新高考数学二轮复习强化练习专题12 数列的基本运算（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题12数列的基本运算（讲）真题体验感悟高考1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，SKIPIF1<0是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中SKIPIF1<0是举，SKIPIF1<0是相等的步，相邻桁的举步之比分别为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差为0.1的等差数列，且直线SKIPIF1<0的斜率为0.725，则SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】设SKIPIF1<0，则可得关于SKIPIF1<0的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，依题意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D2．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列SKIPIF1<0的前3项和为168，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与题意矛盾，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.3.（2022·全国·统考高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和．已知SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）依题意可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，作差即可得到SKIPIF1<0，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的通项公式与前SKIPIF1<0项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0.则当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出SKIPIF1<0的最小值，适用于可以求出SKIPIF1<0的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．总结规律预测考向（一）规律与预测1.等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题.

2.数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加.

（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一等差数列、等比数列的基本运算【核心知识】等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.(3)等差数列的求和公式：SKIPIF1<0；(4)等比数列的求和公式：SKIPIF1<0【典例分析】典例1.（2021·北京·统考高考真题）已知SKIPIF1<0是各项均为整数的递增数列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得SKIPIF1<0可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到SKIPIF1<0的最大值．【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以SKIPIF1<0.对于，，取数列各项为(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以n的最大值为11．故选：C．典例2.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则SKIPIF1<0=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前SKIPIF1<0项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故选：B.典例3.（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，前4项和SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由题干条件分别求出公差d和首项SKIPIF1<0，再代入公式即可；（2）由（1）求得的数列SKIPIF1<0的通项公式计算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，进而得到数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0和公比SKIPIF1<0，最后代入等比数列前n项和公式即可.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，由题可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则等比数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.【规律方法】等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项SKIPIF1<0、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为SKIPIF1<0(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为SKIPIF1<0的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．考向二等差(等比)数列的性质【核心知识】1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有SKIPIF1<0.2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．(2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an.【典例分析】典例4.（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，SKIPIF1<0．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，SKIPIF1<0，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意可得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即可表示出题中SKIPIF1<0，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A，因为数列SKIPIF1<0为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，A正确；对于B，由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根据等差数列的下标和性质，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D不正确．故选：D.典例5.（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为正项递增等比数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等比数列的概念可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，直接根据等比数列前SKIPIF1<0项和以及通项公式即可得结果.【详解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.典例6.（天津市河东区2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于____．【答案】7【分析】由SKIPIF1<0，变形SKIPIF1<0得出数列SKIPIF1<0为等差数列，再结合等差数列的性质求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差数列的性质有：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：7.【总结提升】等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．考向三等差(等比)数列的探索与证明【核心知识】等差数列等比数列定义法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通项法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n项和法Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．特别提醒：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.【典例分析】典例7.（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.【详解】求不动点，设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0②，用式①除以式②可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0典例8.（2023·全国·高三专题练习）数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：SKIPIF1<0（SKIPIF1<01，2，3，…），SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0表示数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据对数定义可得SKIPIF1<0，再结合等差数列的前SKIPIF1<0项和公式求SKIPIF1<0，进而求SKIPIF1<0.【详解】∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,显然SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0以首项为SKIPIF1<0，公差为1的等差数列又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.典例9.（2021·全国·高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列，证明：SKIPIF1<0是等差数列.【答案】证明见解析.【分析】先根据SKIPIF1<0求出数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，进一步写出SKIPIF1<0的通项，从而求出SKIPIF1<0的通项公式，最终得证.【详解】∵数列SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等差数列.【点睛】在利用SKIPIF1<0求通项公式时一定要讨论SKIPIF1<0的特殊情况.典例10.（2019年高考全国II卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（II）求{an}和{bn}的通项公式.【答案】（I）见解析；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）由题设得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因为a1+b1=l，所以SKIPIF1<0是首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列．由题设得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因为a1–b1=l，所以SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．典例11.（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为1的等差数列.(1)证明：SKIPIF1<0是等比数列；(2)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)根据等差数列的定义求出数列SKIPIF1<0的通项公式，可得SKIPIF1<0，等式两边同时加n，则SKIPIF1<0，结合等比数列的定义即可证明；(2)由(1)和等比数列的通项公式可得SKIPIF1<0，利用分组求和法即可求解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0是公差为1的等差数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，等式两边同时加n，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由(1)知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0典例12.（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)求SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)250【分析】（1）令SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判断可得答案；（2）由（1）判断出数列SKIPIF1<0的偶数项是公差为SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0的等差数列，奇数项是公差为SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0的等差数列，分别求SKIPIF1<0