新高考数学二轮复习专题五 统计与概率第3讲 概率及随机变量的分布列解析版

第3讲概率及随机变量的分布列目录第一部分：知识强化第二部分：重难点题型突破突破一：古典概型突破二：互斥（对立）事件，事件相互独立突破三：条件概率突破四：离散型随机变量的数学期望和方差突破五：超几何分布突破六：二项分布突破七：正态分布第三部分：冲刺重难点特训第一部分：知识强化1、古典概型的概率计算公式一般地，设试验SKIPIF1<0是古典概型，样本空间SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0个样本点，事件SKIPIF1<0包含其中的SKIPIF1<0个样本点，则定义事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别表示事件SKIPIF1<0和样本空间SKIPIF1<0包含的样本点个数．2、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）性质1：对任意的事件SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；性质5：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，由该性质可得，对于任意事件SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.性质3：如果事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互斥，那么SKIPIF1<0；注意：只有事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.性质4：如果事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互为对立事件，那么SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；性质6：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一个随机试验中的两个事件，有SKIPIF1<03、相互独立事件的概念对任意两个事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0成立，则称事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件SKIPIF1<0、不可能事件SKIPIF1<0与任意事件相互独立性质2：如果事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也相互独立则：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<04、条件概率（1）一般地，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个随机事件，且SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0为在事件SKIPIF1<0发生的条件下，事件SKIPIF1<0发生的条件概率，简称条件概率．①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.②事件SKIPIF1<0在“事件SKIPIF1<0已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的.③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率.④在条件概率的定义中，要强调SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，不能用这一方法定义事件SKIPIF1<0发生的条件下，事件SKIPIF1<0发生的概率.（2）条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0；②如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个互斥事件，则SKIPIF1<0；③设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互为对立事件，则SKIPIF1<0．④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：SKIPIF1<0.5、事件的相互独立性（1）事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立：对任意的两个事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,如果SKIPIF1<0成立，则称事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立，简称为独立.（2）性质：若事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也都相互独立，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（3）易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.6、离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量SKIPIF1<0的概率分布为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0（1）则称SKIPIF1<0为随机变量SKIPIF1<0的均值(mean)或数学期望(mathematicalexpectation),数学期望简称期望.（2）称SKIPIF1<0SKIPIF1<0为随机变量SKIPIF1<0的方差，有时也记为SKIPIF1<0.称SKIPIF1<0为随机变量SKIPIF1<0的标准差.7、SKIPIF1<0重伯努利试验的概率公式一般地，如果在一次试验中事件SKIPIF1<0发生的概率是SKIPIF1<0,事件SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次试验中发生SKIPIF1<0次，共有SKIPIF1<0种情形，由试验的独立性知，每种情形下，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次试验中发生，而在其余SKIPIF1<0次试验中不发生的概率都是SKIPIF1<0,所以由概率加法公式知，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，事件SKIPIF1<0恰好发生次的概率为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).8、二项分布（1）一般地，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，设每次试验中事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0发生的次数，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果随机变量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，则称随机变量SKIPIF1<0服从二项分布，记作SKIPIF1<0．