2.9函数与数学模型

2.9函数与数学模型课标要求精细考点素养达成1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用用函数图象刻画变化过程通过用函数图象刻画变化过程,培养直观想象的素养指数函数与对数函数模型通过已知函数模型的实际应用,培养逻辑推理和数学运算的素养二次函数模型其他常见函数模型通过构建函数模型解决实际问题,培养数学建模、逻辑推理和数学运算的素养1.(概念辨析)(多选)下列结论不正确的有().A.某种商品进价为每件100元,按进价加价10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利B.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大C.不存在x0,使ax0<x0n<D.在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度2.(对接教材)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,见下表:x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是().A.y=2x B.y=x21C.y=2x2 D.y=log2x3.(对接教材)为了鼓励大家节约用水,自2024年以后,某市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示:分档户年用水量/m3综合用水单价/(元·m3)第一阶段0~220(含)3.45第二阶段220~300(含)4.83第三阶段300以上5.83记户年用水量为xm3时应缴纳的水费为f(x)元.则f(x)的解析式为;若居住在该市的张明一家今年共用水260m3,则张明一家今年应缴纳水费元.

4.(易错自纠)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售额x为8万元时,奖励1万元;当销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.

5.(真题演练)(2022·北京卷)下图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.则下列结论中正确的是().A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态指数函数与对数函数模型典例1候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,此种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,此种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?氧量至少要270个单位.1.与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.2.在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般需要先通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.训练1果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度.已知某种水果失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(天)满足的函数关系式为h=m·at.若采摘后10天,这种水果降低的新鲜度为10%,采摘后20天,这种水果降低的新鲜度为20%,那么采摘下来的这种水果在多长时间后降低50%的新鲜度(已知lg2≈0.3,结果取整数)().A.23天 B.33天 C.43天 D.50天二次函数模型典例2如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解.解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题.训练2某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段.已知跳水板AB的长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m.为了保证安全和空中姿态优美的需要,训练时跳水曲线应在离起跳点A处hm(h≥1)(水平距离)时达到距水面的最大高度为4m.规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立平面直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.其他常见函数模型典例3某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.1.“y=x+ax”型函数模型在实际问题中会经常出现.解决此类问题,关键是利用已知条件,建立函数模型,然后化简整理函数解析式,必要时通过配凑得到“y=x+ax2.应用分段函数模型的关键点:(1)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏.(2)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大(最小)者.训练3“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明,“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x≤4时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数;当x>20时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?求出最大值.函数拟合问题数学建模是高考中的热点,主要考查数学建模能力及分析、解决问题的能力.数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,用数学方法构建模型解决问题.典例某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量成倍增加,此时的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,此时的函数模型是对数函数模型.训练水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入我国.现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.水葫芦的覆盖面积y(单位:m2)与经过的时间x(单位:月,x∈N)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)①试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;②求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1000倍.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)一、单选题1.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据:lg2≈0.3010)()A.3 B.4 C.5 D.62.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园过冬的白鹤数量y(单位:只)与时间x(单位:年)近似地满足关系y=alog3(x+2),观察发现2020年(作为第1年)到该湿地公园过冬的白鹤数量为3000只,估计到2026年到该湿地公园过冬的白鹤的数量为().A.4000 B.5000 C.6000 D.70003.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是().A.y=100x B.y=50x250x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+1004.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米,按每立方米3元收费;用水超过10立方米,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月的水费为55元,则该职工这个月实际用水为().A.13立方米 B.14立方米C.15立方米 D.16立方米多选题几名大学生创业,经过调研,他们选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时,p(x)=15x2+6xy=p(A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率B.要再投入6万元研发经费才能获得最大利润C.要想获得最大利润率,还需要再投入研发经费1万元D.要想获得最大利润,还需要再投入研发经费1万元6.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400t,最多为600t,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.则以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为400t时,才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20000元C.该单位每月不获利,也不亏损D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损三、填空题7.根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图见下图.车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值/(mg/100mL)饮酒驾车[20,80)醉酒驾车[80,+∞)且如图所示的函数模型为f(x)=40sinπ3x+13,0≤x<2,90e-0.5x+14,x≥2.假设此人喝一瓶啤酒后至少经过n(n∈N*)小时才可以驾车,则n的值为.(参考数据:ln15≈2.718.某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示),大棚占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2,若要使S最大,则y=.

四、解答题9.某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?10.民以食为天,食以安为先.我国食品安全工作不断取得新进展,开创新局面.为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P,种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+42a,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?11.(2023·湖南衡阳模拟)在数字通信的研究中,需要解决在恶劣环境(噪声和干扰导致极低的信噪比)下的网络信息正常传输问题.根据香农(Shannon)公式C=Wlog21+SN,式中W是信道带宽(单位:赫兹),S是信道内所传信号的平均功率(单位:瓦),N是信道内部的高斯噪声功率(单位:瓦),C(单位:bit/s)是数据传送速率的极限值,SN是信号与噪声的功率之比,为无量纲单位如SN=1000,即信号功率是噪声功率的1000倍,但是在讨论信噪比时,