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文档简介

陕西省武功县2024-2025学年高三二模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数为纯虚数,则()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i2.已知函数且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.4.已知抛物线上一点到焦点的距离为,分别为抛物线与圆上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.5.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.26.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()A. B. C. D.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上任意一点P,且PQ⊥y轴交y轴于点Q,则的最小值为()A. B. C.l D.18.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()A.3 B.6 C.9 D.129.在菱形中,,,,分别为,的中点,则()A. B. C.5 D.10.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()A.40 B.60 C.80 D.10011.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.且 B.且 C.且 D.且12.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某部队在训练之余,由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人,组成小方阵开展游戏,则来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率为______.14.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.15.设点P在函数的图象上,点Q在函数的图象上,则线段PQ长度的最小值为_________16.已知函数,且,,使得,则实数m的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,设为的导数,.(1)求,;(2)猜想的表达式,并证明你的结论.18.(12分)如图,在三棱柱中,,,,为的中点,且.(1)求证:平面;(2)求锐二面角的余弦值.19.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.20.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线上的点M对应的参数,射线与曲线交于点.(1)求曲线,的直角坐标方程;(2)若点A,B为曲线上的两个点且,求的值.22.(10分)的内角的对边分别为,若(1)求角的大小(2)若,求的周长

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【详解】∵为纯虚数,∴,解得..故选:.本题考查复数的分类,属于基础题.2.B【解析】

构造函数,判断出的单调性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【详解】构造函数,由解得,所以的定义域为,且,所以为奇函数,而,所以在定义域上为增函数,且.由得,即,所以.故选:B本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于中档题.3.B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.4.D【解析】

利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得,根据二次函数的性质,求得,由取得最小值为,求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上,准线方程,则点到焦点的距离为,则,所以抛物线方程:,设,圆,圆心为,半径为1,则,当时,取得最小值,最小值为,故选D.该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目.5.D【解析】

设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.6.C【解析】

根据循环结构的程序框图,带入依次计算可得输出为25时的值,进而得判断框内容.【详解】根据循环程序框图可知,则,,,,,此时输出,因而不符合条件框的内容,但符合条件框内容,结合选项可知C为正确选项,故选:C.本题考查了循环结构程序框图的简单应用,完善程序框图,属于基础题.7.A【解析】

设点,则点,,利用向量数量积的坐标运算可得,利用二次函数的性质可得最值.【详解】解:设点,则点,,,,当时,取最小值,最小值为.故选:A.本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算,考查学生的计算能力,是基础题.8.C【解析】

分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面区域的面积为9求出,然后分析平面区域多边形的各个顶点,即求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值.详解:作出不等式组对应的平面区域如图所示:则,所以平面区域的面积,解得,此时,由图可得当过点时,取得最大值9,故选C.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.9.B【解析】

据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系,用坐标表示出,再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设与交于点,以为原点,的方向为轴,的方向为轴,建立直角坐标系,则,,,,,所以.故选:B.本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题,难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题,如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.10.D【解析】

由正态分布的性质,根据题意,得到,求出概率,再由题中数据,即可求出结果.【详解】由题意,成绩X近似服从正态分布,则正态分布曲线的对称轴为,根据正态分布曲线的对称性,求得,所以该市某校有500人中,估计该校数学成绩不低于110分的人数为人,故选:.本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.11.B【解析】由且可得,故选B.12.A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

分两步进行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,对每一行选人;最后,利用计算出概率即可.【详解】首先,第一行队伍的排法有种;第二行队伍的排法有2种;第三行队伍的排法有1种;然后,第一行的每个位置的人员安排有种;第二行的每个位置的人员安排有种;第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案为:.本题考查了分步计数原理,排列与组合知识,考查了转化能力,属于中档题.14.13【解析】根据题意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件,故得到此时输出的b值为13.故答案为13.15.【解析】

由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.【详解】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,,即单调递减;当时,,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.16.【解析】

根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集;分别求值域即可得到结论.【详解】解:依题意,,即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.因为在上的值域为()或(),在上的值域为,故或,解得故答案为:.本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.,;,证明见解析【解析】

对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中,的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用数学归纳法证明:①当时,成立,②假设时,猜想成立即当时,当时,猜想成立由①②对成立本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.18.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)证明后可得平面,从而得,结合已知得线面垂直;(2)以为坐标原点,以为轴,为轴,为建立空间直角坐标系,设,写出各点坐标,求出二面角的面的法向量,由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为,为中点,所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,两两垂直,所以以为坐标原点,以为轴,为轴,为建立空间直角坐标系,设,则,,,,,.设平面的法向量,则,即,令,则;设平面的法向量,则,即,令,则,所以.故锐二面角的余弦值为.本题考查证明线面垂直,解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.考查求二面角,求空间角一般是建立空间直角坐标系,用向量法易得结论.19.(1)见解析,40元(2)6000元【解析】

(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况,因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况,分情况计算即可(2)根据(1)结果求均值.【详解】解:(1)由题设知可能取值为0,20,40,60,80,则;;;;.故的分布列为:020406080所以数学期望(元)(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为:(元)考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法,中档题.20.(1),(2)【解析】

(1),所,两式相减,即可得到数列递推关系求解通项公式,由,整理得,得到,即可求解通项公式;(2)由(1)可知,,即可求得数列的前项和.【详解】(1)因为,所,两式相减,整理得,当时,,解得,所以数列是首项和公比均为的等比数列,即,因为,整理得,又因为,所以,所以,即,因为,所以数列是以首项和公差均为1的等差数列,所以;(2)由(1)可知,,,即.此题考查求数列的通项公式,以及数列求和,关键在于对题中所给关系合理变形,发现其中的关系,裂项求和作为一类常用的求和方法,需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.21.(1)..(2)【解析】

(1)先求解a,b,消去参数,即得曲线的直角坐标方程;再求解,利用极坐标和直角坐标的互化公式,即得曲线的直角坐标方程;(2)由于,可设,,代入曲线直角坐标方程,可得的关系,转化,可得解.【详解】(1)将及对应的参数,代入得,即,所以曲线的方程为,为参数,所以曲线的直角坐标方程为.设圆的半径为R,由题意,圆的极坐标方程为(或)

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