陕西省西安市第四十六中学2024-2025学年高三下学期联考（二）数学试题试卷含解析

陕西省西安市第四十六中学2024-2025学年高三下学期联考（二）数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．2．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（）A．64 B．32 C．2 D．43．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是()A． B．C． D．4．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C． D．25．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A． B． C． D．6．已知集合，则等于（）A． B． C． D．7．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（）A． B． C． D．9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种10．等比数列的前项和为，若，，，，则（）A． B． C． D．11．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．函数的对称轴不可能为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________．14．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．①；②这名学生中数学成绩在分以下的人数为；③这名学生数学成绩的中位数约为；④这名学生数学成绩的平均数为．15．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________.16．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.18．（12分）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望.19．（12分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．①写出P0，P8的值；②求决赛甲获胜的概率．20．（12分）已知，，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．21．（12分）设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.22．（10分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2．A【解析】

根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：，，故，，.故选：.本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.3．A【解析】

根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，，，，，若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则，所以当时，，在有且仅有5个零点，，.故选：A.本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.4．B【解析】

首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5．B【解析】

求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C【解析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【详解】因为，，所以.故选：C本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.7．D【解析】

将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数；当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；【详解】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根.，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.因此.设，，若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.因为，方程在内有两个不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因为，所以，代入，得.设，，所以在上是增函数，而，由可得，得.由在上是增函数，得.综上所述，故选：D.本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题8．C【解析】试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．9．C【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．D【解析】试题分析：由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，，所以，故解得：，从而公比；那么，故选D．考点：等比数列．11．A【解析】

计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.12．D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】对于函数，令，解得，当时，函数的对称轴为，，.故选：D.本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即．14．②③【解析】

由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．15．【解析】

当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解．【详解】解：当时，，则，，当时，，，，，，（当且仅当时等号成立），，故答案为：．本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．16．【解析】

两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又由，可得：当时，为减函数，当时，为增函数，故函数有最小值，又由；比较可得：，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是；故答案为：；本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题,函数零点问题的拓展.由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因为平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．18．（1）所抽取的人中得分落在组和内的人数分别为人、人；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）将分别乘以区间、对应的矩形面积可得出结果；（2）由题可知，随机变量的可能取值为、、，利用超几何分布概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出随机变量的数学期望值.【详解】（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），得分落在组的人数有（人）.因此，所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，，，所以，随机变量的分布列为：所以，随机变量的期望为.本题考查利用频率分布直方图计算频数，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于基础题.19．（1）乙的技术更好，见解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；（2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.【详解】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，随机变量，的分布列分别为10521052所以，，所以，即乙的技术更好（2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；②设每轮比赛甲得分为，则每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为；（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；所以，所以是等差数列，则，即决赛甲获胜的概率是.本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.20．（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型