新高考数学二轮复习培优专题34 双空题综合问题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题34双空题综合问题1．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】由题得SKIPIF1<0，利用累乘法得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，通过错位相减法求得SKIPIF1<0，进而得出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合上式，故SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，③∴SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2．（2023·湖南·模拟预测）已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，从该箱中有放回地依次取出3个小球，设变量SKIPIF1<0为取出3个球中红球的个数，则SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0______________；3个小球颜色互不相同的概率是______________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】由题意分析SKIPIF1<0的所有可能取值，分别求出对应的概率，根据公式求数学期望和方差即可，再由独立事件同时发生的概率及排列求概率即可.【详解】由题可得，SKIPIF1<0的所有可能取值分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.一次抽取抽到红球的概率为SKIPIF1<0，抽到黑球的概率为SKIPIF1<0，抽到白球的概率为SKIPIF1<0，所以3次抽取抽到3个小球颜色互不相同的概率是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.3．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则公共弦SKIPIF1<0所在的直线方程为______，SKIPIF1<0______.【答案】

SKIPIF1<0；

2【分析】先求出公共弦方程，再利用几何法求弦长.【详解】由圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，可得公共弦SKIPIF1<0所在的直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为1，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；2.4．（2023·湖南·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的各项都是正数，SKIPIF1<0若数列SKIPIF1<0各项单调递增，则首项SKIPIF1<0的取值范围是__________SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则整数SKIPIF1<0__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】根据正项数列SKIPIF1<0各项单调递增，可得出SKIPIF1<0，化简求出SKIPIF1<0，由此可得首项SKIPIF1<0的取值范围；再由裂项相消法求出SKIPIF1<0的表达式，然后求其范围，即可得出答案.【详解】由题意，正数数列SKIPIF1<0是单调递增数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是递增数列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整数SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.5．（2023·吉林·统考二模）意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n>2）.（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】

2697

SKIPIF1<0##-1+a【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案；（2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.【详解】（1）由题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0除以4的余数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0除以4的余数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0除以4的余数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0除以4的余数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0除以4的余数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0除以4的余数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故由斐波那契数SKIPIF1<0除以4的余数按原顺序构成的数列SKIPIF1<0，是以6为最小正周期的数列，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由斐波那契数SKIPIF1<0的递推关系可知：SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：2697，a-16．（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的两个动点，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率之积为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），则椭圆SKIPIF1<0的短轴长为_______，SKIPIF1<0_________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得SKIPIF1<0，由此可得短轴长及椭圆方程；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到SKIPIF1<0，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.【详解】SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的短轴长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到SKIPIF1<0所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.7．（2023·湖南永州·统考二模）对平面上两点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点SKIPIF1<0是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数SKIPIF1<0只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0两点距离比是SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是__________；最大值是SKIPIF1<0的最大值是__________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定SKIPIF1<0，利用三角形三边关系可知当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0，即为所求最小值；根据阿波罗点的定义，可设点SKIPIF1<0关于圆SKIPIF1<0对应的阿波罗尼斯点为SKIPIF1<0，由阿波罗尼斯圆定义可构造方程求得SKIPIF1<0点坐标和对应的SKIPIF1<0的值，得到SKIPIF1<0，利用三角形三边关系可知当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0，即为所求最大值.【详解】由题意知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0三点按顺序共线时取等号），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；设点SKIPIF1<0关于圆SKIPIF1<0对应的阿波罗尼斯点为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之比为：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0三点按顺序共线时取等号），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆的几何性质，求解距离之和与距离之差最值的问题；解题关键是充分理解阿波罗尼斯圆的定义，将所求距离进行等距离的转化，从而将问题转化为三角形三边关系问题，从而确定当无法构成三角形时取得对应的最值.8．（2023·重庆·统考一模）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于B，C两点，M为弦BC的中点且直线SKIPIF1<0的斜率与OM的斜率乘积为SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为_________；若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为_________．【答案】

SKIPIF1<0##0.5

SKIPIF1<0【分析】应用点差法转化斜率积可求离心率,设直线与椭圆联立,应用已知距离可求直线方程.【详解】设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上SKIPIF1<0．．．．．．．．．．．．．．①SKIPIF1<0．．．．．．．．．．．．．．．②因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．．．．．．．．．．．．．．③由①-②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由③得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于B，C两点,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线BC为SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0;SKIPIF1<09．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为______；若SKIPIF1<0的周长为8，则SKIPIF1<0______.【答案】

SKIPIF1<0##0.5

SKIPIF1<0【分析】由条件确定SKIPIF1<0关系，结合SKIPIF1<0关系，根据离心率的定义求离心率，【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左焦点，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长等于SKIPIF1<0的周长，又SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为8，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，对棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】将三棱锥SKIPIF1<0补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径，计算出SKIPIF1<0的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.【详解】因为三棱锥SKIPIF1<0每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥SKIPIF1<0放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下图所示：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球直径SKIPIF1<0，其半径为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如下图所示：则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为三棱锥SKIPIF1<0的每个面的三边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，三棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以该三棱锥的外接球体积为SKIPIF1<0，内切球表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E为CD中点，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______．【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，可证得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0上，易知AB与平面BCD所成角即为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而可求得SKIPIF1<0，利用三角形面积公式可求得SKIPIF1<0，结合已知条件与余弦定理，勾股定理可证得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0为外接球直径，利用球的体积计算即可．【详解】设SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0均为直角三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0上，易知AB与平面BCD所成角即为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则AB与平面BCD所成角的正弦值为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为外接球直径，SKIPIF1<0三棱锥外接球的体积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现将此菱形沿对角线BD对折，在折的过程中，当三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，SKIPIF1<0______；当三棱锥SKIPIF1<0表面积最大时，SKIPIF1<0______.【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.【分析】当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0的长度；先求得三棱锥SKIPIF1<0的表面积的表达式，进而求得表面积最大时SKIPIF1<0的长度.【详解】当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0体积最大，此时SKIPIF1<0；三棱锥SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，表面积最大，此时SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.13．（2023·江苏泰州·统考一模）已知正四棱锥SKIPIF1<0的所有棱长都为1，点SKIPIF1<0在侧棱SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的平面截该棱锥，得到截面多边形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的边数至多为__________，SKIPIF1<0的面积的最大值为__________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】空1，数形结合，作平面与平面SKIPIF1<0平行，即可解决；空2，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即可解决.【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，作平面与平面SKIPIF1<0平行，如图至多为五边形.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<014．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有公共焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0，双曲线的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为两曲线的一个公共点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______；SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴上点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】

