2024-2025学年新教材高中数学模块测评含解析苏教版选择性必修第一册

PAGE模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为()A．±eq\f(1,2)B．±2C．eq\f(1,2)D．－2D[因为eq\f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2．]2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．135°D[由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°．]3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．]4．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为()A．eq\f(5,4)B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(3,2)D．eq\f(\r(5),4)B[由题意，1－eq\f(b2,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，而双曲线的离心率e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，∴e＝eq\f(\r(5),2)．]5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝xD[因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D．]6．以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为()A．y2＝2eq\r(6)x B．y2＝4eq\r(6)xC．x2＝4eq\r(6)y D．x2＝2eq\r(6)yC[由题意，以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－eq\f(p,2)代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±eq\r(2＋\f(p2,4))，∵△MNF为正三角形，∴p＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(2＋\f(p2,4))，∵p＞0，∴p＝2eq\r(6)，∴抛物线C的方程为x2＝4eq\r(6)y．]7．若函数f(x)＝ex(sinx＋a)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，则实数a的取值范围是()A．[eq\r(2)，＋∞) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－eq\r(2)，＋∞)B[由题意得：f′(x)＝ex(sinx＋a)＋excosx＝exeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋a))．∵f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，∴f′(x)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上恒成立．又ex＞0，∴eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋a≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上恒成立．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))．∴eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋a∈(－1＋a，eq\r(2)＋a]，∴－1＋a≥0，解得a∈[1，＋∞)．故选B．]8．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，则E的离心率的取值范围是()A．(1，2) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．(2，＋∞)B[由题意得，A(a，0)，F(2a，0)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(b,a)x0))，由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0⇒eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)－3ax0＋2a2＝0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2×eq\f(c2,a2)≥0⇒9a2≥8c2⇒e2≤eq\f(9,8)⇒e≤eq\f(3\r(2),4)，又因为E为双曲线，则1＜e≤eq\f(3\r(2),4)，故选B．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于定点P(1，1)和圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是()A．点P在圆内部B．过点P有两条圆的切线C．过点P被圆截得的弦长最大时的直线方程为x－y＝0D．过点P被圆截得的弦长最小值为2eq\r(2)ACD[由12＋12＜4知，点(1，1)在圆内，∴A对；且过P不能作出圆的切线，∴B错；过点P的最大弦长为直径，所以方程应为y＝x，即x－y＝0，∴C对；D中，过点P且弦长最小的方程应是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，∴弦长为2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(2))))eq\s\up12(2))＝2eq\r(2)，∴D对，故应选ACD．]10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是()A．a5＝－16B．S5＝－63C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋1))是等比数列AC[因为Sn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为S1＋1＝0，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋1))不是等比数列，故D错误．故选AC．]11．定义在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是()A．函数f(x)在区间(0，4)单调递增B．函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))单调递减C．函数f(x)在x＝1处取得极大值D．函数f(x)在x＝0处取得微小值ABD[依据导函数图象可知，f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0，4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得微小值，没有极大值，所以A、B、D选项正确，C选项错误．故选ABD．]12．下列说法正确的是()A．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上随意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为－eq\f(b2,a2)B．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1焦点的弦中垂直于实轴的弦长为eq\f(2b2,a)C．抛物线y2＝2px上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若弦AB经过抛物线焦点，则x1x2＝eq\f(p2,4)D．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切ABC[对于A中，椭圆的左右顶点的分别为A(－a，0)，B(a，0)，设椭圆上除左右顶点以外的随意一点P(m，n)，则kPA·kPB＝eq\f(n,m＋a)·eq\f(n,m－a)＝eq\f(n2,m2－a2)，又因为点P(m，n)在椭圆上，可得eq\f(m2,a2)＋eq\f(n2,b2)＝1，解得n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m2,a2)))b2，所以kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，所以A项是正确的；对于B中，设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右焦点F(c，0)，则AB＝2beq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\f(2b2,a)，故B正确．对于C中，当AB斜率不存在时，xA＝xB＝eq\f(p,2)，∴有x1x2＝eq\f(p2,4)；当AB斜率存在时，可设AB方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))．代入y2＝2px得k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝2px，即k2x2－k2px－2px＋eq\f(k2p2,4)＝0，所以x1x2＝eq\f(p2,4)，故C正确；对于D中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满意只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，该直线和圆锥曲线相切是错误，即D项是不正确的．