（2）二项分布的均值与方差若随机变量SKIPIF1<0服从参数为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二项分布，即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.9、超几何分布一般地，假设一批产品共有SKIPIF1<0件，其中有SKIPIF1<0件次品，从SKIPIF1<0件产品中随机抽取SKIPIF1<0件(不放回)，用SKIPIF1<0表示抽取的SKIPIF1<0件产品中的次品数，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果随机变量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，那么称随机变量SKIPIF1<0服从超几何分布．10、正态分布（1）正态分布若随机变量SKIPIF1<0的概率密度函数为SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为参数)，称随机变量SKIPIF1<0服从正态分布，记为SKIPIF1<0.（2）标准正态分布若随机变量SKIPIF1<0,则当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时，称随机变量SKIPIF1<0服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.（3）正态分布的SKIPIF1<0原则：正态分布在三个特殊区间的概率值假设SKIPIF1<0，可以证明：对给定的SKIPIF1<0是一个只与SKIPIF1<0有关的定值.特别地，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.上述结果可用右图表示.此看到，尽管正态变量的取值范围是SKIPIF1<0，但在一次试验中，SKIPIF1<0的值几乎总是落在区间SKIPIF1<0内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布SKIPIF1<0的随机变量SKIPIF1<0只取SKIPIF1<0中的值，这在统计学中称为SKIPIF1<0原则.第二部分：重难点题型突破突破一：古典概型1．（2022·广西·模拟预测（理））将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】先考虑总情况，7个位置选3个放1，有SKIPIF1<0种，再考虑任意两个1都不相邻的情况，将3个1插入4个0形成的5个空中，有SKIPIF1<0种，则概率为SKIPIF1<0，故选：C.2．（2022·四川雅安·模拟预测（理））甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】依题意，4名志愿者到三个小区服务的试验的基本事件有SKIPIF1<0种，它们等可能，甲不在A小区、乙不在B小区服务，甲、乙各有2种选法，丙、丁各有3种选法，甲不在A小区、乙不在B小区服务的事件SKIPIF1<0含有的基本事件有SKIPIF1<0种，所以甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率SKIPIF1<0.故选：B3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有SKIPIF1<0种选择，所以甲、乙两所高校共有SKIPIF1<0种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有SKIPIF1<0种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为SKIPIF1<0，故选：D4．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）5个同学报名参加志愿者活动，每人可从3项活动中任选一项参加.则其中恰有2项活动有同学报名的概率是__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】全部可能的报名情况数为SKIPIF1<0种，恰有2项活动有人报名可以看作先从3个项目中选出2个，有SKIPIF1<0种选法，然后再让5名同学参加，则共有SKIPIF1<0种方法，但必须减去5名同学都参加其中一个这种情况，SKIPIF1<0，故恰有2项活动有同学参加有SKIPIF1<0种情况，其概率为SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为______．【答案】SKIPIF1<0##0.4【详解】依题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，从阳数和阴数中分别随机抽出1个有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，共25个结果，被抽到的2个数的数字之和超过12的有：SKIPIF1<0，共10种，所以被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2022·河南新乡·一模（文））某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了100位市民调查，结果统计如下．支持不支持合计年龄不大于50岁30年龄大于50岁1025合计100(1)根据已有数据，把表格填写完整．(2)能否有SKIPIF1<0的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名男性，其中3名是医生，现从这6名男性中随机抽取3人，求至少有2名医生的概率．附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.1000.0500.0250.010SKIPIF1<02.7063.8415.0246.635【答案】(1)列联表见解析；(2)没有把握；(3)SKIPIF1<0.【详解】（1）支持不支持合计年龄不大于50岁453075年龄大于50岁101525合计5545100（2）因为SKIPIF1<0，所以没有SKIPIF1<0的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关．（3）记6人分别为a，b，c，d，e，f．其中a，b，c表示医生，从6人中任意抽3人的所有基本事件有SKIPIF1<0SKIPIF1<0共20个，其中至少有2名医生的基本事件有SKIPIF1<0，共10个，所以所求概率是SKIPIF1<0．7．（2022·贵州·模拟预测（文））2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中SKIPIF1<0的值，并估计这50名同学的平均成绩；(2)先用分层抽样的方法从评分在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由已知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，记平均成绩为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）先用分层抽样的方法从分数在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的同学中抽取5名同学，则应从SKIPIF1<0中抽取1人，记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中抽取4人，记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共6种.故所求概率SKIPIF1<0.突破二：互斥（对立）事件，事件相互独立1．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（

