圆锥曲线的定义在立体几何中的应用

圆锥曲线的定义在立体几何中的应用浙江上虞春晖中学陈根土312353在有关几何体中，探求某一平面内的点的轨迹问题，可以根据圆锥曲线的定义得到解决。此类问题不落俗套有意思。本文就在立体几何中的解析几何问题作一探讨，供同行共同分享。例1（08浙江理10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是：(A)圆(B)椭圆(C)一条直线(D)两条直线解析：这是一个具有高度空间想象能力的解析几何题，由于不少考生没有理解题意，无从着手，最后只好瞎猜，碰运气。其实，由题意可知，AB是一条斜线段，且固定不动。而P点在平面内运动，且△ABP的面积为定值，故AP的长度在变化，在平面内，当AP运动到AP⊥AB时，AP最短，为椭圆的短轴。当AP与AB在平面上的射影所在的直线重合时，AP最长，为椭圆的长轴。故动点P的轨迹是以A为中心，为短轴，为长轴的椭圆。A1BAB1AB1A1BA1BB1B1A1如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1中有A1BAB1AB1A1BA1BB1B1A1P·P·P·P·P·P·P·ABAABAD1D1C1A1EA1EB1PPDDCCABAB解法一、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，即PB为P到直线BC的距离。所以转化为动点P到直线A1B解法二、由正方体的性质知，动点P可以在A点，而不能到达B点，故排除B、D，又当P在BB1的中点时，满足题设，故排除A,应选C。例3、已知正四面体S-ABCD，点P为侧面SBC内的一个动点，且点P与定点S的距离等于点P到平面ABC的距离，那么动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是(A)、圆(B)、椭圆(C)、双曲线(D)、抛物线SSPPCACAODODBB解析：设O是P在平面ABC上的射影，则PO⊥平面ABC，在平面ABC内，过O作OD⊥BC,D为垂足，连结PD，由三垂线定理PD⊥BC。在RtΔPOD中|PO|<|PD|。由已知|PS|=|PO|，所以.由椭圆定义知，点P的轨迹是椭圆。例4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1AABB1A1DD1C1CFP(x,y)QxyyxE解析：在平面ABCD内作PF⊥AB，F为垂足，作PQ⊥AD，Q为垂足；过Q作QE//AA1。因为AA1⊥AD，所以EQ⊥AD，连结PE，则得RtΔPEQ。设P(x,y)，由已知：|PE|2+|PF|2=2。而在RtΔPEQ中，|PE|2=|EQ|2+|QP|2=1+x2，代入上式，所以，1+x2+y2=2，所以x2+y2=1。即点P的轨迹是圆，其方程为x2+y2=1。变式1、若点M在AB上，且，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到M的距离的平方差为1。则在平面直角坐标系XAY中，动点P的轨迹方程是什么？略解：设P(x,y)，同理可得P点的轨迹为抛物线，其方程为y2=x-。变式2、若点P到直线A1D1的距离等于点P到CD的距离，则动点P的轨迹方程又是什么？略解：设P(x,y)，同理可得P点的轨迹为双曲线，其方程为x2-y2+2y=0。、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为线段BB1、AB的中点，O是正方形B1BCC1(1)、求线段PQ的长度。(2)、将侧面ABB1A1无限延展开来得到平面ABB1A1，设平面ABB1A1内有一动点T，它到直线DD1(3)、在(2)的条件下，请说明以PB为直径的圆与曲线K是否有交点。如果有请求出此点的坐标；如果没有，请说明理由。解析：(1)、先作出过O、P、Q的平面，从而求得PQ的长度。连结MO交CC1于E，连结DE，得平面AMED，延长DA、CN交于Q，连结OQ交AM于P，则PQ为所求的线段。由于AN是ΔCDQ的中位线，所以AQ=AD，从而ΔOPM∽ΔQPA。所以,即P也是AM的三等分点，也是OQ的三等分点。所以，。在RtΔPMO中，，故。AAA1BCDNQPOEMB1C1D1(2)过T作TE1⊥DD1于E1，过T作TF⊥AA1于F，由AA1⊥TF，DD1⊥TE1，DD1//AA1得AA1⊥平面TE1F，故AA1⊥E1F，从而E在RtΔTE1F中TE12=TF2+E1F2=TF2+1，另一方面，TE12-TP2=1，所以TF2+1-TP2=1，从而TF=TP，故T点的轨迹是以P为焦点，AA1为准线，以过P点且垂直AA1的直线为x轴，以P点到AA1的垂线段的中点为坐标原点O’，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由于P点到AA1的距离为，即，所以K的方程为y2x。yAyAA1BCDNQPOEMB1C1D1E1FTxO’HG(3)假设抛物线与圆有交点，设交点为G，则∠PGB为