数学-山西省朔州市怀仁市第一中学校2025届2024-2025学年高三上学期摸底考试

1.B“A:y∈(0,十∞),B={1,2},:A∩B={1,2},故选B.2.D由题意可知共有A=6种方式.故选D.3.C由题意C=2,b=\,a=\,所求椭圆方程2十=1.4.A因为α∈,得到sinα>cosα=sin—α)>cos十α),所以极差为sinα—cos十α)=2sinα.故选A.5.B设an=2十d(n—1),d为公差,由于a1a5=a2a3,则2(2十4d)=(2十d)(2十2d),化简得d=d2,由于数列{an}单调递增,因此d>0,解出d=1,因此an=n十1,则S10=10(a1a10)=65.故选B.6.D由题意设P(儿,y),易知5PAi2=4iPoi2,即可得5(儿—2十5(y—2=4(儿2十y2),整理得点P的轨迹方程为(儿—1)2十(y—2)2=4,因为点P的轨迹与圆C有且仅有三条公切线,因此两圆外切,圆C:儿2十y2十6儿十2y=r2—10的圆心坐标为(—3,—1),半径为r,因此r十2=\42十32,解出r=3.故选D.7.A若函数f(儿)=儿十为偶函数,f(儿)=儿十=f(—儿)=ab—儿十ab—儿,因此(b—(a儿—a—儿)=0在定义域R上恒成立,则b—=0,即b=士1,因此b=—1是b=士1的充分不必要条件.故选A.8.C设A(儿1,y1),B(儿2,y2),P(儿3,y3),设l:儿=my十1,与y2=4儿联立得y2—4my—4=0,且△=16m2十AB16>0,所以y1y2=—4,y1十y2=4m,AB)2十(y1—y2)2=\m2十1\(y1十y2)2—4y1y2=4(m2十1),因为o为△ABP的重心,所以y1十y2十y3=0,求出y3=—4m,则儿3=—(儿1十儿2)=—m(y1十y2)—2=—4m2—2,点P(儿3,y3)到直线l的距离d=—4m2\22—1=\m十1,因此S△ABP=.d.AB=6\m2十1≥6.故选C.9.ABD不妨令儿2—2儿十5=0的两个根为z1=1十2i,z2=1—2i,因此z1=z2=\,故A正确;z1z1=(1十2i)(1—2i)=5,故B正确; 复数z1在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限,故C错误; 由于===1,故D正确.故选ABD.10.ABD因为D,E分别是BC1,AC1的中点,所以DEⅡAB,又DE丈平面ABB1A1,AB∈平面ABB1A1,则DEⅡ平面ABB1A1,故A正确;因为AC1丄平面A1B1C1,所以AC1丄平面ABC,即AC1丄BC,又AB丄BC,且AC1∩AB=A,AB,AC1∈平面ABC1,则BC丄平面ABC1,即AD丄BC,又AD丄BC1,且BC1∩BC=B,BC,BC1∈平面BCC1,则AD丄平面BCC1,故B正确;由于D为BC1中点,且AD丄BC1,AC1丄AB,因此△ABC1是等腰直角三角形,E是AC1的中点,则上ADE=,故C错误;连接AB1,由于AC1丄A1B1,B1C1丄A1B1,易知A1B1丄平面AB1C1,则A1B1丄AB1,因此平面ABB1A1与平面A1B1C1的夹角为上AB1C1,由于上BAC=,因此AB=\BC,则AC1=\B1C1,因此上AB1C1=,故D正确.故选ABD.11.BC由题意知f’(儿)=1—cos儿—sin儿=1—\sin(儿十,令f’(儿)<0,则2kπ<儿<十2kπ,k∈Z,因此函数f(儿)存在减区间,故A错误;【高三数学参考答案第1页(共4页)】25008C由上述可知,其极大值点为儿=2kπ,k∈Z,故B正确;函数f(儿)=儿—sin儿十cos儿=儿—\sin(儿—由上述可知f(儿)在(—π,0)单调递增,在(0,单调递减,其中f(—π)=1—π<0,f(0)=1,f=—1>0,故f(儿)在(—π,0)存在一个零点,当儿>时,f(儿)>—\>0,当儿<—π时,f(儿)<—π十\<0,因此f(儿)有唯一的零点,故C正确;设切点为(儿0,y0),则f’(儿0)=1,因此切线为y=儿—sin儿0十cos儿0=儿—\sin(儿0—,于是—十2kπ,k∈Z,故D错误.故选BC.12.23将样本数据从小到大排列为7,8,10,11,23,24,30,35,其中8×60%=4.8,所以60%分位数为从小到大排列的第5个数,即为23.13.4由a2十2b=b2十2a可得(a—b)(a十b—2)=0,因为a>1>b>0,所以a—b≠0,即a十b—2=0,则a—1十a=a=b=b=1,则1十(a—1十b)=2十1十1≥4,当且仅当〈时等号成立,故1十的最小值!2为4.14.32由于an十1an—1=kan,则a1a3=ka2,解出a3=2k,同理a4=k2,a5=,a6=,a7=1,a8=2,…,因此数列{an}是以6为周期的数列,则a1024=a6×170十4=a4=k2=1024,解出k=32.15.