运用运算法则与逆运算求值。【即学即练1】12．计算（1）a7÷a4（2）（﹣m）8÷（﹣m）3（3）（xy）7÷（xy）4（4）x2m+2÷xm+2（5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3（6）x6÷x2•x【即学即练2】13．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n等于（）A． B．6 C．21 D．20【即学即练3】14．若3n＝2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝．【即学即练4】已知：xm＝4，xn＝2，求x3m﹣4n的值为．知识点050次幂与负整数指数幂0次幂的计算：任何不等于0的数的0次幂都等于。即：。（a≠0）证明：=。∵相等的两数（都不为0）的商等于1∴1∴=1负整数指数幂的计算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的。即：。（a≠0）证明：=。写成分数的形式为计算：即：==。∴=题型考点：①0次幂的计算与负整数指数幂的计算。【即学即练1】16．计算：（1）（﹣5）﹣2；（2）（﹣3）0；（3）10﹣5；（4）（﹣0.25）﹣3．【即学即练2】17．计算：（2023﹣π）0＝．【即学即练3】18．如果（2x+4）0＝1，则x的取值范围是．【即学即练4】19．若（5﹣2x）x+1＝1，则x＝．【即学即练5】20．计算：．．题型01幂的运算【典例1】计算：（1）（﹣x）3•x2•（﹣x）4；（2）﹣（﹣a）2•（﹣a）7•（﹣a）4（3）（﹣b）4•（﹣b）2﹣（﹣b）5•（﹣b）；（4）（﹣x）7•（﹣x）2﹣（﹣x）4•x5．【典例2】计算：（1）（p﹣q）5•（q﹣p）2；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）（m、n是正整数）；（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）．【典例3】计算：（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3；（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3；（3）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4；（4）（）2023×（﹣1.25）2024．【典例4】计算：（1）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2；（2）（a﹣b）2•（b﹣a）4+（b﹣a）3•（a﹣b）3．【典例5】．已知n为正整数，且x2n＝3，求下列各式的值：（1）xn﹣3•x3（n+1）；（2）5（x3n）2﹣2（﹣x2）2n．【典例6】计算：（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）．【典例7】计算：（1）x7÷x3•x4；（2）m•m3+（﹣m2）3÷m2．题型020次幂与负整数指数幂的计算【典例1】（π﹣2023）0＝．【典例2】计算：（）0+|﹣1|＝．【典例3】若（x﹣4）0＝1成立，则x应满足的条件是．【典例4】如果（x﹣1）x+2＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是．【典例5】计算：＝．【典例6】计算：20230﹣（﹣27）×3﹣3＝．【典例7】（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝．题型03利用运算法则与逆运算求值【典例1】已知ax＝3，ay＝5，求：ax+y的值．【典例2】如果（3xmym﹣n）3＝27x12y9成立，那么整数m和n的差是多少？【典例3】（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【典例4】（1）已知am＝3，an＝2，求a3m+2n的值．（2）已知2x+3•3x+3＝62x﹣4，求x的值．【典例5】（1）若3m＝6，9n＝2，求3m﹣2n的值；（2）若x2n＝3，求（x3n）2﹣（x2）2n的值．【典例6】计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣【典例7】（﹣0.125）2013×（﹣8）2014的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8题型04利用幂的运算进行大小比较【典例1】已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【典例2】已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【典例3】比较下列各题中幂的大小：（1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系；（2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系；（3）已知，，比较P，Q的大小关系．1．下列运算正确的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x32．若3×32m×33m＝311，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．若am＝5，an＝3，则am+n的值为（）A．8 B．11 C．15 D．454．计算0.1252023×（﹣8）2022的结果是（）A．﹣0.125 B．0.125 C．8 D．﹣85．计算（﹣3a2b）2的结果正确的是（）A．﹣6a4b2 B．6a4b2 C．﹣9a4b2 D．9a4b26．若3m+2n＝5，则8m•4n＝（）A．16 B．25 C．32 D．647．已知2x＝5，2y＝10，则23x﹣2y的值为（）A． B． C． D．﹣58．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（）A．3 B．6 C．7 D．89．已知a＝2555，b＝3444，c＝6222，则a、b、c的大小关系是（请用字母表示，并用“＜”连接）．10．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，那么a、b、c之间满足的等量关系是．11．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是．12．计算：（﹣）﹣3+（﹣2023）0＝．13．（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值；（2）已知9•32x•27x＝317，求x的值．14．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：．②计算：52023×（﹣0.2）202