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文档简介
山西省忻州一中等四校2025届高三暑假第二次阶段性测试数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,且,则m=()A.−8 B.−6C.6 D.82.下列命题为真命题的个数是()(其中,为无理数)①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.33.已知双曲线的左右焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.4.已知是函数的极大值点,则的取值范围是A. B.C. D.5.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.复数满足为虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.7.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.8.如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为()A. B. C. D.9.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.10.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值11.下列选项中,说法正确的是()A.“”的否定是“”B.若向量满足,则与的夹角为钝角C.若,则D.“”是“”的必要条件12.若点是角的终边上一点,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等比数列的前项和为,,且,则__________.14.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.15.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.16.已知实数a,b,c满足,则的最小值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在某社区举行的2020迎春晚会上,张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏,每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次,每个人击中鼓则得积分100分,没有击中鼓则扣积分50分,最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为,王慧每次击中鼓的概率为;每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响,假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.(1)若家庭最终积分超过200分时,这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机,问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少?(2)张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.18.(12分)已知函数.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)设函数的极值点为,当变化时,点构成曲线,证明:过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.19.(12分)如图,已知四边形的直角梯形,∥BC,,,,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).(1)若,(ⅰ)求证:PC∥平面;(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)直线(t为参数)与曲线C交于A,B两点,求最大时,直线l的直角坐标方程.21.(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.(Ⅰ)当为线段的中点时,求直线的方程;(Ⅱ)记的面积为,的面积为,求的最小值.22.(10分)在中,内角的对边分别为,且(1)求;(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故选D.本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.2.C【解析】
对于①中,根据指数幂的运算性质和不等式的性质,可判定值正确的;对于②中,构造新函数,利用导数得到函数为单调递增函数,进而得到,即可判定是错误的;对于③中,构造新函数,利用导数求得函数的最大值为,进而得到,即可判定是正确的.【详解】由题意,对于①中,由,可得,根据不等式的性质,可得成立,所以是正确的;对于②中,设函数,则,所以函数为单调递增函数,因为,则又由,所以,即,所以②不正确;对于③中,设函数,则,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,所以,即,即,所以是正确的.故选:C.本题主要考查了不等式的性质,以及导数在函数中的综合应用,其中解答中根据题意,合理构造新函数,利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.3.B【解析】
先设直线与圆相切于点,根据题意,得到,再由,根据勾股定理求出,从而可得渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点,因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形,所以,又因为圆与直线的切点为,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此渐近线的方程为.故选B本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.4.B【解析】
方法一:令,则,,当,时,,单调递减,∴时,,,且,∴,即在上单调递增,时,,,且,∴,即在上单调递减,∴是函数的极大值点,∴满足题意;当时,存在使得,即,又在上单调递减,∴时,,所以,这与是函数的极大值点矛盾.综上,.故选B.方法二:依据极值的定义,要使是函数的极大值点,须在的左侧附近,,即;在的右侧附近,,即.易知,时,与相切于原点,所以根据与的图象关系,可得,故选B.5.C【解析】
化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.6.C【解析】
,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,故的虚部为.故选:C.本题考查复数的除法运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.7.C【解析】
根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.8.C【解析】
利用建系,假设长度,表示向量与,利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作轴//,建立空间直角坐标系如图设,所以则所以所以故选:C本题考查异面直线所成成角的余弦值,一般采用这两种方法:(1)将两条异面直线作辅助线放到同一个平面,然后利用解三角形知识求解;(2)建系,利用空间向量,属基础题.9.C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.10.C【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.D【解析】
