华师大版九年级数学上册22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步测试（附答案）

华师大版九年级数学上册22.2.5一元二次方程的根与系数的关系同步测试一、选择题1．如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(①abc<0；②a−b+c>0；③方程cx2+bx+a=0④抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．关于x的一元二次方程x2A．m<32 B．m>3 C．m≤3 3．若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1A．4 B．8 C．12 D．164．已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+xA．a=−3，b=1 B．a=3，b=1C．a=−32，b=−1 D．a=−5．已知关于x的方程x2+kx−2=0的一个解与方程x+1x−1A．−1 B．−2 C．1 D．26．已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x1，A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或37．已知a，b是方程x2+2020x+3=0的两根，则代数式A．18 B．-18 C．27 D．-278．有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么12一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b2，再在斜边AB上截取AD=bA．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长10．一元二次方程x2A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2C．有两个负根，且都小于-2 D．有一个正根，一个负根二、填空题11．已知一元二次方程x2-3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2-x1x2的值等于．12．已知方程x2−3x−4=0的根为x1，x13．若a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，则代数式a+b−ab的值为14．若关于x的方程x2−2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1，则m的值为15．设x1，x2是方程2x2三、解答题16．已知一元二次方程2x2−3x−8=017．在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x波波同学的解答过程如框：解：由题意可知：x∵(x∴m2解得：m=−3或m=1波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.18．已知x1，x2是关于x的方程x2-2x+m-2=0的两个实数根，若3x1+3x2-x1x2=5，求m的值.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+2k2=0的两根x四、综合题20．已知关于x的一元二次方程x（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且21．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b（1）求[−4（2）已知关于x的方程[x22．已知关于x的一元二次方程x2－4x+m+1＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x23．抛物线y=x2−2x−3（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图①，当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m，求FPOP

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线图象开口向下，对称轴为直线x=−b2a=2，与y轴的交点在正半轴，

∴a<0，b=-4a>0，c>0，

∴abc<0，故①正确；

∵对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（6，0），

∴与x轴的另一个交点为（-2，0），

∴当x=-1时，y>0，

∴a-b+c>0，故②正确；

由cx2+bx+a=0可得x1+x2=-bc，x1x2=ac.

∵方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-2、6，

∴-ba=4，ca=12，

∴-bc=−13，ac=112.

若方程cx2+bx+a=0的两根为x1=12，x2=−16，则x1+x2=-bc=13，x1x2=ac=-112，故③错误；

若x1<2<x2且x1+x2>4，则P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到对称轴的距离，

∴y1>y2，故④错误.

故答案为：B.

【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴为直线x=−b2a=2，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由对称性可得与x轴的另一个交点为（-2，0），则当x=-1时，y>0，据此判断②；根据抛物线与x轴的交点可得方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-2、6，则-ba=4，ca=12，对于cx2．【答案】D【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，

∴△=4−4m−2＞0，

解得m<3，3．【答案】C【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，

∴x1+x2=8，x1x2=m，

∵x1=3x2，

∴x1=6，x2=2，

∴4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得

x1+x2=-2a=3，x1x2=b=1，

解之：a=−32，b=1.

故答案为：D

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=-2a=3，x1x5．【答案】A【解析】【解答】解：x+1x−1=3，

方程两边同时乘以（x-1）得x+1=3（x-1），

解得x=2，

经检验，x=2是分式方程的根，

∵x=2是方程x2+kx-2=0的一个根，

设该方程另一个根为a，

则2a=-2，

解得a=-1，

∴方程的另一个根为-1.

故答案为：A.

【分析】先根据解分式方程的步骤求出分式方程的解，设关于x的一元二次方程的另一个根为a，由根与系数的关系“6．【答案】A【解析】【解答】解：∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两根分别为x1、x2，

∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2.

∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3，

∴2m-1+m2+1=3，

∴m2+2m-3=0，

∴(m-1)(m+3)=0，

解得m=1或-3.

∵方程有两个实数根，

∴△=(2m-1)2-4m2≥0，

∴m≤14，

∴m=-3.

故答案为：A.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1，x1x2=m2，则(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=2m-1+m2+1=3，求出m的值，根据方程有两个实数根可得△=(2m-1)2-4m27．【答案】C【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2+2020x+3=0的两根，

∴a2+2020a+3=0，b2+2020b+3=0，ab=3，

∴(3+2023a+a2)(3+2023b+b2)=(3a)·(3b)=9ab=9×3=27.

故答案为：C.

