（初中教案）九年级春季班第19讲：代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版-张于

（初中教案）九年级春季班第19讲：代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版-张于（初中教案）九年级春季班第19讲：代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版-张于/（初中教案）九年级春季班第19讲：代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版-张于代数计算及通过代数计算进行说代数计算及通过代数计算进行说理问题内容分析内容分析(1)压轴题中的代数计算题,主要是以二次函数为背景的代几综合题;(2)常用的方法是通过待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标;(3)这类题目中,代数计算的运用主要是利用图形之间(主要是线段之间)的数量关系建立方程,然后求解．例题解析例题解析已知在平面直角坐标系xoy(如图)中,抛物线与x轴交于点A(,0)与点C(3,0),与y轴交于点B,点P为OB上一点,过点B作射线AP的垂线,垂足为点D,射线BD交x轴于点E．(1)求该抛物线解析式;(2)联结BC,当P点坐标为(0,)时,求的面积;(3)当点D落在抛物线的对称轴上时,求点P的坐标．【解析】(1)∵抛物线交轴于点A(,0)与点C(3,0),xOyACBEPxOyACBEPD∴该抛物线的解析式：;(2)由得点B(0,3),∵AD⊥CD,∴∠DBP+∠BPD=90°,∵∠POA=90°,∴∠OAP+∠APO=90°,∵∠BPD=∠APO,∴∠DBP=∠OAP,∵∠AOP=∠BOE=90°,∴∽;∴;∵OA=1,PO=,BO=3,∴,∴OE=2; ∵OC=3,∴EC=1,∴．(3)设点P(0,y),则OP=,BP=,AP=;∵点D在抛物线的对称轴上,过点D作DH⊥x轴,垂足为点H,∴AH=2,∴AO=OH,∴PD=AP=,∵∠BPD=∠APO,∠AOP=∠BDP=90°,∴∽;∴,∴,解得：,．经检验：,都是原方程的根,∴(0,1),(0,)．【总结】本题是一道有关二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式及相似三角形性质的综合运用．

xECDABOyG如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线xECDABOyG对称轴与轴相交于点B．(1)求点B的坐标;(2)如果直线与此抛物线的对称轴交于点C,与抛物线在对称轴右侧交于点D,且∠BDC=∠ACB．求此抛物线的表达式．【解析】(1)∵抛物线与轴的交点为(0,1),点(0,)与点A(2,)是关于抛物线对称轴的对称点,∴抛物线的对称轴为直线,∴点B的坐标为(1,0)．∵抛物线经过点A(2,),∴,∴,∴抛物线对称轴为直线,∴点B的坐标为(1,0)．(2)∵直线与此抛物线的对称轴交于点C,∴点C(1,2)．设直线与轴交于点E,当y=0时,x=－1,∴点E坐标为(,0)．∴BC=BE=2,∴∠BCE=45°,过点A作AF⊥BC,垂足为F,AF=BF=1,∴∠ABF=45°,AB=．∴∠BCD=∠ABC=135°,∵∠BDC=∠ACB,∴∽．∴,,∴CD=2．过点D作DG⊥BC,垂足为G,∵∠DCG=∠BCE=45°,∴DG=CH=2．∴点D(3,4)．∵,∴抛物线为,∴,解得：,∴该抛物线的表达式为．【总结】本题是二次函数的综合题,主要考查了对称轴的确定以及相似三角形的性质和判定,确定特殊角及判定两三角形相似是解本题的关键．

如图1,已知直线y=kx＋2与x轴的正半轴交于点A(t,0),与y轴相交于点B,抛物线y=-x2＋bx＋c经过点A和点B,点C在第三象限内,且AC⊥AB,tan∠ACB=．OCBAyx(1OCBAyx(2)试用含t的代数式表示点C的坐标;(3)如果点C在这条抛物线的对称轴上,求t的值．【解析】(1)∵t=1,y=kx+2,∴A(1,0),B(0,2)．把点A(1,0),B(0,2)分别代入抛物线的表达式,得：,解得：．∴所求抛物线的表达式为;(2)作CH⊥x轴,垂足为点H,得∠AHC=∠AOB=90°(如图)．∵AC⊥AB,∴∠OAB+∠CAH=90°．又∵∠CAH+∠ACH=90°,∴∠OAB=∠ACH．∴∽,∴．∵tan∠ACB=,∴．∵OA=t,OB=2,∴CH=2t,AH=4．∴点C的坐标为;(3)∵点在抛物线的对称轴上,∴,即．把点A(t,0)、B(0,2)代入抛物线的表达式,得：-t2+bt+2=0．∴,即,解得：t=．∵点在第三象限,∴t=不符合题意,舍去．∴t=．【总结】本题主要考查了二次函数与相似三角形的结合,包含了待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,注意点的坐标与距离间的关系．

