电大《工程数学》期末考试答案小抄-解答题

00-140500000-1138

向量夕不能由向量组%,4，%线性表出,

4.计算下列向量组的秩,并且判断该向量组是否线性相关?

解:

13

[a,,a2,a„a4]=28

39

413

133-11

0-2112

T01001

00000

00000

5

该向量组是线性相关的;

5.求齐次线性方程组

X,1-3xL,+xJ,-2x4.=0

-5X,+X2-2X3+3X4=0

-X]-llx2+2X3-5X4=0

3巧+5*2+4X4=0

的•个基础解系.

解：

-31-2

-143-7

000

10J|_0003

1-310

3

01——

T140

000

1

000

0

故一般解为

3

2=—*3一个基础解系为a=[—5,3,14,0]'.

6.求线性方程组

XI-5X2+2X3-3X4=11

-3Xj+x2-4X3+2X4=-5

-X,-9X2-4X4=17

+3x.+6x,-x=-l

l12.J4A

的全部解.

解：

1-52-3111-52-311■

_-31-4250-142-728

A=

-1-90-4r10-142-728

_536-1-1028-414--56

-

△「

——10—9——11

1-52-31172

0-142-728

->T(1----2

0000072

00000(10000

00000

6

全部解为(占，勺为任意常数)

1.设A,8,C1为三个事件，试用A,8,C的运算分别表示下列事件：

⑴A,8,C中至少有一个发生；

⑵A,8,。中只有一个发生；

⑶4,3,C中至多有一个发生；

(4)A,6,。中至少有两个发生；

⑸A,B,C中不多于两个发生；

(6)A,8c中只有C发生；

解：(1)(4+3+C);(2)(4BC+ABC+ABC);(3)(4BC+ABC+ABC+ABC);

(4)(ABC+ABC+ABC+ABC);(5)(A+B+C).(6)CAB

2.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：

⑴2球恰好同色；

⑵2球中至少有1红球.

解：(l)P(A)==[=0.4;=C；=^-=0.9

3.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一

道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品坐是3%,求孙r出来的零件是正品的概率.

解：设A,B分别表示第一，第二道工序出合格品，那么「(九)=0.02,尸(加4)=0.03,故

P(AB)=尸⑷尸(814)=0.98x0.97=0.9506.

4.市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别

为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.

解：设A,B,C分别表示甲厂，乙厂和丙厂生产的产品，D表示买到一个热水瓶是合格品，那么

P(A)=0.5,P(3)=0.3,P(C)=0.2,又P(DIA)=0.9,P(DIB)=0.85,

P(D\C)=0.8,故由全概率公式得

P(D)=P(A)P(D\A)+P(B)P(DIB)+P(C)P(DIC)

=0.5x0.9+0.3x0.85+0.2x0.8=0.865.

5.某射手每发命中的概率是0.9,连续射击4次，求：(1)恰好命中3次的概率；(2)

至少命中1次的概率。

解：p=0.9,9=1-p=0.1

(1)恰好命中3次的概率为C：pM=40.930.1=0.2916

(2)至少命中1次的概率为1-C：p°r=1-0」4=0.9999

6.设随机变量X的概率分布为

■0123456'

0.10.150.20.30.120.10.03

试求P(XW4),P(2<X<5),P(XH3).

解:P(X4)=1-P(X=5)-P(X=6)=1-0.1-0.03=0.87;

P(2<X<5)=P(X=2)+P(X=3)+尸(X=4)+P(X=5)=0.72;

P(XH3)=1—尸(X=3)=1-0.3=0.7.

7.设随机变量X具有概率密度

2x,0<A：<1

=«

0,其它

试求P（XW；）,P（；<X<2）.

7

解:P(X<1)=^f(x)dx=^2xdx=x2；=:；

p2"-,il15

P(—<X<2)=jf(x)dx=J2xdx=x|1=—.

2x,0<x<1

8.设X〜f(x)=<,求£(X),0(X).

0,具匕

2=二•又

解：E(X)=「xf(x)dx-2xdx3'又

o

1.

E(X2)=广x2f(x)dx=[2xydx=

。一2'

i21

...D(X)=E(X2)-E2(X)=--(-)2=—.

2318

9.设X〜N(0.6,O42),计算⑴P(0.2<X<1.8)；⑵P(X>0).

解：令y=*,那么y~N(。」),故

P(0.2<X<1.8)=<口<1^)

(1)

0.40.40.4

=P(-l<y<3)=0(3)-①(-1)=①⑶+0(1)-1

=0.9887+0.8413-1=0.84;

X-0.60-0.6

⑵P(X>0)=P()=p(y>-1.5)

0.4

=1-P(y<-1.5)=1-0(-1.5)=0(1.5)=0.9332.

