七年级数学下册讲义（北师大版）第二章第01讲 两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)（原卷版）

第01讲两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；3．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题．4．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；5．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；6．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．知识点01相交线1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O2.对顶角的概念及性质对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.3.互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点02垂线1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段.题型01对顶角的定义【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，，为对顶角的是（

）A．B． C． D．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（

）A．B．C．D．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，和是对顶角的是（

）A．

B．C．

D．

题型02利用对顶角相等求角度【例题】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，直线相交于点O，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，两直线相交于一点，若，则∠3的度数为.题型03求一个角的余角、补角【例题】（2023上·四川内江·七年级统考期末）如果，那么的余角等于；的补角为．【变式训练】1．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）若，则的余角等于，的补角等于．2．（2023·全国·七年级专题练习）的余角等于，的补角等于．题型04垂线的定义的理解与应用【例题】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（）①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【变式训练】1．（2023下·河南濮阳·七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（）

A． B． C． D．2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（

）A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段题型05利用垂线的定义求角的度数【例题】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线相交于点O，，且平分，若．

(1)求的度数；(2)写出的度数是________°．【变式训练】1．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：，射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分．(1)如图，若，求．(2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示）2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，直线与相交于点F，于点F．

(1)图中与相等的角是，与互余的角是；(2)若，求的度数．题型06作垂线与求点到直线的距离【例题】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)画线段，画直线．(2)过点画直线的垂线，垂足为．(3)点到直线的距离为线段的长度．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，、、都在格点上．

(1)过点作直线的垂线，垂足为；(2)过点作直线，垂足为，直线交于点；(3)点到直线的距离等于__________个单位长度．2．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．题型07与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题【例题】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．(1)求的度数；(2)若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．【变式训练】1．（2023下·陕西西安·七年级校联考阶段练习）如图，直线相交于点O，，垂足为O，

(1)求的度数．(2)若平分，求的度数．2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线．

(1)写出的两个补角；(2)若，求和的度数；(3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？一、单选题1．（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）下列图中，与是对顶角的是（

）A．

B．C．D．

2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，直线相交于点，平分，若，则的大小为（

）

A． B． C． D．3．（2023下·七年级单元测试）如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（

）

A．线段的长表示点C到的距离 B．线段的长表示点A到的距离C．线段的长表示点B到的距离 D．线段的长表示点C到的距离4．（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，已知直线和相交于点O，是直角，平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023下·天津·七年级校考期末）已知，直线经过点O且度，则等于（

）A． B． C．或 D．二、填空题6．（2023上·江苏泰州·七年级期末）一个角的补角是其余角的4倍，则这个角为°．7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是米．8．（2023下·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线与直线相交，交点为，，平分，若则的度数为．

9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）同一平面内两条直线相交于点，，，垂足为，则的度数是．10．（2023下·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，，垂足为点，．

（1）的度数为；（2）若平分，则的度数为，的度数为．三、解答题11．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线上一点，，平分．(1)求的度数；(2)作射线，若与互余，求的度数．12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，于点，过点作直线．

(1)已知，求的度数．(2)若，求的度数．13．（2023下·北京怀柔·七年级统考期末）如图，在射线上有一点，请选择适当的工具作图，完成以下问题：

(1)过点作射线的垂线，垂足为点；(2)在线段上任取一点（不与，重合），连接；(3)在线段，，中，线段______最短，依据是__________．14．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图