八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结

一、选择题1．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad－bc．上述记号就叫做2阶行列式，若=12，则x=()．A．2 B．3 C．4 D．6B解析：B【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【详解】解：根据题意化简=12，得（x+1）2-（x-1）2=12，整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，故选：B．【点睛】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．2．已知代数式的值为9，则代数式的值为（）A．18 B．12 C．9 D．7D解析：D【分析】将x2﹣2x当成一个整体，在第一个代数式中可求得x2﹣2x＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+6＝1+6＝7．故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x2﹣2x当成一个整体来对待．3．在下列的计算中正确的是（）A．； B．；C．； D．A解析：A【分析】根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】A、a2•ab＝a3b，正确；B、应为（a＋2）（a−2）＝a2−4，故本选项错误；C、2x与3y不是同类项不能合并；D、应为（x−3）2＝x2−6x＋9，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．4．下列运算中，正确的个数是（）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个A解析：A【分析】①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.【详解】∵与不是同类项，无法合并，∴①是错误的；∵，∴②是正确的；∵，∴③是错误的；∵，∴④是错误的；综上所述，只有一个正确，故选：A.【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.5．下列计算正确的是（）A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（a﹣）2＝a2﹣C．﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+a D．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2D解析：D【分析】根据整式的乘法逐项判断即可求解．【详解】解：A.（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，原题计算错误，不合题意；B.（a﹣）2＝a2﹣a+，原题计算错误，不合题意；C.﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+2a，原题计算错误，不合题意；D.（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则、乘法公式是解题的关键．6．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A． B． C． D．A解析：A【分析】矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可．【详解】解：由题意可知，矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差，S矩形===．故选：A．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键．7．数是（ ）A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数C解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】，∴N是12位数，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．8．当时，代数式的值为6，则时，的值为（）A． B． C．4 D．D解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．9．计算的结果是（）A． B． C．0.75 D．-0.75D解析：D【分析】先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案．【详解】====,故选：D．【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．10．下列运算正确的是（）A．x2·x3=x6 B．(x3)2=x6 C．(-3x)3=27x3 D．x4+x5=x9B解析：B【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【详解】∵x2•x3=x5，∴选项A不符合题意；∵（x3）2＝x6，∴选项B符合题意；∵（−3x）3＝−27x3，∴选项C不符合题意；∵x4＋x5≠x9，∴选项D不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．二、填空题11．已知2a－b＋2＝0，则1－4a＋2b的值为______．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想解析：5【分析】由得，整体代入代数式求值．【详解】解：∵，∴，∴原式．故答案是：5．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．12．若，则_______________________．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键解析：36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：∵，∴=2²×3²=36，故答案为36．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．13．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是2，则经过2021次输出的结果是________．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此类推，∵2021÷6=336…5，∴经过2021次输出的结果是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如：将数对放入其中时，最后得到的数是________；（1）将数对放入其中，最后得到的数________；（2）现将数对放入其中，得到数，再将数对放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m与n的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时解析：-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对和放入其中后，最后得到的数，再由数对放入其中，得到数，计算出m与n的关系，再计算数对，即可得到结果．【详解】解：由题意得：数对放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1；故答案为：-1；（1）将数对放入其中，最后得到的数是：（-1）（-2）＝-2；故答案为：-2；（2）根据数对放入其中得到数，可得：（m−1）×（0−2）＝n，则-2m+2＝n，∴将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m2+5m-2．故答案为：-2m2+5m-2．【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．15．若（2x1）5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa，则a2+a4=____120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【详解】解：解析：120【分析】令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1，可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②，把①和②相加即可求出a2+a4的值．【详解】解：当x=0时，a=1；当x=1时，a5a4a3a2a1a=243①，当x=-1时，-a5a4-a3a2-a1a=-1②，①+②，得2a42a22a=242，∴a2+a4=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了求代数式的值，正确代入特殊值是解答本题的关键．16．分解因式=____．【分析】提取公因式a2即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式正确提取公因式是解决本题的关键解析：【分析】提取公因式a2即可．【详解】解：，=，故答案为：．【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键．17．已知，则________．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键解析：3【分析】把看成一个整体，原式可化为2（）-3，整体代入即可．【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求代数式的值，把看成一个整体是解题的关键．18．若，，则的值为____________．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键解析：．【分析】应用平方差把多项式因式分解，再整体代入即可．【详解】解：，把，代入，原式=，故答案为：．【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．19．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若，则的值为7；③若，则a的倒数小于b的倒数；④在直线上取A、B、C三点，若，，则．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A、B、C三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵，∴，故②正确；③∵a＞b，取a=1，b=－1，∴，，，故③错误；④当点C位于线段AB上时，AC=AB－BC=5－2=3cm；当点C位于线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm，则AC的长为3cm或7cm，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．20．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算安全平方公式安全立方公式发现规律数字规律归纳即可【详解】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算，安全平方公式，安全立方公式，发现规律，数字规律归纳即可，【详解】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15，【点睛】本题考查完全平方公式、完全立方公式，规律型：数字的变化类，掌握多项式乘法法则，和完全平方公式，观察式子的特征是解题关键，三、解答题21．计算下列各题：（1）++；（2）（3+）（3﹣）+（2﹣）．解析：（1）0；（2）【分析】（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．【详解】解：（1）++＝2+（﹣5）+3＝0；（2）（3+）（3﹣）+（2﹣）＝32﹣（）2+2﹣2＝9﹣7+2﹣2＝2．【点睛】本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．解析：（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析【分析】（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案为：7；（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)-a(a+8)=a2+7a+a+7-a2-8a=7．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．23．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①②解析：（1）；（2）；（3）；（4）①99.91；②【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：，故填：；（2）它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是，故填：；（3）根据题意得出：，故填：；（4）①解：原式；②解：原式．【点睛】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．24．先化简，再求值：，其中．解析：，.【分析】利用平方差公式，和的完全平方公式，单项式乘以多项式法则化简，合并同类项后，代入求值即可.【详解】原式，当时，原式.【点睛】本题考查了运用乘法公式进行化简，熟练运用公式，正确合并同类项是解题的关键.25．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如，记作，读作“2的圈3次方”；再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把（，n为大于等于2的整数）记作，读作“a的圈n次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：_______________，__________；（2）关于除方，下列说法错误的是____________；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何大于等于2的整数c，；C．；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：___________；___________；（2）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为____________；（3）将（m为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________．解析：【初步探究】（1），；（2）C；【深入思考】（1），；（2）；（3）【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案；（2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．【详解】解：【初步探究】（1）；；故答案为：；；（2）由题意：A、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B、对于任何大于等于2的整数c，；正确；C、，，∴，则C错误；D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确；故选：C．【深入思考】（1）；；故答案为：；；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为：；故答案为：；（3）=；故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．26．因式分解：（1）2