2024年内蒙古包头中考数学试卷试题解读及答案解析

年中考数学真题完全解读（内蒙古包头卷）试卷内容与结构：本次试卷从题目数量与题型上看，相比去年本着在不变中的变化，依然是10（选择）+6（填空）+7（解答）的试卷结构，从试卷内容上看，本次试题在保持相对稳定的基础上，适当调整了命题方向，降低了命题的难度。试题体现了数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度方面的表现，对初中数学学习中的核心知识进行了重点全面的考查。试题难度与区分度：试卷难易程度比去年有所降低，选择题和填空题相对简单，解答题相较去年略有变化，考察的知识面更广，集中度也提别集中于几何的相似部分，试卷也更加具有区分度，用后面最后三道解答题拉开差距，更加有利于选拨性考试。试卷命题质量：1、本次试题注重基础，同时也考查学生的思维能力。其中有知识考点的变化，这也提醒了老师们在教学过程中，要注重数学试题的多元性，不能单就重点知识花费大量时间机械化地刷题训练。2、从命题要求看注重基础扎实和计算，在中等难度以上的题目需要考查知识的交汇，大大提高了试卷的区分度。3、更加注重数学在生活应用部分，注重运用数学解决生活中的实际问题：在5，18，19和20题适当生活情景，将数学知识运用到社会生产与生活中，体现了数学在实际生活的应用。4、难易程度合理：注重考察学生思维，强调重视基础的命题理念，在选择题和填空题考察了大部分都是基础类型，解答题后面三道重点考察几何和函数的交汇，使得题目更加有区分度，不同能力的学生拿到不同的分数。解答题20题，降低了难度，体验一次函数求关系式，对书写规范过程提出了说明理由的要求。解答题21题延续了去年的多种解题思路，培养学生发散思维，难度继续降低。解答题22-23题，不再按之前的考点出题，提高交汇知识的考查，不再单一固定考查某个知识点，而是重视学生思维的灵活程度，大大提高了试卷的命题质量。备考建议：1、在后续备考过程中，一定要回归课本，回归基础，多注重对概念，性质，关系，规律变换与关联的理解。2、多注意结合生活实际，将数学知识与生活实践相结合。3、不要盲目刷题，尤其是“点对点”的专一刷题，要更加注重知识点的深度与宽度，适当的练习更多的题目类型，多思考题目之间的相同点与不同点。4、内蒙古包头数学非常注重基础和计算，计算能力是数学的基石，所以一定要有一个非常好的计算功底，是解决难题的基础。5、根据今年的命题特点，后面备考过程中注重知识交汇的训练，特别是几何综合与函数交汇的压轴类型有一定的变化，降低了难度，增加哦了灵活性。1、选择题、填空题、解答题的数量本年相较于去年没有发生变化；2、在选填的压轴类型均为知识的交汇，但是难度比去年降低了很多，填空并增加了开放题的类型，难度不大，打好基础就可以。填空题15题反比例函数类型主要考察几何意义的考题，降低了难度，考察了反比例函数的增减性，也是比较大的变化。3、解答题19题是一次新变化，解直角三角形类型更贴近于生活，增强了学生从理论向实践设计操作的能力训练。4、解答题型22题，几何综合题型不断创新，降低难度增加灵活度。解答题二次函数与几何综合逐步从形到量的转折。综合题型对相似的综合运用考频在提高，体现了得相似者得高分，在备考过程中需要特别重视。5、一元二次方程根与系数的考题，而是变为几何综合和函数交汇压轴题，考点有所改变，在备考过程中需要特别重视。题号分值题型考查内容考查点13选择题二次根式运用二次根式的性质化简；23选择题倒数的定义倒数的定义，代入及解一元一次方程；33选择题三视图三视图；43选择题平行的性质根据平行线的性质求角的度数；53选择题生活中的概率问题根据概率公式计算概率；63选择题二次函数的平移二次函数的平移以及顶点式73选择题实数与数轴，解不等式组实数与数轴，求不等式组的解83选择题弧长公式，等边三角形，线段垂直平分线弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质93选择题坐标与图形坐标的解读，平面直角坐标系中图形面积的求法；103选择题矩形，相似，三角函数本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值；113填空题多边形多边形的内角和计算公式求多边形的边数；123填空题不等式组在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集；133填空题一次函数的性质一次函数的性质；143填空题等腰三角形，切线，圆内接四边形切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质；153填空题反比例函数，负整数指数幂反比例函数的性质，负整数指数幂163填空题菱形，等边三角形，勾股定理菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理178解答题整式的运算，二次根式的运算，解分式方程整式的运算，二次根式的运算，解分式方程188解答题统计频率分布表，中位数，平均数的意义198解答题解直角三角形应用利用测角仪设计方案，并利用三角函数解直角三角形2011解答题一次函数实际应用一次函数求关系式，解不等式；2112解答题圆的综合垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；2212解答题几何综合平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线，构造全等三角形；2313解答题函数与几何交汇二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似；1、减少死记硬背和‘机械刷题’现象”，扩大试题的开放性与灵活度，进一步降低死记硬背和“机械刷题”的得分收益。改变部分题目的顺序与题型，减少答题的“偶然性”、“技巧性”的得分收益，使得题目更具有区分性。2、回归数学探究本身，深入理解中考数学每个考点，切实练好数学基本功。要注重落实基础，练好基本功，考生一定要回归教材，回归课堂。3、注重数学应用于生活实践，19题解直角三角形题型的设计变化，指导了数学生活化、实践化的理念，在课堂教学中把教学活动真正的实践化，让学生走出教室，解决实际问题，掌握原理，培养学生运用数学解决问题，并能准确表达的能力。包括20题一次函数的应用的变化，重点强调了表达理由，扩大了差异性，必须强调原理的重要性。4、重点、难点题型交汇于相似题三角形，10题，21、22题、23题，都运用了相似三角形。在相似三角形这一内容的要做反复模型化练习，并进行综合应用强化，在复习平行四边形、圆、一次函数、二次函数与相似三角形要做综合详细复习。5、考试题目的综合性，灵活性逐年加强，强调知识的融会贯通，学以致用。考生在学习的过程中，一方面要注意梳理知识点，注意各知识点之间的关联性，另一方面通过一定的练习，加深对知识的理解，能够理解万变不离其宗的“宗”。2024年内蒙古包头数学试题1.计算所得结果是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．【详解】解：；故选C．【点睛】本题主要考查有理数计算和认识算术平方根，掌握“平方数计算并做差，开算数平方根，或者运用平方差公式简便运算开算数平方根，“区分平方根和算术平方根”是解题的关键.2.若互为倒数，且满足，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值．【详解】解：∵互为倒数，∴，∵，∴，则，故选：B．【点睛】本题主要考查有理数互为倒数的性质，以及代入思想，解一元一次方程。掌握“互为倒数积为1，并代入解方程，掌握“互为倒数积为1”是解题的关键.3.如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（）A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可．【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，∴面积为；故选A．【点睛】本题主要考查读题，审清楚题意。理解圆柱体的主视图是长方形，长为直径，宽为CD的长。掌握“圆柱体的主视图是长方形，并分析出长方形的长和宽的长度”是解题的关键.4.如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．详解】解∶∵，∴，∵，∴，又，∴图中与互补的角有，，，共3个．故选∶C．【点睛】本题主要考查平行线被一条直线所截，认识邻补角、对顶角及其性质，并能利用平行线性质出同位角相等或者内错角相等，找到互补角的个数。分析出“邻补角，对顶角，平行线性质”是解题的关键.5.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可．【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，画树状图如下：一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是，故选：D．【点睛】本题主要考查率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，再根据概率公式求解即可．6.将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．【点睛】本题主要考查率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，再根据概率公式求解即可．7.若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选B．【点睛】本题主要考查实数与数轴，列不等式组，并能解不等式组即可．8.