对于A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,即可判断出;对于B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角;对于C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;对于D根据元素与集合的关系即可做出判断.【详解】选项A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,因此A不正确;选项B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角,因此不正确.选项C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正确;选项D若“”,则且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要条件,故正确.故选:D.本题考查命题的真假判断与应用,涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等,属于简单题.12.A【解析】
根据三角函数的定义,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【详解】由题意,点是角的终边上一点,根据三角函数的定义,可得,则,故选A.本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值,其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式,准确化简、计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意知,继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【详解】解:由题意知,所以.故答案为:.本题考查了等比数列的通项公式和求和公式,属于中档题.14.2【解析】
由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.15.【解析】令直线:,与椭圆方程联立消去得,可设,则,.可知,又,故.三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍,则内切圆半径,其面积最大值为.故本题应填.点睛:圆锥曲线中最值与范围的求法有两种:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法,判别式法,重要不等式及函数的单调性法等.16.【解析】
先分离出,应用基本不等式转化为关于c的二次函数,进而求出最小值.【详解】解:若取最小值,则异号,,根据题意得:,又由,即有,则,即的最小值为,故答案为:本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)详见解析【解析】
(1)要积分超过分,则需两人共击中次,或者击中次,由此利用相互独立事件概率计算公式,计算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根据相互独立事件概率计算公式,计算出分布列并求得数学期望.【详解】(1)由题意,当家庭最终积分超过200分时,这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机,所以要想领取一台全自动洗衣机,则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”,事件为“王慧第次击中”,,由事件的独立性和互斥性可得(张明和王慧家庭至少击中三次鼓),所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.(2)的所有可能的取值为-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列为-200-50100250400∴(分)本小题考查概率,分布列,数学期望等概率与统计的基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数据处理,应用意识.18.(1);(2)证明见解析【解析】
(1)由恒成立,可得恒成立,进而构造函数,求导可判断出的单调性,进而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,则,,进而可得,即曲线的方程为,进而只需证明对任意,方程有唯一解,然后构造函数,分、和三种情况,分别证明函数在上有唯一的零点,即可证明结论成立.【详解】(1)由题意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,则.令,则,,,在上单调递增,又,时,;时,,即时,;时,,时,单调递减;时,单调递增,时,取最小值,.(2)证明:由,令,由,结合二次函数性质可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的极值点,则,,,曲线的方程为.故只需证明对任意,方程有唯一解.令,则,①当时,恒成立,在上单调递增.,,,存在满足时,使得.又单调递增,所以为唯一解.②当时,二次函数,满足,则恒成立,在上单调递增.,,存在使得,又在上单调递增,为唯一解.③当时,二次函数,满足,此时有两个不同的解,不妨设,,,列表如下:00↗极大值↘极小值↗由表可知,当时,的极大值为.,,,,,..下面来证明,构造函数,则,当时,,此时单调递增,,时,,,故成立.,存在,使得.又在单调递增,为唯一解.所以,对任意,方程有唯一解,即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.本题考查利用导数研究函数单调性的应用,考查不等式恒成立问题,考查利用单调性研究图象交点问题,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于难题.19.(1)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)连接交于点,连接,,依题意易证四边形为平行四边形,从而有,,由此能证明PC∥平面(ii)推导出,以为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(2)设,求出平面的法向量,利用向量法求解.【详解】(1)(ⅰ)证明:连接交于点,连接,,因为为线段的中点,所以,因为,所以因为∥所以四边形为平行四边形.所以又因为,所以又因为平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如图,在平行四边形中因为,,所以以为原点建立空间直角坐标系则,,,所以,,,平面的法向量为设平面的法向量为,则,即,取,得,设平面和平面所成的锐二面角为,则所以锐二面角的余弦值为(2)设所以,,设平面的法向量为,则,取,得,因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以解得所以存在满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为.此题二查线面平行的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线,线面,面面的位置关系等知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(1);(2).【解析】
(1)利用消去参数,得到曲线的普通方程,再将,代入普通方程,即可求出结论;(2)由(1)得曲线表示圆,直线曲线C交于A,B两点,最大值为圆的直径,直线过圆心,即可求出直线的方程.【详解】(1)由曲线C的参数方程(为参数),可得曲线C的普通方程为,因为,所以曲线C的极坐标方程为,即.(2)因为直线(t为参数)表示的是过点的直线,曲线C的普通方程为,所以当最大时,直线l经过圆心.直线l的斜率为,方程为,所以直线l的直角坐标
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