）A．事件甲与事件丁为对立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍C．事件丙和事件丁相互独立 D．事件甲与事件丙相互独立【答案】B【详解】事件甲与事件丁为互斥事件，但事件取得的3个球为2个红球，1个白球发生时，事件甲与事件丁都不发生，所以事件甲与事件丁不对立，A项错误；事件甲的概率SKIPIF1<0，事件乙的概率SKIPIF1<0，事件丙的概率SKIPIF1<0，事件丁的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B项正确；事件丙和事件丁同时发生的概率SKIPIF1<0，故C项错误；因为事件甲与事件丙同时发生的事件为甲事件，且SKIPIF1<0，所以事件甲与事件丙不相互独立，故D项错误．故选：B．2．（2022·江苏·二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件SKIPIF1<0“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件SKIPIF1<0“甲乙两人所选课程完全不同”，事件SKIPIF1<0“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（

）A．A与B为对立事件 B．A与C互斥C．A与C相互独立 D．B与C相互独立【答案】C【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥不对立，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不互斥，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相互独立.故选：C3．（2022·广西·南宁三中二模（文））从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】设两个红球为球a、球b，两个黑球为球1、球2.则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，所有可能的情况为SKIPIF1<0共6种.①至少有一个黑球与都是黑球有公共事件SKIPIF1<0，故二者不是互斥事件，判断错误；②至少有一个黑球与至少有一个红球有公共事件SKIPIF1<0，故二者不是互斥事件，判断正确；③恰好有一个黑球包含事件SKIPIF1<0，恰好有两个黑球包含事件SKIPIF1<0，故二者是互斥事件，判断正确；④至少有一个黑球包含事件SKIPIF1<0，都是红球包含事件SKIPIF1<0，故二者是对立事件，判断正确.故选：C4．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件SKIPIF1<0，“第二枚为正面”记为事件SKIPIF1<0，“两枚结果相同”记为事件SKIPIF1<0，那么事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的关系是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均相互独立 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均互斥 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立【答案】A【详解】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均相互独立，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均不互斥.故选：A.突破三：条件概率1．（2022·湖南永州·一模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件SKIPIF1<0为“4个人去的景点各不相同”，事件SKIPIF1<0为“只有甲去了九嶷山”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0的情况数为SKIPIF1<0，则事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0的交事件SKIPIF1<0为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”事件SKIPIF1<0的情况数为SKIPIF1<0，则事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以SKIPIF1<0，故选项A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项B正确；因为SKIPIF1<0，故选项C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：C.3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A5．（2022·山东威海·三模）设随机事件A、B，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______.【答案】

0.12

0.24【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：0.12；0.24.6．（2022·湖南·长沙一中一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．①A与C互斥；②SKIPIF1<0；③A与D相互独立；④B与C相互独立．【答案】①③【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不可能同时发生，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥，故①正确；SKIPIF1<0包含：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5个基本事件，SKIPIF1<0包含：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共6个基本事件，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故③正确；SKIPIF1<0，故④错误；SKIPIF1<0，故②错误；故答案为：①③7．（2022·辽宁鞍山·一模）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以SKIPIF1<0表示事件“试验反应为阳性”，以SKIPIF1<0表示事件“被诊断者患有癌症”，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由全概率公式可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．（2022·天津市新华中学模拟预测）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________；至少有一名是女志愿者的概率为__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】解：记全是男志愿者为事件SKIPIF1<0，至少有一名男志愿者为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件A互为对立事件，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．9．（2022·天津河北·一模）袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______.【答案】

SKIPIF1<0##0.3

SKIPIF1<0##0.5【详解】解：因为袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，所以两次都摸到红球的概率为SKIPIF1<0设第一次摸到红球的事件为A，第二次摸到红球的事件为B,所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0突破四：离散型随机变量的数学期望和方差1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0可能的取值有1，2，3SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则当a在（0，1）内增大时，（

）A．E（X）不变 B．E（X）减小 C．V（X）先增大后减小 D．V（X）先减小后增大【答案】D【详解】SKIPIF1<0，∴E（X）增大；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．故选：D．3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量SKIPIF1<0的概率分布列为SKIPIF1<0，k＝1，2，3，其中c是常数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．10 B．117 C．38 D．35【答案】C【详解】SKIPIF1<0，k＝1，2，3，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C4．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列分别如下，则(

)SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】A【详解】设随机变量为X，其可能的取值是SKIPIF1<0，对应概率为SKIPIF1<0，则其数学期望(均值)为SKIPIF1<0，其方差为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正确，B错误；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但无法判断SKIPIF1<0与1的大小，故无法判断SKIPIF1<0的大小，故CD错误．故选：A．5．（2022·山东淄博·三模）设随机变量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0##1.5【详解】由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）若随机变量SKIPIF1<0等可能的在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中取值，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】随机变量SKIPIF1<0等可能的在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中取值，故SKIPIF1<0取每个值的概率均为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，结合SKIPIF1<0，于是当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元．如果卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）如下表：需求量101112131415频数8202427147将这100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13个，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望；(2)若蛋糕店计划一天制作13个或14个生日蛋糕，以每日销售利润的数学期望为决策依据，你认为应制作13个还是14个？请说明理由．【答案】(1)分布列见解析，期望为SKIPIF1<0；(2)应制作13个，理由见解析.【详解】（1）设当天的需求量为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，利润SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，利润SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.（2）若制作14个生日蛋糕，设当天的利润（单位：元）为SKIPIF1<0，当天的需求量为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故应制作13个蛋糕．8．（2022·北京十四中高三期中）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设SKIPIF1<0为抽出两人中女生的个数，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望；(3)在（2）中，SKIPIF1<0表示抽出两人中男生的个数，试判断方差SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小.（直接写结果）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）依题意支持方案二的学生中，男生有SKIPIF1<0人、女生SKIPIF1<0人，所以抽到的是女生的概率SKIPIF1<0.（2）记从方案一中抽取到女生为事件SKIPIF1<0，从方案二中抽取到女生为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0的分布列为：

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.（3）依题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.突破五：超几何分布1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．4【答案】C【详解】SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的分布列为：ξ012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为SKIPIF1<0．故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）某地SKIPIF1<0个贫困村中有SKIPIF1<0个村是深度贫困，现从中任意选SKIPIF1<0个村，下列事件中概率等于SKIPIF1<0的是（

）A．至少有SKIPIF1<0个深度贫困村 B．有SKIPIF1<0个或SKIPIF1<0个深度贫困村C．有SKIPIF1<0个或SKIPIF1<0个深度贫困村 D．恰有SKIPIF1<0个深度贫困村【答案】B【详解】用SKIPIF1<0表示这SKIPIF1<0个村庄中深度贫困村数，SKIPIF1<0服从超几何分布，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0件产品中有SKIPIF1<0件次品，从中任取SKIPIF1<0件，则任意取出的SKIPIF1<0件产品中次品数的数学期望为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设任意取出的SKIPIF1<0件产品中次品数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，随机变量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有SKIPIF1<0个字脱落．(1)若SKIPIF1<0，用随机变量SKIPIF1<0表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量SKIPIF1<0的分布列及期望；(2)若SKIPIF1<0，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．【答案】(1)分布列见解析，SKIPIF1<0(2)0.6【详解】（1）方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，随机变量X的分布列如下表：X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0随机变量X的期望为SKIPIF1<0法二：随机变量X服从超几何分布SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）设脱落一个“学”为事件SKIPIF1<0，脱落一个“好”为事件SKIPIF1<0，脱落一个“数”为事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0为脱落两个字SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为SKIPIF1<0，法二：掉下的两个字不同的概率为SKIPIF1<0，所以标语恢复原样的概率为SKIPIF1<0．6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取SKIPIF1<0人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于SKIPIF1<0小时周平均锻炼时间不少于SKIPIF1<0小时合计SKIPIF1<0岁以下SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0岁以上（含SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0合计SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)运用独立性检验的思想方法判断：是否有SKIPIF1<0以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联？并说明理由．(2)现从SKIPIF1<0岁以上（含SKIPIF1<0）的样本中按周平均锻炼时间是否少于SKIPIF1<0小时，用分层抽样法抽取SKIPIF1<0人做进行一步访谈，最后再从这SKIPIF1<0人中随机抽取SKIPIF1<0人填写调查问卷．记抽取SKIPIF1<0人中周平均锻炼时间是不少于SKIPIF1<0小时的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF