年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测92排列与组合

[课时跟踪检测][基础达标]1．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种 B．24种C．36种 D．72种解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．答案：C2．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有()A．12种 B．10种C．8种 D．6种解析：∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有Aeq\o\al(3,3)种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)．答案：D3．(2018届武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A．72 B．144C．240 D．288解析：第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(种)排法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝8(种)排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)排法，由分步计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288(种)，故选D.答案：D4．(2018届昆明市两区七校调研)某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有()A．900种 B．600种C．300种 D．150种解析：依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(种)，因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)，故选B.答案：B5．(2017年全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种解析：将4项工作分成3部分，每部分至少有1项工作，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)方法，再分别分给3人，由分步乘法计数原理知，共有Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(3,3)＝36(种)不同方法．答案：D6．(2018届武汉市调研测试)“2016中国杭州G20峰会”于2016年9月4日～9月5日在浙江省杭州市举行，组委会要从小郑、小赵、小李、小汤、小王五名工作人员中选派四人分别从事翻译、保卫、礼仪、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．48种 B．36种C．18种 D．12种解析：先安排后两项工作，共有Aeq\o\al(2,3)种方案，再安排前两项工作，共有Aeq\o\al(2,3)种方案，故不同的选派方案共有Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,3)＝36(种)方案，故选B.答案：B7．(2018届黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为()A．484 B．472C．252 D．232解析：若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(种)选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝208(种)选法．故总共有264＋208＝472(种)不同的选法.答案：B8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有()A．1260种 B．2025种C．2520种 D．5040种解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有Ceq\o\al(2,10)种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有Ceq\o\al(1,8)种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有Ceq\o\al(1,7)种选派方法．根据分步乘法计数原理知，选法有Ceq\o\al(2,10)·Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,7)＝2520(种)．答案：C9．若Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(2,2)＝42，则Ceq\o\al(3,n)＝()A．6 B．7C．35 D．20解析：∵Ceq\o\al(2,n)×2＝42，∴Ceq\o\al(2,n)＝21即eq\f(nn－1,2)＝21，∴n＝7，则Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35，故选C.答案：C10．停车场划出一排10个停车位置，会有6辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()A．Aeq\o\al(4,10)种 B．2Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(4,4)种C．6Aeq\o\al(6,6)种 D．7Aeq\o\al(6,6)种解析：分步完成，先找出4个连续空位有7种方法，6辆不同车全排列有Aeq\o\al(6,6)种，共7Aeq\o\al(6,6)种，故选D.答案：D11．(2017年浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：(间接法)Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝660(种)．答案：66012．(2017年天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．解析：由题意可得，第1类取出4个数都是奇数，组成没有重复数字的四位数有Aeq\o\al(4,5)个；第2类取出4个数中有1个偶数，组成没有重复数字的四位数有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)个，由分类加法计数原理，得共有Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝120＋960＝1080(个)．答案：108013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有Ceq\o\al(2,6)－3对，两个正四面体有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为Ceq\o\al(3,6)，再选2名女运动员，方法数为Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(种)方法．(2)解法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(种)．解法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(种)．[能力提升]1．甲、乙等5人在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A．12种 B．24种C．48种 D．120种解析：甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)种排法，甲、乙相邻且在两端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)．答案：B2．(2018届福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A．540 B．480C．360 D．200解析：由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有Ceq\o\al(1,4)种选法，故满足题意的三位数共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝200(个)．答案：D3．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有________种．解析：如图，从10个点中任取4个点的组合数为Ceq\o\al(4,10)＝210，其中四点共面的可分为三类：①4点在同一个侧面或底面的共4组，即4×Ceq\o\al(4,6)＝60(种)；②每条棱的中点与它对棱的三点共面的有6种；③在6个中点中，四点共面的有3种．则4点不共面的取法共有210－(60＋6＋3)＝141(种)．答案：1414．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Ceq\o\al(3,4)种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有Ceq\o\al(4,5)种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种情况．所以符合题意的七位数