_1〃

1o.设X1,X2,…，X”是独立同分布的随机变量，已知E(XJ=〃，O(X1)=cr2,设xi,求

E(X),D(X).

解：E(N)=Ej£Xj)」E(£xj,£E(X,•)=;/,;

n1=1〃1=1ni=l

_11•1n1n1

2

D(X)=D(-Yxi)=—D(YXi)=—YD(Xi)=-a.

〃普〃普n

1.设对总体X得到一个容量为10的样本值

4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0,3.5,4.0

试分别计算样本均值x和样本方差?.

x=A(4.5+2.0+1.0+1.5+3.5+4.5+6.5+5.0+3.5+4.0)=3.7;

222

s?=-^—[(4.5-3.7/+(2.0一§7)2+(10-37)+(1.5-3.7)+(3.5-3.7)

10-1

2222

+(4.5-3.7)+(6.5-3.7K+(50_3j)+(3.5-3.7)+(4.0-3.7)]=2.33.

2.设总体X的概率密度函数为

(e+i)d,o<x<i

f(x；e)=<

o,其它

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数e.

解：(1)矩估计法.

E(X)=匚0)dx=£(e+l)x"x=^|x/：=e+i

O十/6+2'

e+i一—2x—1

因为E(X)=x,所以=x,故e=」L=_

0+21-X

⑵似然函数为

8

ns

L(6»,x1,x2,---xn)=(6»+l)(x1x2---xn)

取对数得

lnL=nln(^+l)+6(ln/+Inx?+…InxM)

31nLn

=不厂？7?+n.+lnW+Tnx„)=0

人n

=f----------1-

S,nx.

1=1

3.测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为(单位：m)：

108.5109.0110.0110.5112.0

测量值服从正态分布N(4，b2),在⑴。2=2.5；⑵CT?未知的情况下，分别求4的置信度为095的置信区间.

解：⑴〃=2.5时：选统计量U=x一*N(0,l),因为1一1=0.95,所以

4/1〃

a=0.05,(D(za)=1-a/2=0.975,查正态分布表①(1.96)=0.975,故a=1.96,于是

22

［一〃％=110—1.96X=109.02

gVio

1+Za==110+1.96x^=110.98

3y/nV10

即4的置信度为0.95的置信区间为［109.02,110.98］.

⑵CT2未知的情况下，选统计量T=土半t(t-l),查找9,0.05)分布表求出使P(lf1>m=0.05成立的A=2.62,

于是

=H0-2.62x^^^=108.885

4nVlO

x+/l4==H0+2.62x^^^=111.115

4nV10

即〃的置信度为0.95的置信区间为[108.885,111.115].

4.设某产品的性能指标服从正态分布N(〃，(T2),从历史资料已知cr=4,抽查10个样品，求得均值为17,

取显著性水平a=0.05，问原假设=20是否成立.

解：作假设“o：〃=2O；

样本均值x=17,cr0=4，选统计量U=与*N(0,I),计算检验量值

Ool'n

17—20

U=:l=-2.3717,

4710

取显著性水平a=0.05，查正态分布表得临界值A=1.96.因为IU1>1.96.

应拒绝"0:4=20,即原假设“0：4=20不成立.

5.某零件长度服从正态分布，过去的均值为20。现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为

(单位：cm)：

20.0,20.2,20,1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化(a=0.05).

解：作假设“。：4=20;

样本均值x=20.0125,CT未知，选统计量T=上半t(n-1),计算检验量值

s/yjn

20.0125-20

«0.5284,

0.0669/我

9

取显著性水平，查分布表得临界值因为应接受：〃=,即用新材料

a=0.05”7,0.05）ta=2.365IT1<2.365

做的零件平均长度没有起变化.

-114

-121103

2.设A=,B=,C=3-2，求AC+8C.

0-122

002

TI4

0246-410

解：AC+BC=(A+B)C=-21

201-2210

002

4.写出4阶行列式

1020

-1436

023

3110

中元素明|，“42的代数余子式，并求其值.

02012（）

4+，4+2

答案：«4,=(-1)436=0a42=(-1)-136=45

2-530-53

1.用消元法解线性方程组

X]-3X2-2X3-x4=6

3/-8X+/+5X=0

<24

—2%]+%2—4鼻+X4=-12

-X]+4x2一/_3X4=2

解

-1-3-2-16'1-3-2-16101923—48

；3ri+<z3〃+“

__5r2+为

3-8150（十々、0178-180178-18

cA-—

-21-41-120-5-8-10002739-90

[。1

-14-1-32-3-4800-10-1226

-101923-48一-I01923-48-'I0042-124-

一1％+“

11-18-7口+，21015

078-180178f+为、0-46

*2

003-312001-14001-14

_0056-13_0056-13_00011-33_

10042-12410002

―42口+八x,=2

-\5r+r

01015-46420100-1

方程组解为x2=-1