2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8 B．4C．2eq\r(10) D．54．已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2] B．[1,2]C．[2,3] D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．2eq\r(3) B．eq\r(13)C．2eq\r(3)＋1 D．eq\r(13)＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A．关于点(2,0)对称B．关于直线y＝0对称C．关于直线x＋3y－2＝0对称D．关于直线x－y＋2＝0对称7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为()A．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3) B．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D．(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)8．已知三个点A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10)．(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是()A．(1,3) B．(3,1)C．(－2,0) D．(0，－2)12．写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________；又若eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，此时△MAB的面积为________．14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．15．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)eq\r(4－x2－y2)＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5解析：A圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A．3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8 B．4C．2eq\r(10) D．5解析：C设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以eq\f(|t|,\r(5))≤2eq\r(2)，解得－2eq\r(10)≤t≤2eq\r(10)，所以2x＋y的最大值为2eq\r(10)，故选C．4．已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2] B．[1,2]C．[2,3] D．[1,3]解析：D圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1的圆心C(eq\r(3)，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝eq\f(1,2)|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故选D．5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．2eq\r(3) B．eq\r(13)C．2eq\r(3)＋1 D．eq\r(13)＋1解析：D整理直线方程得：(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴P(1,1)，由圆的方程知圆心C(－2，－1)，半径r＝1，∴|MP|max＝|CP|＋r＝eq\r(－2－12＋－1－12)＋1＝eq\r(13)＋1．故选D．6．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A．关于点(2,0)对称B．关于直线y＝0对称C．关于直线x＋3y－2＝0对称D．关于直线x－y＋2＝0对称解析：ABCx2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为eq\r(5)．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A、B、C．7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为()A．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3) B．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D．(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)解析：AB由题意知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq\f(2π,3)，设圆心C(0，a),半径为r，则rsineq\f(π,3)＝1，rcoseq\f(π,3)＝|a|，解得r＝eq\f(2,\r(3))，即r2＝eq\f(4,3)，|a|＝eq\f(\r(3),3)，即a＝±eq\f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)．8．已知三个点A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,4＋2D＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝0，))所以圆的方程为x2－2x＋y2－6y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2，1)，半径r＝2，圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝eq\f(|6＋4＋5|,\r(32＋42))＝3，设P到直线AB的距离为h，则S△ABP＝eq\f(1,2)·|AB|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r，∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]，即△ABP的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10)．(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①又直径|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)．所以(a＋1)2＋b2＝40．②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2，))所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是()A．(1,3) B．(3,1)C．(－2,0) D．(0，－2)解析：D∵A(－4,0)，B(0,4)，∴AB的垂直平分线方程为x＋y＝0，又外心在欧拉线x－y＋2＝0上，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y＋2＝0，))解得三角形ABC的外心为G(－1,1)，又r＝|GA|＝eq\r(－1＋42＋1－02)＝eq\r(10)，∴△ABC外接圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10．设C(x，y)，则三角形ABC的重心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))在欧拉线上，即eq\f(x－4,3)－eq\f(y＋4,3)＋2＝0．整理得x－y－2＝0．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝10，,x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))∴顶点C的坐标可以是(0，－2)．故选D．12．写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C(a，b)，因为圆C关于x＋y－1＝0对称，所以C(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则a＋b－1＝0，取a＝1⇒b＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x－1)2＋y2＝1．答案：(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)13．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________；又若eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，此时△MAB的面积为________．解析：设M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0．以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋3y2－20x＋12＝0，,x2＋y2＝4，))解得|y|＝eq\f(8,5)．即M点的纵坐标的绝对值为eq\f(8,5)．此时△MAB的面积为S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(8,5)＝eq\f(16,5)．答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0eq\f(16,5)14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0,4)，半径为4．(1)当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C)，线段PC中点为(1,3)，eq\f(1,2)|PC|＝eq\f(1,2)eq\r(2－02＋2－42)＝eq\r(2)，故M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，且y≠2或x≠0，且y≠4)．当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2．(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－eq\f(1,3)，故直线l的方程为y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(8,3)，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝2eq\r(2)，点O到直线l的距离为eq\f(8,\r(12＋32))＝eq\f(4\r(10),5)，|PM|＝2eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(10),5)))2)＝eq\f(4\r(10),5)，所以△POM的面积为eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝2eq\r(2)得x2＋y2＝8，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝8，①,x－12＋y－32＝2，②))①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝eq\f(14,5)，y2＝2．从而x1＝－eq\f(2,5)，x2＝2．所以M点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(14,5)))，|PM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(14,5)))2)＝eq\f(4\r(10),5)．又点O到l距离d＝eq\f(8,\r(12＋32))＝eq\f(4\r(10),5)，所以△POM的面积S＝eq\f(1,2)|PM|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)．15．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解