七年级数学下册讲义（北师大版）第三章第01讲 用表格表示的变量间关系(3类热点题型讲练)（解析版）

第01讲用表格表示的变量间关系(3类热点题型讲练)1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况.（重点）2.对表格所表达的两个变量关系的理解.（难点）知识点01常量与变量一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．知识点02自变量与因变量如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．区别自变量和因变量有以下三种方法：(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；(2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量；(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．知识点03用表格表示的变量间关系把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势，题型01常量与变量【例题】（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（

）

A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量【答案】B【分析】根据常量和变量的定义即可求解．【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量，∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化，故选：B．【点睛】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级专题练习）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是(

)A．变量是M，R；常量是π B．变量是R，π；常量是C．变量是M，π；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是M【答案】A【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，根据常量和变量的概念解答即可．【详解】球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量是M，R；常量是，故选：A．【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）小强同学在超市买某种水果，下图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（

）

A．重量和金额 B．单价和金额 C．重量和单价 D．重量、单价和金额【答案】A【分析】根据常量与变量的定义即可判断．【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，∴变量是：重量和金额．故选：A．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．题型02自变量与因变量【例题】（2022下·甘肃张掖·七年级校考期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是，因变量是【答案】烧水时间水的温度【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可．【详解】解：∵电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，∴自变量为烧水时间，因变量为水的温度，故答案为：烧水时间，水的温度．【变式训练】1．某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（

）定价（元）100110120130140150销量（台）801001101008060A．定价是常量 B．销量是自变量 C．定价是自变量 D．定价是因变量【答案】C【分析】根据自变量、因变量、常量的定义即可得．【详解】由表格可知，定价与销量都是变量，其中，定价是自变量，销量是因变量，故选：C．【点睛】本题考查了常量与变量、自变量与因变量，掌握理解相关概念是解题关键．2．小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：日期/日12345678电表读数/度2124283339424649表格中反映的变量是，自变量是，因变量是.【答案】日期和电表读数，日期，电表读数.【分析】根据题意可得变量有两个：日期和电表读数，再根据表格和变量可得答案；【详解】解：表格中反映的变量是：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数．故答案为日期和电表读数，日期，电表读数．【点睛】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量；题型03用表格表示的变量间关系【例题】（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）下表是某同学做的“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：时间（分）01234567891011温度（）2030405060708090100100100100(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)根据表格，你认为12分钟、13分钟时，水的温度是多少？(3)为了节约能源，你认为烧开水的时候应该在大约几分钟关闭煤气？【答案】(1)上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；(2)时间为12分钟和13分钟时，水的温度是；(3)为了节约能源，烧开水的时候应该在大约8分钟关闭煤气．【分析】本题考查了常量与变量：（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有唯一对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；（2）根据表格中数据得出水的温度，进而可得出时间为12、13分钟时，水的温度；（3）根据表格中数据得出答案即可；根据表格中数据分别分析得出是解题关键．【详解】（1）解：上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量．（2）根据表格，可以得：时间为12分钟和13分钟时，水的温度是．（3）为了节约能源，烧开水的时候应该在大约8分钟关闭煤气．【变式训练】1．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中）0123451010.51111.51212.5下列说法不正确的是（

）A．与都是变量，且是自变量，是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为【答案】D【分析】根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可．【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意；B．弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意；C．物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意；D．根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原选项错误，因此该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键．2．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）心理学家发现，当提出概念所用的时间在2分到20分时，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：）之间有如下关系：提出概念所用的时间x257101213141720学生对概念的接受能力y47.853.556.359.059.859.959.858.355.0(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？(2)当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是______；当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是______；(3)根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分时，学生的接受能力最强？(4)根据表格中的数据回答：当在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？【答案】(1)上表反映了提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系(2)，(3)当提出概念所用时间为13分时，学生的接受能力最强(4)当提出概念所用的时间在2分到13分时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间在13分到20分时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据即可求解；（3）根据表格中时，y的值最大是，即可求解；（4）根据表格中的数据即可求解．【详解】（1）解：上表反映了提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系；（2）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是；当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是；故答案为：，；（3）解：当时，的值最大，是，所以当提出概念所用时间为13分时，学生的接受能力最强；（4）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间在2分到13分时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间在13分到20分时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．【点睛】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键．一、单选题1．（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上的数据显示牌（如图）金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（）A．金额是自变量 B．单价是自变量C．168.8和20是常量 D．金额是数量的函数【答案】D【分析】此题考查了常量与变量，函数的定义理解常量与变量的定义是正确判断的前提；根据函数的定义依次判断；【详解】解：单价是常量，金额和数量是变量金额是数量的函数，故选项D符合题意，故选：D．2．（2019下·四川达州·七年级统考期末）某种蔬菜的价格随季节变化如下表，根据表中信息，下列结论错误的是（

）月份x123456789101112价格y（元/千克）5.05.55.04.82.01.51.00.91.53.02.03.5A．x是自变量，y是因变量 B．2月份这种蔬菜价格最高，为5.50元/千克C．2~8月份这种蔬菜价格一直在下降 D．8~12月份这种蔬菜价格一直在上升【答案】D【分析】列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，依据表格中的数据即可得到正确答案．【详解】解：A、x是自变量，y是因变量，正确，故本选项不合题意；B、2月份这种蔬菜的价格最高，为5.50元/千克，正确，故本选项不合题意；C、2～8月份这种蔬菜的价格一直在下降，正确，故本选项不合题意；D、8～12月份这种蔬菜的价格有升有降，不正确，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．3．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：支撑物高度（）小车下滑时间（）下列说法错误的是（

）A．当时， B．随着逐渐变大，逐渐变小C．每增加，减小 D．随着逐渐变大，小车下滑的平均速度逐渐加快【答案】C【分析】根据表格数据，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.当时，故该选项正确，不符合题意；B.随着逐渐变大，逐渐变小，故该选项正确，不符合题意；C.每增加，减小的值不一定，故该选项不正确，符合题意；

D.随着逐渐变大，小车下滑的平均速度逐渐加快，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．4．（2023下·河北保定·七年级校考阶段练习）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如表：物体的质量（）012345弹簧的长度（）1212.51313.51414.5下列说法错误的是（

）A．弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加C．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为D．在没挂物体时，弹簧的长度为【答案】C【分析】根据表格数据可知物体每增加，弹簧的长度增加，再结合函数的定义对各选项分析判断利用排除法求解；【详解】A、弹簧的长度随物体质量的变化而变化，其中物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量，正确，故本选项不合题意；B、根据表格数据可知物体每增加，弹簧的长度增加，正确，故本选项不合题意；；C、如果物体的质量为，那么弹簧的长度为，故原说法错误，故本选项符合题意；D、在没挂物体时，弹的长度为，正确故本选项不合题意；故选：C【点睛】本题考查了函数的表示方法，熟记函数的定义并理解表格中数据的对应关系是解题的关键二、填空题5．（2023下·安徽蚌埠·七年级统考期末）小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是．