如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接，，，，是等腰三角形，，，是等边三角形，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了弧长公式，利用等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质或者等腰三角形的判定得出，从而确定是关键，并能运用弧长公式计算弧长。9.如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（）A.14 B.11 C.10 D.9【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可．【详解】解∶过A作于M，过B作于N，∵，，，，∴，，，，∴，，∴四边形的面积为，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，化不规则在四边形为规则图形和差，掌握化为两个直角三角形和一个梯形面积之和是关键，并能求三角形面积，梯形面积，并进行准确计算。10.如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．【详解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴过点作，则：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；【点睛】故选A．本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值。构造平行线相似模型，是解题的关键，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11.计算：______．【答案】3【解析】【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可．【详解】解：原式；故答案为：3．12.已知一个n边形的内角和是，则________．【答案】7【解析】【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：713.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可．【详解】解：设一次函数解析式为，∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴，∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．14.如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______．【答案】或者105度【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解∶连接，∵，，∴，，∵是切线，∴，即，∵，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故答案：．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，揭示了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，并感受圆心角度数与弧度的关系。15.若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______．【答案】或者【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，时，，，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，运用增减性得出最值，进行负整数指数幂运算。16.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解∶过D作于H，∵菱形中，，，∴，，∴，都是等边三角形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造过D作于H，判断等边三角形，得出60度，利用含的直角三角形的性质可得出AE长，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17.（1）先化简，再求值：，其中．（2）解方程：．【答案】（1），7；（2）【解析】【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：（1），当时，原式；（2）去分母，得，解得，把代入，∴是原方程的解．18.《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：a．本校测试成绩频数（人数）分布表：等级优秀良好及格不及格频数（人数）40706030b．本校测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率222.5228c．本校所在区县测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率218.7223请根据所给信息，解答下列问题：（1）求出的值；（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．【答案】（1）（2）乙同学的测试成绩是（3）见解析【解析】【分析】本题考查的是频率分布表，中位数，平均数的意义．读懂统计图，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）先根据本校测试成绩频数（人数）分布表求出本次测试的总人数，利用优秀率成绩为优秀的人数除以总人数即可求解；（2）根据第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，即可求解；（3）根据优秀率和平均数的意义说明即可．【小问1详解】解：本次测试的总人数为：（人），成绩为优秀的人数为：40人，则优秀率为：；【小问2详解】解：第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，则，答：乙同学的测试成绩是；【小问3详解】解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为，，从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平；建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．19.如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．（1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明；（2）根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为即可；（2）过C作于E，分别在和中，利用正切的定义求出、，即可求解．【小问1详解】解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为；【小问2详解】解：如图，过C作于E，则四边形是矩形，，，∴，，在中，，在中，，∴，答：教学楼的高度为．20.图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：个123468.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？【答案】（1）（2）10个【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答；（2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可．【小问1详解】解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，∴，检验∶当时，；当时，；当时，；当时，；∴；【小问2详解】解：根据题意，得，解得，∴碗的数量最多为10个．21.如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．（1）如图1，若，，求的半径；（2）如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）【答案】（1）3（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；法二：连接，证明，得出，然后利用平行线判定即可得证【小问1详解】解∶∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，解得，即的半径为3；【小问2详解】证明：法一：过O作于F，∴，∵∴，又，，∴，∴，∴；法二：连接，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．22.如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．

（1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．①求证：是的中点；②求；（2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②（2），理由见解析【解析】【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，