函数的奇偶性6种常见考法归类

3.1.3函数的奇偶性6种常见考法归类1、奇、偶函数的定义偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论则称y＝f(x)为偶函数则称y＝f(x)为奇函数定义域特征定义域关于原点对称等价形式若f(x)≠0，则eq\f(f（－x）,f（x）)＝－1⇔f(x)为奇函数，eq\f(f（－x）,f（x）)＝1⇔f(x)为偶函数2、利用定义法判断函数奇偶性的步骤(1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称．3、奇、偶函数的图像特征(几何意义)（1）奇函数的图像特征(几何意义)奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．（2）偶函数的图像特征(几何意义)偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数．注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．4、函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(4)分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.5、函数奇偶性的图像特征根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．6、利用函数奇偶性求参数的解题思路奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．(2)解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．7、利用函数奇偶性求函数解析式的方法已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0.8、函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．9、利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．考点一函数奇偶性的判断考点二函数奇偶性的图像特征考点三利用函数奇偶性求参数考点四利用函数奇偶性求值考点五利用函数奇偶性求解析式考点六函数单调性与奇偶性的综合应用考点一函数奇偶性的判断1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)非奇非偶函数，证明见解析(3)非奇非偶函数，证明见解析(4)奇函数，证明见解析(5)偶函数，证明见解析(6)奇函数，证明见解析(7)偶函数，证明见解析(8)奇函数，证明见解析【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；若关于原点对称，求出，与比较，即可得出答案.【详解】（1）为奇函数定义域为R，关于原点对称，且，所以为奇函数.（2）为非奇非偶函数，定义域为R，关于原点对称，，且，所以，为非奇非偶函数.（3）为非奇非偶函数，定义域为，不关于原点对称，所以，为非奇非偶函数.（4）为奇函数，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.（5）为偶函数，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数.（6）为奇函数，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.（7）为偶函数，定义域为R，关于原点对称.对于，都有，且.对于，，有，.同理可推得，，.综上所述，，都有，所以为偶函数.（8）为奇函数，定义域为R，关于原点对称.对于，都有，且.对于，，有，.同理可推得，，.综上所述，，都有，所以为奇函数.2．（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考20232024学年高三上学期春季高考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.【详解】A选项，为奇函数，且单调递增，故A正确；B选项，是奇函数，在，上递减，故B错误；C选项，偶函数，故C错误；D选项，是奇函数，且单调递减，故D错误，．故洗：A3．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（

）A．是偶函数B．是偶函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义逐个选项判断即可.【详解】对A，，故是奇函数，故A错误；对B，，故是偶函数，故B正确；对C，，故是偶函数，故C错误；对D，，故是偶函数，故D错误.故选：B4．（2023秋·云南昆明·高一校考期中）已知函数，点，是图象上的两点．(1)求，的值；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】(1)(2)为奇函数，理由见解析【分析】（1）分别代入两点坐标联立求解即可；（2）根据奇偶函数的定义判断即可.【详解】（1）由题意，，解得.（2）由（1），易得定义域关于原点对称.又，故为奇函数.5．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数．(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义法证明：在上单调递增；【答案】(1)非奇非偶函数(2)证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可得解；（2）利用作差法计算即可得出结论.【详解】（1）由，得，则，所以函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数；（2），令，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递增.6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且．(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．(2)证明函数在上是增函数．(3)画出在上的图象，并求在上值域．【答案】(1)奇函数，证明见解析．(2)证明见解析(3)图象见解析，值域【分析】（1）先将代入，求出的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在上的单调性，再求最值．【详解】（1）在其定义域上为奇函数，，定义域为，由，解得，，，在定义域上为奇函数．（2）任取，且，，，，则又，，，即，在上为增函数．（3）在上的图象如图.在单调递减，在单调递增，,又，则故函数值域为.考点二函数奇偶性的图像特征7．（2023秋·四川成都·高三校联考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据特殊值法可排除BD，即可求解.【详解】由于定义域为，所以，故，为奇函数，图象关于原点对称，C错误；，B错误，，D错误，故选：A．8．【多选】（2023秋·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在上的函数，对任意实数满足，且时，，则下列说法中，正确的是（

）A．2是的周期 B．不是图象的对称轴C． D．是图象的对称中心【答案】AC【分析】由周期性、对称性的定义判断．【详解】时，，由知2是的一个周期，A正确；由得是图象的一条对称轴，从而也是图象的一条对称轴，时，，BD错误；，C正确；故选：AC．9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.(1)现已画出函数在轴及轴左侧的图象，如图所示，请把函数的图象补充完整，并根据图象写出函数的单调递增区间；(2)写出函数的值域．【答案】(1)作图见解析，单调递增区间是(2)【分析】（1）利用偶函数的对称性即可补全图象，根据图象可看出函数的单调递增区间；（2）根据时的解析式可求得，由对称性可得的值域即为.【详解】（1）由为偶函数可知，其图象关于轴对称，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象，如下图所示：由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．所以函数的单调递增区间是．（2）由题意知，当时，的最小值为；由偶函数的性质可得，即函数的值域为.10．（2023秋·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数在上的表达式；(2)画出函数的大致图象；(3)直接写出函数的值域和单调区间．(4)若方程a有两个实数根，直接写出a的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)值域为，单调递增区间为，，单调递减区间为，；(4)∪（0，1）【分析】先设，则代入已知函数的解析式，从而求出的函数解析式，进而可以求解；根据二次函数的性质即可画出函数的图像；根据图像即可求出函数的值域研究单调区间．（4）数型结合根据图像求解即可.【详解】（1）设，则，所以，又函数是奇函数，则，所以，又，则，所以函数在上的解析式为；（2）函数的图像如图所示：（3）由图象可得函数的值域为，单调递增区间为，，单调递减区间为，．（4）∪（0，1）.考点三利用函数奇偶性求参数11．（2023秋·福建泉州·高一校考期中）若是偶函数，则（