4

SKIPIF1<0【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出SKIPIF1<0，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为SKIPIF1<0，椭圆的长轴长为SKIPIF1<0，双曲线的实轴长为SKIPIF1<0，不妨设点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，由双曲线的定义：SKIPIF1<0，由椭圆的定义：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，则有SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：4，SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，（1）直接法：由题意知道SKIPIF1<0利用公式求解即可；（2）一般间接法：由题意知道SKIPIF1<0或SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0的关系式求出SKIPIF1<0，在利用公式计算即可；（3）齐次式方程法：建立关于离心率SKIPIF1<0的方程求解.15．（2022·广东汕头·统考三模）如图，DE是边长为SKIPIF1<0的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，四棱锥SKIPIF1<0外接球O的表面积为__________；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】第一空：先判断出平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，求出SKIPIF1<0，找出四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心O，由勾股定理求出半径，即可求得表面积；第二空：先判断出当SKIPIF1<0垂直于截面圆时，截面圆面积最小，即SKIPIF1<0为截面圆的直径，再求面积即可.【详解】第一空：设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定值，要使三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，即SKIPIF1<0最大，显然当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最大为SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为四边形SKIPIF1<0的外心，设SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0共面，过SKIPIF1<0作直线垂直于平面SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0即为外接球球心，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即为外接球半径，易得四边形SKIPIF1<0为矩形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故外接球O的表面积为SKIPIF1<0；第二空：要使截面圆面积最小，显然当SKIPIF1<0垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小，又SKIPIF1<0都在球面上，M为EC中点，显然SKIPIF1<0为截面圆的直径，又SKIPIF1<0，则截面圆的面积最小为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.16．（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0上的动点.且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹长为__________.点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为__________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】根据给定条件，作出平面SKIPIF1<0截正方体所得截面，再确定点SKIPIF1<0的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答.【详解】在正方体SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，如图，对角面SKIPIF1<0为矩形，因为点SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为梯形SKIPIF1<0，显然过点SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行的平面交平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0分别于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0为平行四边形，于是SKIPIF1<0，即点M为SKIPIF1<0的中点，同理SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，因为动点SKIPIF1<0始终满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0上，所以点SKIPIF1<0的轨迹是线段SKIPIF1<0，轨迹长为SKIPIF1<0；以点D为原点建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.17．（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是半径为SKIPIF1<0的球面上四点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为直径的球的最小表面积为_______________；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，则四面体SKIPIF1<0的体积的最大值为_____________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】①利用圆的垂径定理，可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用三角形三边关系定理可求得SKIPIF1<0的取值范围，即可求得以SKIPIF1<0为直径的球的最小表面积②过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的最大值即可求解【详解】设球心为O，∴SKIPIF1<0，分别取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴以SKIPIF1<0为直径的球的最小表面积为SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．18．（2022·湖北武汉·模拟预测）函数SKIPIF1<0的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的“囧点”坐标为______________；此时函数SKIPIF1<0的所有“囧圆”中，面积的最小值为_____________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】第一空：直接求出与y轴的交点即可求解；第二空：画出函数图象，考虑SKIPIF1<0轴及SKIPIF1<0轴右侧的图象，SKIPIF1<0轴下方的函数图象显然过点SKIPIF1<0时面积最小，SKIPIF1<0轴上方的图象，设出公共点，表示出半径的平方，借助二次函数求出最小值，再比较得出半径最小值即可求解.【详解】第一空：由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故与y轴的交点为SKIPIF1<0，则“囧点”坐标为SKIPIF1<0；第二空：画出函数图象如图所示：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，要使“囧圆”面积最小，只需要考虑SKIPIF1<0轴及SKIPIF1<0轴右侧的图象，当圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，其半径为2，是和SKIPIF1<0轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；当圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0轴上方且SKIPIF1<0轴右侧的函数图象有公共点SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到圆心SKIPIF1<0的距离的平方为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小为3，SKIPIF1<0，显然在所有“囧圆”中，该圆半径最小，故面积的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.19．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）任何一个复数SKIPIF1<0（其中a、SKIPIF1<0，i为虚数单位）都可以表示成：SKIPIF1<0的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：SKIPIF1<0，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0________；对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】利用给定定理直接计算即得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，求出等比数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和，再利用复数相等求解作答.【详解】当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：-i；SKIPIF1<0【点睛】思路点睛：涉及复数SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次幂SKIPIF1<0的求和问题，可把SKIPIF1<0视为等比数列SKIPIF1<0的第n项，再借助数列问题求解.20．（2022·湖南长沙·雅礼中学校考二模）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0.如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.则三棱锥SKIPIF1<0的体积为__________，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为__________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，由题可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，进而可得三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，利用锥体体积公式可得三棱锥的体积，设点SKIPIF1<0轨迹所在平面为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轨迹为平面SKIPIF1<0截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得.【详解】取SKIPIF1<0中点SK