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．25[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25．]14．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则|AB|＋r＝________．2＋2eq\r(3)[如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝eq\f(|3×0－4×0＋5|,5)＝1，∴r＝2|OD|＝2，|AB|＝2eq\r(r2－OD2)＝2eq\r(3)．∴|AB|＋r＝2eq\r(3)＋2．]15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，则a2＝________，Sn＝________．(本题第一空2分，其次空3分)eq\f(2,3)eq\f(1,1－2n)[Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，令n＝1，则a2＝2a1(a1＋a2)，∴a2＝－2(－1＋a2)，解得a2＝eq\f(2,3)．又Sn＋1－Sn＝2SnSn＋1，整理得eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝2(常数)，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－2(常数)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝－1为首项，－2为公差的等差数列．所以eq\f(1,Sn)＝－1－2(n－1)＝1－2n，故Sn＝eq\f(1,1－2n)．]16．设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)＞f(x)(x∈R)，f(2)＝e2(e为自然对数的底数)，则不等式f(x)＜ex的解集为________．(－∞，2)[构造f(x)＝eq\f(f(x),ex)∴F′(x)＝eq\f(f′(x)ex－exf(x),e2x)＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)．由于f′(x)＞f(x)，故F′(x)＞0，即f(x)在R上单调递增．又f(2)＝e2，故f(2)＝eq\f(f(2),e2)＝1，f(x)＜ex，即f(x)＝eq\f(f(x),ex)＜1＝f(2)，即x＜2．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程．[解]线段AB的中点为(1，3)，kAB＝eq\f(2－4,3－(－1))＝－eq\f(1,2)，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，))得(0，1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为eq\r((0＋1)2＋(1－4)2)＝eq\r(10)，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．18．(本小题满分12分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4．(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn．[解](1)设q(q>0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2．所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n．(2)Sn＝eq\f(2(1－2n),1－2)＋n×1＋eq\f(n(n－1),2)×2＝2n＋1＋n2－2．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋x2．(1)求h(x)＝f(x)－3x的极值；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．[解](1)由已知可得h(x)＝f(x)－3x＝lnx＋x2－3x，h′(x)＝eq\f(2x2－3x＋1,x)(x＞0)，令h′(x)＝eq\f(2x2－3x＋1,x)＝0，可得x＝eq\f(1,2)或x＝1，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)时，h′(x)＞0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，h′(x)＜0，∴h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，(1，＋∞)上为增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为减函数，则h(x)微小值＝h(1)＝－2，h(x)极大值＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(5,4)－ln2．(2)g(x)＝f(x)－ax＝lnx＋x2－ax，g′(x)＝eq\f(1,x)＋2x－a(x＞0)，由题意可知g′(x)≥0(x＞0)恒成立，即a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))min，∵x＞0时，2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))min＝2eq\r(2)，∴a≤2eq\r(2)，即实数a的取值范围为(－∞，2eq\r(2)]．20．(本小题满分12分)已知在正项数列{an}中，a1＝1，点(eq\r(an)，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝eq\f(－1,an＋1log2bn＋1)，求{cn}的前n项和Tn．[解](1)∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(an)，an＋1))(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列．∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n．∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(1,2)，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1．∴数列{bn}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，∴bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)．(2)log2bn＋1＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝－n，∴cn＝eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx＋eq\f(1,2)x2－(1＋a)x，a∈R．(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)探讨函数f(x)的单调性；(3)若对随意的x∈(e，＋∞)都有f(x)＞0成立，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－2x，x＞0，f′(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)，f′(1)＝0，f(1)＝－eq\f(3,2)，所以所求切线方程为y＝－eq\f(3,2)．(2)f′(x)＝eq\f(x2－(a＋1)x＋a,x)＝eq\f((x－1)(x－a),x)．当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)递增；当a≤0时，f(x)在(0，1)递减，(1，＋∞)递增；当0＜a＜1时，f(x)在(0，a)递增，(a，1)递减，(1，＋∞)递增；当a＞1时，f(x)在(0，1)递增，(1，a)递减，(a，＋∞)递增．(3)由f(x)＞0得(x－lnx)a＜eq\f(1,2)x2－x．留意到y＝x－lnx，y′＝eq\f(x－1,x)，于是y＝x－lnx在(0，1)递减，(1，＋∞)递增，最小值为1，所以∀x∈(e，＋∞)，x－lnx＞0．于是只要考虑∀x∈(e，＋∞)，a＜eq\f(\f(1,2)x2－x,x－lnx)．设g(x)＝eq\f(\f(1,2)x2－x,x－lnx)，g′(x)＝eq\f(\f(1,2)(x－1)(x＋2－2lnx),(x－lnx)2)，留意到h(x)＝x＋2－2lnx，h′(x)＝eq\f(x－2,x)，于是h(x)＝x＋2－2lnx在(e，＋∞)递增，h(x)＞h(e)＝e＞0，所以g(x)在(e，＋∞)递增，于是a≤g(e)＝eq\f(e2－2e,2(e－1))．22．(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点A(2，1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．[解](1)由题设得eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，解得a2＝6，b2＝3．所以C的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x