解:(1)由于2CcosA=acosB十bcosA,利用正弦定理知2sinCcosA=sinAcosB十sinBcosA,……2分且sinC=sinAcosB十sinBcosA,因此2sinCcosA=sinC,……………4分因为C为△ABC的内角,sinC≠0,则cosA=,…………5分又因为A∈(0,π),故角A为;……………6分(2)利用正弦定理=2,…………………7分因此△ABC的周长l=a十b十C=\十2sinB十2sinC=\十2sinC十2sin=\十2\sin(C十,……………………10分由于C∈(0,,因此当B=C=时,△ABC的周长取最大值3\.…………………13分16.解:(1)完成列联表如下:玩过网游没玩过网游总计男生221234女生8816总计302050…………………3分零假设为H0:大学生喜欢网游与性别无关,X2==<2.706=儿0.1,……………6分根据小概率值α=0.1的独立性检验,我们推断H0成立,即认为大学生喜欢玩网游与性别无关;……………………8分【高三数学参考答案第2页(共4页)】25008C(2)视频率为概率,该校任意一学生玩过网游的概率为=,…………10分由X~B(5,,有P(X=2)=C×3×2=,…………13分E(X)=5×=3.…………………………15分17.(1)证明:取BC中点Q,连接PQ,QD,由于P,Q分别为AB,BC的中点,因此ACⅡPQ,且PQ=AC,……………………2分由题意可知ACⅡDE且DE=AC,因此DE纟PQ,即四边形DEPQ为平行四边形,所以PEⅡQD,…………………5分又因为QD∈平面BCD,PE丈平面BCD,则PEⅡ平面BCD;……………7分(2)解:由于AD丄平面ABC,且上BAC=,因此AB,AC,AD两两垂直,以A为坐标原点,A,A,A分别为儿轴,y轴,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则P(1,0,0),E(0,—1,2),B(2,0,0),D(0,0,2),于是—=(—1,—1,2),=(—2,0,2),=(—2,—1,2),…………10分m●=—2儿0十2z0=0,—y0m●=—2儿0十2z0=0,—y0十2z0=0,不妨令儿0=1,则m=(1,0,1),……………13分因为cOS〈m●〉=1=\所以PE与平面BDE所成角的正弦值为\………15分\2×\66,6.18.解:(1)由题意知f(儿)=儿十2儿—a 当a=0时,显然f(儿)=儿2在(0,十∞)上单调递增,……………………2分 当a<0时,二次函数对称轴儿=<0,令f’(儿)=0,则儿=a十\2—8a,此时f(儿)在0,a十\)上单调递减,在(a十\,十∞)上单调递增,…………………4分 当0<a≤8时,f’(儿)≥0在(0,十∞)恒成立,因此f(儿)在(0,十∞)上单调递增,……5分 当a>8时,二次函数对称轴儿=>0,令f’(儿)=0,则儿=a士\2—8a,此时f(儿)在a十\,十∞)上单调递增,在(a—\,a十\)上单调递减,………………7分综上所述,a<0时,f(儿)在(0,a十\)上单调递减,在(a十\,十∞)上单调递增,0≤a≤8时,f(儿)在(0,十∞)上单调递增,a>8时,f(儿)在(0,a—\)和(a十\,十∞)上单调递a—\,a十\)上单调递减;…………8分(2)当a=0时,显然f(儿)=儿2无零点,……………………9分令y=2ln儿—儿—1,儿>0,则y=儿—1,当儿∈(0,2)时,y>0,当儿∈(2,十∞)时,y<0,因此y【高三数学参考答案第3页(共4页)】25008C—3<0,………………………15分则g’(儿)<0在(0,十∞)上恒成立,g(儿)在(0,十∞)上单调递减,又易知y=儿—ln儿>0在(0,十∞)上恒成立,因此g(儿)>0,则>0,故a>0,………………………16分综上所述,a∈(0,十∞).……………………17分19.(1)解:由题意得C2,解得{…………………2分所以双曲线的标准方程为儿2—=1;……………………3分(2)证明①:设斜率为4,与双曲线右支相交于Ak,Bk两点的直线方程为y=4儿十mk,其中1≤k≤n,k∈N*,联立方程消去y可得12儿2十8mk儿十mk2十4=0,该方程有两个正根,解得mk<—2\,…………………4分2mkmk2十4根据韦达定理:儿Ak十儿Bk=—3,儿Ak儿Bk=12,…………………2mkmk2十4直线Akpk的方程为y—yAk=—2(儿—儿Ak),而yAk=4儿Ak十mk,即y=—2儿十6儿Ak十mk,……………………6分直线Bkpk的方程为y—yBk=2(儿—儿Bk),而yBk=4儿Bk十mk,即y=2儿十2儿Bk十mk,………………………7分联立方程两式相加得ypk=3儿Ak十儿Bk十mk,代回方程组得儿,……………8分k=ypk,……………………9分即p1,p2,…,pn都在直线y=儿上,所以p1,p2