北京师范大学附中版高考数学二轮复习 导数及其应用专题能力提升训练

北京师范大学附中版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为()A．3 B． C．2 D．【答案】C2．曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则点的坐标为()A． B． C． D．【答案】A3．函数的单调递减区间是()A． B． C． D．【答案】D4．已知，满足，则函数的图象在点处的切线方程为()A． B．C． D．【答案】A5．，则等于()A． B． C． D．【答案】C6．设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横坐标的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A7．已知函数，则的导函数()A． B．C． D．【答案】A8．设函数，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，则导数的取值范围是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2]D．[eq\r(2)，2]【答案】D9．已知函数y=3x-x2在x=2处的增量为x=0.1,则y为()A．-0.11 B．1.1 C．3.80 D．0.29【答案】A10．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A． B． C． D．【答案】A11．曲线在点处的切线的斜率为()A． B． C． D．【答案】B12．已知，，则的取值范围为()A． B．C． D．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数的单调递增区间是【答案】14．若展开式中的系数是，则．【答案】15．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为____________。【答案】16．函数的导数，【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．(1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式

（，正整数），证明：．(2）对于正整数，求证：(i）；

(ii）；

(iii）．【答案】（1）在等式两边对求导得

移项得

（*）(2）（i）在（*）式中，令，整理得

所以

(ii）由（1）知两边对求导，得在上式中，令

即，亦即

（1）

又由（i）知

（2）由（1）+（2）得(iii）将等式两边在上对积分

由微积分基本定理，得

所以

18．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－a(a∈R)．(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；(2)求证：当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．【答案】(1)当a＝－3时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋3，∴f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x<－1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当－1<x<3时，f′(x)<0，则f(x)在(－1,3)上单调递减；当x>3时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上单调递增．∴当x＝－1时，f(x)取得极大值为f(－1)＝－eq\f(1,3)－1＋3＋3＝eq\f(14,3)；当x＝3时，f(x)取得极小值为f(3)＝eq\f(1,3)×27－9－9＋3＝－6.(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，∴Δ＝4－4a＝4(1－a)．由a≥1，则Δ≤0，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增．∵f(0)＝－a<0，f(3)＝2a>0，∴当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．19．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像在点P(1，f(1))处的切线为3x＋y－3＝0．(I）求函数f(x)的解析式及单调区间；(II）求函数在区间[0，t](t>0)上的最值．【答案】(1)由P点在切线上得f(1)＝0，即点P(1,0)，又P(1,0)在y＝f(x)上，得a＋b＝－1，又f′(1)＝－3⇒2a＝－6，所以a＝－3，b＝2.故f(x)＝x3－3x2＋2.f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)>0，解得x>2或x<0，∴f(x)的增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间是(0,2)．(2)当0<t≤2时，f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t≤3时，f(x)max＝f(0)＝f(3)＝2，f(x)min＝f(2)＝－2，当t>3时，f(x)max＝f(t)＝t3－3t2＋2，f(x)min＝f(2)＝－2.20．某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为元（其中为常数，且），设该工厂每件玩具的出厂价为元（），根据市场调查，日销售量与（为自然对数的底数）成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件.(Ⅰ）求该工厂的日利润(元)与每件玩具的出厂价元的函数关系式；(Ⅱ）当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值.【答案】（Ⅰ）设日销量为则.则日售量为日利润. ，其中.(Ⅱ）令得.①当时，.当时，.当时，取最大值，最大值为.②当时，，函数在上单调递增，在上单减.当时，取最大值.当时，时，日利润最大值为元当时，时，日利润最大值为元.21．已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.(1）求f(x)的单调区间；(2）证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.【答案】(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).当a＞0时，f′(x)＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(\f(a,6))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\r(\f(a,6))))，此时函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(a,6))))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,6))，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(\f(a,6))，\r(\f(a,6))))．(2)由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))，于是所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝1－eq\f(4\r(3),9)＞0.所以