【分析】根据方程根的概念可得a2+2020a+3=0，b2+2020b+3=0，由根与系数的关系可得ab=3，待求式可化为(a2+2020a+3+3a)(b2+2020b+3+3b)，然后代入进行计算.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，

∴方程M有一个根为1，方程N有一个根为1，故①正确；

∵a+c=0，

∴a=-c，

∴ac=-1，

∴方程M和N的两根之积必相等，故②正确；

∵2是方程M的一个根，

∴4a+2b+c=0，即a+12b+14c=0，

∴12是方程N的一个根，故③正确；

设相同的根为m，则am2+bm+c=0cm2+bm+a=0

两式相减可得(a-c)m2=a-c.

∵a≠0，c≠0，

∴m2=1，

∴m=±1，即相同的根为征服1，故④错误.

故答案为：B.

【分析】根据a+b+c=0可得方程M有一个根为1，方程N有一个根为1，据此判断①；根据a+c=0可得ac=-1，然后结合根与系数的关系可判断9．【答案】D【解析】【解答】解：设BD=x，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b2，

由勾股定理得（x+b2）2=a2+（b2）2，

整理得x2+bx-a2=0（a≠0，b≠0），

∵△=b2+4a2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，因为两根之积等于-a2＜0，

∴方程的根一正一负，

∴方程的正根是BD的长.

故答案为：D.

10．【答案】D【解析】【解答】解：∵x2∴Δ=2∴方程有2个不相等的实数根．∵x1∴方程有一个正根，一个负根．故答案为：D．【分析】利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系逐项判断即可。11．【答案】2【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=3，x1x2=1，

∴x1+x2-x1x2=3-1=2.

故答案为：2.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=−ba=3，x1x2=12．【答案】6【解析】【解答】解：∵x2−3x−4=0，

∴x1+x2=3，x1·x13．【答案】2【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，

∴a+b=3，ab=1，

∴a+b−ab=2，

故答案为：214．【答案】2【解析】【解答】解：不妨设两根分别为a和b，

∵x2−2(m+1)x+m+4=0，

∴a+b=2m+2，ab=m+4，

∵关于x的方程x2−2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1，

∴1a+1b=a+bab=2m+215．【答案】−【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个实数根，

∴x1+x2=-2，x1x2=-32，

∴x1+x2+x1x2=-2-32=−72.

故答案为：−72.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x16．【答案】解：∵一元二次方程2x∴m+n=−−3∴m2【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=3217．【答案】解：波波的解法不正确；由题意可知：x∵(x1∴m2+(2m−1)+1=3解得：m=−3或m=1（舍去），∴m=−3.【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出两根之和为两根之积，结合已知条件可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac≥0，可求出m的取值范围，即可得到符合题意的m的值.18．【答案】解：由题意得：x1+x2=2，x1x2=m-2，∵3x1+3x2-x1x2=5，∴6-(m-2)=5，∴m=3【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得到x1+x2，x1x2的值，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值.19．【答案】解：根据题意，得x1+x∵x∴(2k+1)2解得k=1．【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数，可表示出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为（x1+x2）2-2x1x2=5，然后整体代入，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.20．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2∴a=1，b=−(2m−1)，c=−3m∴Δ=b∵(4m−1)2≥0，即∴不论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴x1+x∵x2∴(x∴(2m−1)2−3m2+m∴m的值为25或1【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；

（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=2m−121．【答案】（1）解：∵[a∴[−4，3（2）解：∵[x∴x⋅(mx+1)−(2x−1)⋅m=0，整理得mx∵关于x的方程[x∴Δ=b2−4ac=解得m≤14且【解析】【分析】（1）根据题目规定的运算即可求解；

（2）先根据题目规定的运算即可得到mx22．【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（-4）2-4（m+1）≥0，解得m≤3（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m+1.∵(x1−1)(∴m+1-4+1≥-1，解得m≥1，∵m≤3，∴1≤m≤3．∴m的整数值为1，2和3，它们的和=1+2+3=6【解析】【分析】（1）由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；

（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，由(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1≥-1可求出m的范围，结合（1）的结论可得m的范围，据此可得m的整数值，然后求和即可.23．【答案】（1）解：令y=0，得x2解得：x=3或−1，∴A(−1，0)，B(3，0)；（2）解：∵OP=OA=1，∴P(0，1)，∴直线AC的解析式为y=x+1．①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1∵B(3，0)，BD∴直线BD1的解析式为由y=x−3y=x2−2x−3，解得∴D∴D②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G(0，5)过点G作AC的平