七年级数学下册讲义（北师大版）第四章第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)（解析版）

第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）.特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（

）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于【答案】A【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键．【详解】解：南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性，故选：．【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形稳定性和四边形不稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角形而获得．【详解】解：A，B，D是利用了三角形的稳定性，C是利用了四边形的不稳定性．故选：C．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（

）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断即可．【详解】解：小乔这样做的道理是三角形具有稳定性，故选：C．3．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是．【答案】三角形具有稳定性【分析】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用，理解三角形稳定性是解题的关键．从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可解答．【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．题型02用SSS证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．

【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵，∴，即，在和中∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．【详解】证明：是的中点，，在和中，，【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接根据证明即可．（2）根据（1）得，然后证明即可．【详解】（1）解：证明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．题型03用ASA证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，点，点在上，，求证：．

【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得，利用等式的性质可得，然后再利用判定即可．【详解】证明：∵，，，，即，在和中，，∴．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：．【答案】见解析【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．【详解】证明：，，即，在和中，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，．(1)求证：．(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】（1）根据判定即可；（2）根据和点B为中点即可求出．【详解】（1）证明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵点B为中点，∴，∴，∴；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．题型04用AAS证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在边上，，，．求证：【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明．【详解】证明：，，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，，，．

(1)求证：．(2)当，时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】（1）根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；（2）根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由得，即，从而即可证得；（2）由可得，，即可得到，从而即可得证．【详解】（1）证明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．题型05用SAS证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知，，．求证：．

【答案】证明见解析．【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】证明：在和中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．求证：．【答案】见解析【分析】根据，，得到，根据，得到，结合，则可根据判定．【详解】证明：，，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】由得到，根据可得，又由，根据即可证明．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据题意找到证明全等需要的条件是解题的关键．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．

【答案】或【分析】由于两个三角形已经具备，，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵，，∴若用“”判断，可补充的条件是或；故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点在一条直线上，已知，请你添加一个适当的条件_________使得．（要求不添加任何线段）

【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，再根据三角形全等的证明，可知可以添加条件为：两边及其夹角（）、两边及一边（）即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴可添加条件为：可证明或可证明．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查的是三角形全等判定，掌握证明全等三角形的方法有：,特别是不能判定三角形全等是解题的关键．2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）．【答案】或或或（答案不唯一）．【分析】根据，或添加条件即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，则有边角两个条件，要添加一个条件分三种情况，（1）根据“”，则可添加：，（2）根据“”，则可添加：或，（3）根据“”，则可添加：，故答案为：或或或（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【详解】解：已知，，要使用“”，添加的条件是直角边相等，故答案为：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为：（或）．故答案为：（或）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（

）A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性C．两点之间线段最短 D．垂线段最短【答案】B【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．故选：B．2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【详解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定．故选：D．3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断的条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、满足边边角，不能判定，故本选项符合题意；B、满足边角边，能判定，故本选项不符合题意；C、满足边边边，能判定，故本选项不符合题意；D、满足角角边，能判定，故本选项不符合题意；故选：A．4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，中，，于点D，于点E，若，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差求解即可．【详解】∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，故选：B．5．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解．【详解】解：由题意可得在与中故选：D．二、填空题6．（2022上·新疆喀什·八年级校考期中）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是【答案】三角形具有稳定性【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．7．（2024上·河南新乡·八年级统考期末）如图，，，若要证明，需要补充的个条件是．（写出一个即可）【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形判定定理即可解答．【详解】解：∵，∴，即，∵添加利用即可证明；添加利用即可证明；添加利用即可证明．故答案为：（答案不唯一）．8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）如图，将两根长度相等的钢条，的中点固定在点，使，可以绕着点转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，原因是和全等，那么判定和全等的依据为．

【答案】边角边【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用；由题意得，由对顶角相等即可判定两个三角形全等．【详解】解：连接、，

∵两根长度相等的钢条，的中点固定在点，∴，∵，∴；故答案为：边角边．9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点和、，使点、、共线且河岸平行，、分别与河岸垂直且A、、三点共线，他们已测得，河宽的长为．【答案】/40米【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据证明，得出即可．【详解】解：∵、分别与河岸垂直，∴，∵A、、三点共线，点、、共线，∴，∵，∴，∴．故答案为：．10．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过s后，与全等．【答案】4【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果．【详解】解：∵于点A，于B，∴．设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则．分两种情况：①若，则，，．可知，∴≌；②若，则，解得：，可知，此时与不全等．综上所述：运动后与全等．故答案为：4．三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．

(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）由“SSS”可证；（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴；在和中，，∴；（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）根据即可证明；（2）证明，进而即可求解【详解】（1）证明：∵于点D，于点E∴在与中，∴（）（2）解：由（1）得，∴，，∴，即又∵，∴（）∴，∴，∵，，∴13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．（1）根据平行线的性质可得，进而根据对顶角相等，中点的性质得出，，根据，即可得证；（2）根据全等三角形的性质，即可得出，进而根据线段的和差即可求解．【详解】（1）证明：，，是的中点，，又，；（2）解：，，．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见详解(2)60°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等这是，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．（1）根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可证明．（2）利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴∴15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．（1）根据判定即可；（2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）