）A．2 B．1 C．1 D．3【答案】A【分析】根据偶函数的性质计算可得.【详解】因为是偶函数，所以，即，所以，则，解得.故选：A12．（2023·全国·高一随堂练习）已知函数是偶函数，求实数a的值．【答案】【分析】根据函数的奇偶性即可代入求解.【详解】由可得，由于为偶函数，所以，所以，故，13．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则．【答案】2【分析】由题意，可解出，定义域关于原点对称，可解出.【详解】函数是定义在区间上的偶函数，得，所以，解得，且定义域关于原点对称，所以，解得，所以．故答案为：2.14．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则．【答案】/【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，进而代入即可求解.【详解】由题意可知，即.又是奇函数，故，即，∴对任意都成立，则，∴.所以，故答案为：15．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，则（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】C【分析】利用偶函数的定义，建立方程，可得答案.【详解】由题意可得，则，可得.故选：C.16．（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】化简函数为，根据，列出方程，即可求解.【详解】由函数，因为函数为偶函数，可得，即，所以，解得.故选：D.17．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）若是奇函数，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】利用题给条件列出关于实数的方程组，解之即可求得实数的值.【详解】是奇函数，则，，即，解之得，则，经检验是奇函数.故选：B18．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且．(1)求的值；(2)求使成立的实数的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）由列式求出m，n，再检验奇偶性即可得解；（2）先根据函数定义域可得，再判断的单调性，由奇偶性和单调性将原不等式化简，求解关于a的不等式组即可．【详解】（1）由题意可得：，解得，则，可得，则符合题意，所以.（2）因为的定义域为，则，解得，又因为在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，由，可得，则或，解得或，综上所述：或，所以能使成立的实数的取值集合为.考点四利用函数奇偶性求值19．（2023秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则.【答案】1【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.【详解】由题意是定义在R上的偶函数，且当时，，则，故答案为：120．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则.【答案】9【分析】根据题意，结合，代入即可求解.【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，则.故答案为：.21．（2023秋·江苏连云港·高一统考期中）已知，其中为常数，若，则．【答案】【分析】构造奇函数，利用奇函数的定义求解．【详解】设，，是奇函数，，则，又，所以．故答案为：．22．（2023秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性求参数，然后求函数值即可.【详解】由已知可得，则．因为是奇函数，所以，即，因为，解得，所以，所以.故选：D．考点五利用函数奇偶性求解析式23．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数为奇函数，且当时，则当时，．【答案】【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为函数为奇函数，所以当时，，故答案为：24．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为.【答案】【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，当时，则，可得，所以.故答案为：.25．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为.【答案】（或）【详解】根据题意可知，当时，，则，又函数是定义在上的偶函数，所以，因此当时，，所以的解析式为.故答案为：26．（2023·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.【详解】（1）解：设，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，又因函数是定义在上的奇函数，可得，所以函数在上的解析式为.（2）解：作出函数的图象，如图所示，由函数图象可知，在上单调递增，要使函数在区间上单调递增，则满足，解得，所以实数的取值范围为.27．（2023秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．【答案】【分析】根据偶函数的定义结合已知的解析式可求出当时的解析式，从而可求出函数解析式【详解】因为当时，，所以因为是R上的偶函数，所以，，所以.28．（2023秋·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数（）是偶函数．当时，．(1)求函数的解析式；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件令，得到，从而求出，结合偶函数的性质，即可求解；（2）根据区间和分段函数的临界值，结合二次函数的单调性分类讨论即可.【详解】（1）令，则，因为时，，所以，又因为为偶函数，所以时，故.（2）∵在区间上的最小值为，又由（1）得：，可得：在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在上单调递增，∴①当，即时，在上单调递减，则；②当，即时，在上单调递减，单调递增，所以；③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，此时，所以；当时，此时，所以；④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；⑤当时，在上单调递增，所以；综上，.29．（2023·全国·高一专题练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可；（2）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可.【详解】（1）设，则，∴，又∵函数是定义域为R的奇函数，∴，∴当时，.又时，，所以；（2）∵是偶函数，是奇函数，，∴．则即，解之得.考点六函数单调性与奇偶性的综合应用30．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数，若，则，平方可得，解得，故答案为：31．（2023秋·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为．【答案】【分析】先确定函数在上单调递减，且，再将不等式等价变形，即可得到结论．【详解】若的定义域为，则，不合题意；若的定义域为，显然不合题意；奇函数在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，可得：当或时，，当或时，，因为等价于或，可得或，所以不等式的解集为.故答案为：.32．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数．又，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意在上是增函数且，再结合是奇函数，可以先求得的符号随的变化情况，然后列表即可求解.【详解】由题意在上是增函数且，所以当时，有，当时，有，又因为是奇函数，所以当时，有，，所以，当时，有，，所以，所以的符号随的变化情况如下表：由表可知不等式的解集为.故选：A.33．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，结合函数的单调性可得，解