【答案】金额与数量【分析】根据常量与变量的定义即可判断．【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，∴变量是：金额与数量．故答案为：金额与数量．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．6．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率\与温度的关系如表：温度导热率根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为．【答案】【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案．【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加，所以当导热率为时，温度为．故答案为：．【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．7．（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示：降价/元102030405060日销量/件155160165170175180根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为件．【答案】190【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量．【详解】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，∴降价之前的日销量为件，∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），∴售价为440元时，日销量件，故答案为：190．【点睛】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键．8．（2023下·河北沧州·八年级校考期中）声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度之间的关系如下：温度/05101520声速/（m/s）331334337340343从表中可知声速y随温度x的增大而．在温度为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2s后，听到了枪声，则由此可知，这个人距离发令枪m．【答案】增大【分析】从表格可以看到随的增大而增大；时，音速为343米秒，距离为米．【详解】解：从表格可以看到随的增大而增大，时，音速为343米秒，米，这个人距离发令点米．故答案为：增大，．【点睛】本题考查变量之间的关系，能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键．三、解答题9．（2023上·陕西榆林·八年级校考开学考试）某通讯公司公布了收费标准，其中包月129元时，国内拨打电话超出部分0.15元/分.由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费；用x表示国内拨打超出时间，y表示国内拨打超出部分的电话费，下表是超出部分国内拨打的收费标准超出时间x/分12345……超出部分的电话费y/元0.150.300.450.600.75……(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果国内拨打电话超出6分钟，那么超出部分的电话费是多少元？(3)如果某次国内拨打电话超出部分的费用是1.2元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出几分钟？【答案】(1)见解析(2)0.9元(3)8分钟【分析】（1）根据表格的信息可直接解答；（2）由表格可知：每超出时间1分钟，则电话费增加0.15元，据此解答即可；（3）根据（2）的结论求解.【详解】（1）由题意和表格可知，这个表反映了国内拨打电话超出时间x与国内拨打电话超出部分的电话费y之间的关系，国内拨打电话超出时间x是自变量，国内拨打电话超出部分的电话费y是因变量；（2）由表格可知，如果国内拨打电话超出6分钟，那么超出部分的电话费是元；（3）由表格可知，如果某次国内拨打电话超出部分的费用是1.2元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出分钟.【点睛】本题考查了利用表格表示变量之间的关系，正确理解题意、读懂表格信息是解题的关键.10．（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）小丽的奶奶要去市场卖自己地里产的黄豆，为避免奶奶算错钱数，她帮奶奶制作了一个表格供她参考，豆子的总价y(元)与所卖豆子的质量x(千克)之间的关系如下：(千克)123…(元)369121518…(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)1千克豆子多少元？元能买多少千克豆子？(3)如果要买4千克豆子带25元够不够？【答案】(1)豆子的总价y与所卖豆子的质量x之间的关系；自变量是所卖豆子的质量x；因变量是豆子的总价y(2)6元；千克(3)够【分析】（1）根据变量、自变量及因变量的概念即可得出答案；（2）根据表格给出的数据求出单价，总价格除以单价等于质量即可得出答案；（3）利用总价等于单价乘以质量计算并比较大小即可得解．【详解】（1）解：上表反映的是售出豆子质量(千克)与(元)之间的关系，售出豆子的质量x(千克)是自变量，总售价y(元)是因变量；（2）解：由图表可知，1千克豆子价格为6元，∴(千克)，∴元能买千克豆子；（3）解：，∴买4千克豆子带25元够买．【点睛】本题主要考查了函数的表示方法和变量的概念，熟记变量的概念是解题的关键．11．（2023下·四川达州·七年级统考期末）苏老师非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到了下表中的数据：行驶的路程0100200300400…油箱中的剩余油量5042342618…(1)在这个问题中，自变量是______，因变量是______；(2)该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱中的剩余油量为______L；(3)苏老师将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，请求出A，B两地之间的距离．【答案】(1)；(2)50，38(3)A、B两地之间的距离为【分析】（1）通过观察统计表可知：轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量;（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得答案；（3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得Q与s的关系式，把代入函数关系式求得相应的s值即可.【详解】（1）解：上表反映了轿车行驶的路程和油箱剩余油量之间的关系，其中轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量;答：A，B两地之间的距离为.（2）解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得Q与s的关系式为，当时，，故答案是：50，38;（3）解：（3）由（2）得,当时，得，解得.答：A、B两地之间的距离为.【点睛】此题考查了函数的有关概念，解决问题的关键是能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题.12．（2023下·全国·七年级专题练习）下表是某河流在汛期一天中涨水的情况，警戒水位为米．时间/时048超警戒水位/米(1)上表反映了________与时间之间的关系，其中____是自变量，______是因变量；(2)估计上午时的水位是_______；(3)从0时到时，水位从_______上升到_____；(4)从__时到__时，水位上升最快；(5)假设第二天持续下雨（基本与当天降水量一样），则第二天12时超警戒水位__米．【答案】(1)超警戒水位，时间，超警戒水位(2)米(3)米，米(4)，(5)【分析】（1）上表反映了超警戒水位与时间之间的关系，其中时间是自变量，超警戒水位是因变量；（2）由表格数据即可得；（3）观察表格，计算出0时水位，时水位即可得；（4）借助表格，算出在4至8时，警戒水位上升，在8至时，警戒水位上升，从时到时，在至时，警戒水位上升，在至时，警戒水位上升，在至时，警戒水位上升，即可得；（5）观察表格得，第一天时超警戒水位米，时警戒水位米，假若第二天持续下雨（基本与第一天降水情况一样），则估计第二天时超警戒水位米．【详解】（1）解：上表反映了超警戒水位随着时间的变化而变化，其中时间是自变量，超警戒水位是因变量；（2）解：估计上午时超警戒水位米，则估计上午时的水位是:(米)，故答案为：米；（3）解：0时水位：（米）时水位：（米），即从0时到时，水位从米上升到米，故答案为：米，米；（4）解：观察表格得，在0至4时，警戒水位上升：（米），在4至8时，警戒水位上升：（米），在8至时，警戒水位上升：（米），在至时，警戒水位上升：（米），在至时，警戒水位上升：（米），在至时，警戒水位上升：（米），即从时到时，水位上升的最快，故答案为：，；（5）解：观察表格得，第一天时超警戒水位米，时警戒水位米，假若第二天持续下雨（基本与第一天降水情况一样），则估计第二天时超警戒水位(米)，故答案为：．【点睛】本题考查了常量与变量，有理数的加减法，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．13．（2022下·四川成都·八年级校考期中）某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表：时间x/月123456789101112月产量y/万辆88.59101112109.59101010.5(1)在这个过程中，自变量、因变量各是什么？(2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，你对电动车厂的厂长有什么建议？【答案】(1)在这个过程中，自变量是时间、因变量是月产量(2)6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低(3)1月份和6月份之间产量相差最大，对电动车厂的厂长的建议是在1月份加紧生产，实现产量的增值【分析】（1）根据自变量、因变量的定义、以及月产量随着时间的变化而变化即可得；（2）根据表格找出最大与最小的月份即可得；（3）由（2）即可得1月份和6月份之间产量相差最大，由此给出建议即可．【详解】（1）解：因为月产量随着时间的变化而变化，所以在这个过程中，自变量是时间、因变量是月产量．（2）解：由表格可知，当时，最大；当时，最小，即6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低．（3）解：由（2）可知，1月份和6月份之间产量相差最大，对电动车厂的厂长的建议是在1月份加紧生产，实现产量的增值．【点睛】本题考查了自变量和因变量、用表格表示变量间的关系，熟练掌握用表格表示变量间的关系是解题关键．14．（2023下·山东济南·七年级统考期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如表关系（其中）：提出概念所用时间对概念的接受能力（注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强）(1)当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？(2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？(3)从表格中可知，当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受