2025年高考数学一轮复习4.3.2-简单的三角恒等变换-专项训练【含解析】

年高考数学一轮复习4.3.2-简单的三角恒等变换-专项训练一、单项选择题1.cos2π12-cos25π12=A.12 B.33 C.22 2已知sinα+π4=-32,则sin2A.12 B.-1C.32 D.-3.某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视为三条线段),想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形.经测量,其长度分别为3cm,4cm,6cm,则()A.能作出两个锐角三角形B.能作出一个直角三角形C.能作出一个钝角三角形D.不能作出这样的三角形4.设sin20°=m,cos20°=n,化简1+tan10°1-tan10°A.nm B.-mC.mn D.-5.在△ABC中,AC=22,BC=4,则角B的最大值为()A.π4 B.πC.π2 D.6.设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,须计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点P,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角为45°,则M,N之间的距离为()A.5010米 B.5014米C.5022米 D.5026米7.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π2,β∈π,A.7π4 BC.5π4或78.圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角大约(即∠ABC)为30°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)大约为75°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a,则表高(即AC的长)为()甲乙A.34a B.1C.1+34a D.二、多项选择题9.在△ABC中,下列命题正确的是()A.若A>B,则sinA>sinBB.若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形C.若a2+b2=c2,则△ABC一定为直角三角形D.若三角形的三边满足a2+b2>c2,则此三角形的最大角为钝角10将函数f(x)=2cos2xsinφ+sin2xcosφ-sinφ的图象向左平移π6个单位长度后,与函数g(x)=cosωx-π3的图象重合,则φ的值可能为()A.-3π2 B.-C.-π6 D.11.我国古代著名的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2,下列结论正确的是()图1图2A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍三、填空题12.若tan(α-β)=32,tanβ=2,则tanα=.13.若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值为.

14.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则b+ca的取值范围是15.已知定义在x∈-3π4,π4上的函数f(x)=sinx+π4+sin2x在x=

参考答案与解析1.D解析原式=cos2π12-cos2π2−π12=cos2π12-sin2π122.A解析因为sinα+π4=-32,所以sin2α=-cos2α+π2=-cos2α+π4=2sin2α+π4-3.C解析因为三条高线的长度为3cm,4cm,6cm,故三边之比为4∶3∶2,设最大边所对的角为α,则cosα=4+9-162×而α为三角形内角,故α为钝角,故三角形为钝角三角形.4.C解析1+tan10°5.A解析设AB=x,则x>0,由余弦定理可得cosB=AB2+B当且仅当x=22时,等号成立,因为0<B<π,则0<B≤π4,故角B的最大值为π6.A解析如图,由题可知∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,∴PM=200,PN=502,又∠MPN=45°,∴MN2=40000+5000-2×200×502×22=∴MN=5010(米).7.A解析因为α∈π4,π2,所以2α∈π2,π,β-α∈π2,5π又因为sin2α=55,sin(β-α)=10所以2α为第二象限角,β-α为第二象限角,所以cos(β-α)=-1-sin2(β-α)=-31010,cos2α=-1-sin22α=-255,又因为α+β=(β-α)+2α,所以cos(α+β)=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin8.C解析依题意∠BAD=∠ADC-∠ABC=75°-30°=45°,在△BAD中由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsin∠ABD,即asin45°=ADsin30°,所以AD=a222=2a2,又因为在Rt△ACD中,ACAD=sin75°=sin(45°9.AC解析对于选项A,在△ABC中,若A>B,则a>b,因此sinA>sinB,A正确;对于选项B,若sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,B错误;对于选项C,若a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知△ABC一定为直角三角形,C正确;对于选项D,若三角形的三边满足a2+b2>c2,由余弦定理可知cosC>0,仅可得C为锐角,最大角是否为钝角不确定,D错误10.AC解析f(x)=(1+cos2x)sinφ+sin2xcosφ-sinφ=cos2xsinφ+sin2xcosφ=sin(2x+φ),将f(x)的图象向左平移π6个单位长度得y=sin2x+π6+φ=sin2x+π3+φ的图象,与函数g(x)=cosωx-π3的图象重合,故ω=±2,①若g(x)=cos2x-π3=sin2x-π3+π2=sin2x+π6,π3+φ=π6+2kπ,②若g(x)=cos-2x-π3=cos2x+π3=sin2x+π3+π2=sin2x+5π6,π3+φ=5π6+2kπ,φ=2kπ11.ABD解析对于A选项,根据题意,图2是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,故AA'=BB',AB'>BB',所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形,故A选项正确;对于B选项,由题知,在△ABB'中,BB'=3,sin∠ABB'=5314,∠AB'B=120°,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=3314,所以由正弦定理得BB'sin∠BAB'=AB'sin∠对于C选项,不妨设AB=2A'B'=2,AA'=x,所以在△AB'B中,由余弦定理得|AB|2=|AB'|2+|BB'|2-2|AB'||BB'|cos∠AB'B,代入数据得AA'=x=5-12,所以AB'=AA'+A'B'=1+5-12=5+12,对于D选项,若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S△ABC=3S△ABB'+S△A'B'C'=7S△A'B'C',故D选项正确12.-74解析因为tan(α-β)=32,tanβ=2,所以tanα=tan[(α-β)+β]=tan(13.π2答案不唯一,φ=2kπ+π2,k∈Z均可解析因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos

2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ),所以cos

14.(2+1,3+2)解析因为B=2A,则sinB=sin2A=2sinAcosA,cosB=cos2A=2cos2A-1,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,故由正弦定理可得b+ca=sinB+sinCsinA=2cosA+cosB+cosAsinBsinA=2cosA+cosB+2cos2A=2cosA+2cos又△ABC为锐角三角形,故可得A∈0,π2,B=2A∈0,π2,C=π-3A∈0,π2,解得A∈π6,π4,则cosA∈22,32,故4cos2A+2cosA-1∈(15.-98