如图,反比例函数的图像经过点A(,5)和点B(,p),平行四边形ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上,二次函数的图像经过点A、C、D．OEDCBAOEDCBAy(2)求点C、D的坐标;(3)如果点E在第四象限内的二次函数的图像上,且∠DCE=∠BDO,求点E的坐标．【解析】(1)设反比例函数的解析式为：,∵反比例函数的图像经过点A和点B,∴,∴．∴反比例函数的解析式为：,∴,∴点B的坐标为．设直线AB的表达式为：．则,解得：,∴直线AB的表达式为：;(2)∵四边形是平行四边形,∴．设CD的表达式为：,∴,．∵,∴,解得：．∴点C、D的坐标分别为、;

GFOEDCBAGFOEDCBAyx分别代入A和D,得：,解得：．∴二次函数的解析式为：．作轴,轴,垂足分别为、．∵,,∴．∴．∵,∴．∴．设,则,．∴点E的坐标为．∴,解得：(舍去),．∴点E的坐标为．【总结】本题综合性较强,难度较大,考查了待定系数法求函数解析式,直角三角形判定及性质、平行四边形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质及锐角三角比的综合运用,解题时注意方程思想与数形结合思想的应用．

随堂检测随堂检测如图,在平面直角坐标系中,A、B是x轴正半轴上的两个点,且OA=AB,过点A、B分别作x轴的垂线,分别交抛物线y=x2于点C和点D,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H．ABCDOMHxABCDOMHxy(2)求证：．【解析】(1)设．∵OA=AB,∴． ∵轴,轴,且点C和点D在抛物线上, ∴,． 设直线OC解析式为：,代入,得直线OC解析式为：． ∵直线OC交BD于点M,∴． ∴, , ∴与四边形ABMC的面积比为2：3;(2)设直线CD的解析式为：． 分别代入,,得：,解得：． ∴直线CD的解析式为：． ∵直线CD交y轴于点H,∴． ∵,, ∴．【总结】本题相对比较基础,主要考查点的坐标与函数解析式的关系,注意认真分析．

如果一条抛物线y=ax2＋bx＋c()与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为"抛物线三角形”．(1)"抛物线三角形”一定是_______三角形;(2)若抛物线()的"抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;(3)如图,是抛物线()的"抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;xyxyABCDOE【解析】(1)等腰．(2)∵抛物线的解析式为, ∴该抛物线的顶点坐标为． ∵该抛物线的"抛物线三角形”是等腰直角三角形, ∴,∴;(3)存在．如图,作与关于原点O中心对称,则四边形ABCD为平行四边形．当时,平行四边形ABCD是矩形． 又∵,∴为等边三角形, ∴． 作AE⊥OB,垂足为E． ∴,∴,解得：． ∴,,∴,． 设过O、C、D三点的抛物线解析式为：, 则, 解得：． ∴过O、C、D三点的抛物线解析式为：．【总结】本题主要考查对新概念的理解和运用,主要是理解"抛物线三角形”的概念．

课后作业课后作业如图,已知二次函数L1：y=x2－4x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C．(1)写出A、B两点的坐标;(2)二次函数L2：y=kx2－4kx＋3k(),顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图像的两条相同的性质;②是否存在实数k,使为等边三角形?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由;OABCxy③若直线y=8k与抛物线交于EOABCxy请求出EF的长度;如果会,请说明理由．【解析】(1),;(2)①L2与L1有关图像的两条相同的性质为：(Ⅰ)对称轴都为直线;(Ⅱ)都经过,两点．②存在实数k,使为等边三角形． ∵P为二次函数L2：y=kx2－4kx＋3k()的顶点, ∴． ∵,,∴． 要使为等边三角形,必满足, ∴． ③线段EF的长度不会发生变化． ∵直线y=8k与抛物线交于E、F两点, ∴． ∵,∴． ∴,． ∴． 即线段EF的长度不会发生变化．【总结】本题主要考查二次函数的图像与性质的综合运用,第(2)问注意利用等边三角形的相关性质,第(3)小问实质上是将线段长度转化为求交点坐标的问题．

在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2＋4ax＋c经过A(0,4)、B(,1)两点,顶点为C．(1)求该抛物线的解析式及顶点C的坐标;(2)将(1)中求得的抛物线沿y轴向上平移m()个单位,所得新抛物线与y轴的交点记为点D．当是等腰三角形时,求点D的坐标;(3)若点P在(1)中求得的抛物线的对称轴上,联结PO,将线段PO绕点P逆时针旋转90°得到线段PO′,若点O′恰好在(1)中求得的抛物线上,求点P的坐标．【解析】(1)将A(0,4)、B(－3,1)两点坐标分别代入抛物线解析式,得：, 解得：,∴抛物线解析式为：,顶点坐标为;(2)由题意,得：． 在